# Linjära Avbildningar och Matriser > "ah du pratade med en kompis.... har du kompisar??? great stuff.... Jag önskar" > "Varför finns den i formelbladed, alla kan den ju deeen. DET ÄR BARA EN SNUTTEFILT FÖR DE NERVÖSA" ## Grundläggande Egenskaper **Linjär avbildning** $\mathbb{R}^m\to \mathbb{R}^n$ har följande egenskaper: - **Additiv:** $T(\vec{x}+\vec{y})=T(\vec{x})+T(\vec{y})$ - **Homogen:** $T(c\vec{x})=cT(\vec{x})$ - **Linjär:** Kombinationen av ovanstående, dvs $T(c\vec{x}+d\vec{y})=cT(\vec{x})+dT(\vec{y})$ **Intuition:** En linjär avbildning "respekterar" vektoroperationer. Om du först adderar två vektorer och sedan avbildar dem, får du samma resultat som om du avbildar dem var för sig och sedan adderar. Samma sak gäller skalning. **Konsekvens:** Alla linjära avbildningar skickar origo till origo, eftersom $T(\vec{0})=T(0\cdot\vec{x})=0\cdot T(\vec{x})=\vec{0}$. Detta förklarar varför speglings- och projektionslinjer måste gå genom origo. ### Fundamental Sats **SATS:** En avbildning är linjär om och endast om den kan beskrivas som en matris $T=T_{A}$ **"linjär $\Longleftrightarrow$ är matris"** **Varför detta är kraftfullt:** Satsen säger att linjära avbildningar och matriser är samma sak. Varje gång du multiplicerar en vektor med en matris gör du en linjär avbildning, och varje linjär avbildning kan skrivas som en matrismultiplikation. Detta innebär att du kan studera geometriska transformationer (rotationer, speglingar, etc.) genom att räkna på matriser. ### Standardbasvektorer Standardbasvektorerna är kolumnerna i enhetsmatrisen $I$: - $\vec{e}_{1}=\begin{bmatrix}1\\0\\0\\\vdots\end{bmatrix}$ (första kolumnen) - $\vec{e}_{2}=\begin{bmatrix}0\\1\\0\\\vdots\end{bmatrix}$ (andra kolumnen) - $\vec{e}_{n}=\begin{bmatrix}0\\\vdots\\0\\1\end{bmatrix}$ (n:te kolumnen) **Nyckelinsikt:** Kolumnerna i en matris $A$ är exakt vad standardbasvektorerna avbildas på. Om $A=\begin{bmatrix}a & b \\ c & d\end{bmatrix}$, så gäller $A\vec{e}_1=\begin{bmatrix}a\\c\end{bmatrix}$ och $A\vec{e}_2=\begin{bmatrix}b\\d\end{bmatrix}$. **Praktisk användning:** För att hitta matrisen för en avbildning, räkna ut vad som händer med $\vec{e}_1, \vec{e}_2, \dots$ och sätt resultaten som kolumner. --- ## Linjära Operatorer ### Spegling **Spegling (genom en linje som skär origo)** **Tillvägagång:** Gå vinkelrätt mot speglingslinjen och gå lika långt åt andra hållet. - Spegling i x-axeln: $S=S_{A};\quad A=\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix}$ - Spegling i y-axeln: $A=\begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ - Spegling i linjen $y=x$: $A=\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$ **Hur man hittar speglingsmatrisen:** Kolla vad som händer med $\vec{e}_1=(1,0)$ och $\vec{e}_2=(0,1)$. För spegling i x-axeln: $(1,0)\mapsto(1,0)$ och $(0,1)\mapsto(0,-1)$, vilket ger kolumnerna i matrisen. > [!note] Varför måste projektions- och speglingslinjen gå igenom origo? > Då är funktionen inte linjär. En linjär avbildning måste skicka $\vec{0}$ till $\vec{0}$, men en spegling i en linje som inte går genom origo flyttar origo. ### Projektion **Projektion (på en linje som skär origo)** Projektion "plattar till" vektorer på en linje eller ett plan. Komponenten vinkelrätt mot linjen försvinner. - Projektion på x-axeln: $P=P_{A};\quad A=\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$ - Projektion på y-axeln: $P=P_{A};\quad A=\begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ - Projektion på linjen $y=x$: $A=\begin{bmatrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{bmatrix}$ **Skillnad mot spegling:** Vid spegling bevaras avståndet till linjen men riktningen vänds. Vid projektion försvinner avståndet helt — vektorn hamnar på linjen. ### Rotation i $\mathbb{R}^2$ **Rotation moturs en vinkel $\theta$** $\vec{x}=\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} r\cos \phi \\ r\sin \phi\end{bmatrix}$ där $r$ är vektorns längd och $\phi$ är dess vinkel mot x-axeln. Efter rotation $\theta$ moturs: $R_{\theta}(\vec{x})=\begin{bmatrix} r\cos(\phi+\theta)\\r\sin(\phi+\theta) \end{bmatrix}$ Med additionsformlerna för cosinus och sinus expanderas detta till: $=\begin{bmatrix} r\cos \theta \cos \phi-r\sin \theta \sin \phi\\ r\sin \theta \cos \phi+r\sin \phi \cos \theta\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix}\begin{bmatrix} r\cos \phi \\ r\sin \phi \end{bmatrix}$ **Rotationsmatrisen:** $R_\theta = \begin{bmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix}$ **Konstruktion av rotationsmatrisen:** $A=[R_{\theta}(\vec{e}_{1})\quad R_{\theta}(\vec{e}_{2})]$ Det vill säga: rotera standardbasvektorerna och sätt som kolumner. **Geometrisk tolkning av kolumnerna:** - Första kolumnen $(\cos\theta, \sin\theta)$ är dit $(1,0)$ hamnar efter rotation - Andra kolumnen $(-\sin\theta, \cos\theta)$ är dit $(0,1)$ hamnar efter rotation > [!example] Exempel: Rotation $\frac{\pi}{3}$ — vad avbildas $(1,2)$ på? > $\begin{bmatrix} \cos \frac{\pi}{3} & -\sin \frac{\pi}{3} \\ \sin \frac{\pi}{3} & \cos \frac{\pi}{3} \end{bmatrix}\begin{bmatrix}1\\2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} \frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} \\ \frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2} \end{bmatrix}\begin{bmatrix}1\\2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\frac{1}{2}-\sqrt{3}\\\frac{\sqrt{3}}{2}+1\end{bmatrix}$ --- ## Sammansättningar av Linjära Avbildningar ### Definition Givet två linjära avbildningar: - $S:\mathbb{R}^k\to \mathbb{R}^m$ - $T:\mathbb{R}^n\to \mathbb{R}^k$ Sammansättningen blir: $S\circ T: \mathbb{R}^n\to \mathbb{R}^m$ $(S\circ T)(\vec{x})=S(T(\vec{x}))$ **Ordningen:** Först appliceras $T$, sedan $S$. Läs "S efter T" eller "S komponerat med T". Funktionen längst till höger appliceras först. **Dimensionskrav:** Målrummet för $T$ måste matcha definitionsmängden för $S$, annars är sammansättningen inte definierad. ### Satser om Sammansättningar **Sats 1:** Om $S,T$ är linjära så är $S\circ T$ linjär **Bevis:** - **Additivitet (A):** $(S\circ T)(\vec{x}+\vec{y})=S(T(\vec{x}+\vec{y}))=S(T(\vec{x})+T(\vec{y}))=S(T(\vec{x}))+S(T(\vec{y}))=(S\circ T)(\vec{x})+(S\circ T)(\vec{y})$ - **Homogenitet (H):** $(S\circ T)(c\vec{x})=S(T(c\vec{x}))=S(cT(\vec{x}))=cS(T(\vec{x}))=c(S\circ T)(\vec{x})$ **Sats 2:** Om $S=S_{A}$ och $T=T_{B}$ så $\implies S\circ T=(S\circ T)_{AB}$ **Bevis:** $(S\circ T)(\vec{x})=S(T(\vec{x}))=S(B\vec{x})=A(B\vec{x})=(AB)\vec{x}$ **Formel:** $T_{A}\circ T_{B}=T_{AB}$ **Viktig konsekvens:** Att kombinera geometriska transformationer motsvarar att multiplicera deras matriser. Om du vill rotera och sedan spegla, multiplicera speglings- och rotationsmatriserna (i den ordningen!). > [!note] Kan man alltid gå tillbaka från $\mathbb{R}^m\to \mathbb{R}^n$? > Nej, det kräver att avbildningen är bijektiv (injektiv och surjektiv). För matriser innebär detta att matrisen måste vara kvadratisk och inverterbar. --- ## Inverser av Linjära Avbildningar ### Fundamental Invers-Sats **Sats:** $T^{-1}_{A}=T_{A^{-1}}$ Inversen av en linjär avbildning är också linjär, och dess matris är inversen av originalmatrisen. **Bevis (ena hållet):** $T_{A^{-1}}\circ T_{A}(\vec{x})=T_{A^{-1}}(T_{A}(\vec{x}))=T_{A^{-1}}(A\vec{x})=A^{-1}(A\vec{x})=(A^{-1}A)\vec{x}=I\vec{x}=\vec{x}$ **Andra hållet:** $T_{A}\circ T_{A^{-1}}(\vec{x})=A(A^{-1}\vec{x})=(AA^{-1})\vec{x}=I\vec{x}=\vec{x}$ **OBS:** Måste vara i samma dimension, alltså kvadratiska matriser: $T_{A}:\mathbb{R}^n\longleftrightarrow\mathbb{R}^n$ **Geometrisk tolkning:** Inversen "ångrar" avbildningen. Om $T$ roterar 30° moturs, så roterar $T^{-1}$ 30° medurs. --- ## Exempel: Sammansatt Avbildning ### Problem **Bestäm matrisen för den avbildning som:** 1. Först roterar $\frac{\pi}{3}$ moturs 2. Sedan speglar i x-axeln **Vad avbildas $\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}$ på?** ### Lösning **Strategi:** Det enklaste är att först hitta matrisen för rotation, sedan matrisen för spegling, sedan multiplicera dem. Kom ihåg: speglingsmatrisen ska stå till vänster eftersom den appliceras sist. **Steg 1: Rotationsmatris** $\text{Rotation: }R_{\frac{\pi}{3}}=\begin{bmatrix} \cos \frac{\pi}{3} & -\sin \frac{\pi}{3} \\ \sin \frac{\pi}{3} & \cos \frac{\pi}{3} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} \frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{ 3 }}{2} \\ \frac{\sqrt{ 3}}{2} & \frac{1}{2} \end{bmatrix}$ **Steg 2: Speglingsmatris** $\text{Spegling i x-axeln: }S=\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix}$ **Steg 3: Sammansatt matris** Eftersom spegling sker efter rotation: $S \cdot R$ $\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix} \times\begin{bmatrix} \frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{ 3 }}{2} \\ \frac{\sqrt{ 3}}{2} & \frac{1}{2} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} \frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{ 3 }}{2} \\ -\frac{\sqrt{ 3}}{2} & -\frac{1}{2} \end{bmatrix}$ **Steg 4: Avbildning på vektorn** $\begin{bmatrix} \frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{ 3 }}{2} \\ -\frac{\sqrt{ 3}}{2} & -\frac{1}{2} \end{bmatrix} \begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}\\-\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}\end{bmatrix}=\frac{1}{2}\begin{bmatrix}1-\sqrt{ 3 }\\-1-\sqrt{ 3 }\end{bmatrix}$ > [!warning] Vad händer om man speglar först och sedan roterar? > Multiplikation av matriser är INTE kommutativ. Ordningen spelar roll! $R \cdot S \neq S \cdot R$ i allmänhet. Geometriskt: att rotera en speglad bild är inte samma sak som att spegla en roterad bild. --- ## Kvadrater och Inverser av Operatorer ### Definitioner Låt: - $S$ = spegling i linjen $y=x$ - $P$ = projektion på linjen $y=x$ - $R_{\theta}$ = rotation $\theta$ moturs **Uppgift:** Bestäm $S^2,P^2,R_{\theta}^2\Longleftrightarrow S\circ S,\quad P\circ P, \quad R_{\theta}\circ R_{\theta}$ ### Beräkningar #### Spegling i kvadrat $S^2=S\circ S=\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}=I$ **Resultat:** $S^2=I$ (spegling två gånger ger identiteten) **Geometrisk förklaring:** Om du speglar en punkt och sedan speglar den igen i samma linje, hamnar den tillbaka där den började. #### Projektion i kvadrat $P^2=P\circ P=\begin{bmatrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{bmatrix}=P$ **Resultat:** $P^2=P$ (kallas **"idempotent"** — projektion två gånger ger samma projektion) **Geometrisk förklaring:** När en vektor redan ligger på projektionslinjen, gör en ny projektion ingen skillnad. Punkten är redan "platt". #### Rotation i kvadrat $R_{\theta}^2=\begin{bmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix}\begin{bmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\cos 2\theta&-\sin 2\theta\\\sin 2\theta&\cos 2\theta\end{bmatrix}=R_{2\theta}$ **Resultat:** $R_{\theta}^2=R_{2\theta}$ (rotation två gånger dubblerar vinkeln) **Geometrisk förklaring:** Rotera 30° och sedan 30° igen = rotera 60° totalt. Additionsformlerna för sinus och cosinus bekräftar detta algebraiskt. **Generalisering:** $R_\theta^n = R_{n\theta}$ (rotera $n$ gånger med vinkel $\theta$ = rotera med vinkel $n\theta$) --- ## Inverser av Operatorerna ### Spegling $S^{-1}=\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}^{-1}= \frac{1}{0\cdot 0-1\cdot 1}\begin{bmatrix} 0 & -1 \\ -1 & 0 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}=S$ **OBS:** Eftersom $S^2=I$ så är $S^{-1}=S$ **Generell regel:** Speglingar är alltid sina egna inverser (de är **involutioner**). **Förklaring:** Att "ångra" en spegling är att spegla igen. ### Projektion $P^{-1}=\begin{bmatrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{bmatrix}^{-1}=\text{Existerar ej}$ > [!warning] Varför går projektionsmatrisen inte att invertera? > Projektionen är inte injektiv — flera olika vektorer avbildas på samma punkt. Till exempel avbildas både $(1,0)$ och $(0,1)$ på $(\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$ vid projektion på linjen $y=x$. Utan injektivitet kan vi inte veta vilken ursprunglig vektor vi ska gå tillbaka till. > > **Algebraiskt:** Determinanten är $\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}=0$, så matrisen är singulär. > > **Generell regel:** Projektionsmatriser är ALDRIG inverterbara. ### Rotation **Tips för 2×2 matris-invers:** För $\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}$ är inversen $\frac{1}{ad-bc}\begin{bmatrix}d&-b\\-c&a\end{bmatrix}$ $R_{\theta}^{-1}= \frac{1}{\cos^2\theta+\sin^2\theta}\begin{bmatrix}\cos \theta&\sin \theta \\-\sin \theta&\cos \theta\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\cos \theta&\sin \theta \\-\sin \theta&\cos \theta\end{bmatrix}$ Använd att $\cos(-\theta)=\cos\theta$ och $\sin(-\theta)=-\sin\theta$: $=\begin{bmatrix}\cos(-\theta)&-\sin(-\theta)\\\sin(-\theta)&\cos(-\theta)\end{bmatrix}=R_{-\theta}$ **Resultat:** $R_{\theta}^{-1}=R_{-\theta}$ **Geometrisk förklaring:** Att ångra en rotation moturs är att rotera medurs med samma vinkel. > [!note] Om man vill rotera medurs 30°? > 30 grader medurs är $-30$ grader moturs, så använd $R_{-30°}=R_{-\pi/6}$ --- ## Sammanfattning av Operatoregenskaper | Operator | Kvadrat | Invers | Determinant | |----------|---------|--------|-------------| | Spegling $S$ | $S^2=I$ | $S^{-1}=S$ | $\det(S)=-1$ | | Projektion $P$ | $P^2=P$ | Existerar ej | $\det(P)=0$ | | Rotation $R_\theta$ | $R_\theta^2=R_{2\theta}$ | $R_\theta^{-1}=R_{-\theta}$ | $\det(R_\theta)=1$ | **Observationer:** - Speglingar har determinant $-1$ (byter orientering) - Rotationer har determinant $1$ (bevarar orientering) - Projektioner har determinant $0$ (kollapsar en dimension) --- ## Resurser - [3Blue1Brown: Linear transformations and matrices (kap 3)](https://youtu.be/kYB8IZa5AuE) — linjära avbildningar visuellt - [3Blue1Brown: Matrix multiplication as composition (kap 4)](https://youtu.be/XkY2DOUCWMU) — sammansättningar - [3Blue1Brown: Three-dimensional linear transformations (kap 5)](https://youtu.be/rHLEWRxRGiM) — 3D-transformationer - [3Blue1Brown: The determinant (kap 6)](https://youtu.be/Ip3X9LOh2dk) — determinanten och area/volym GeoGebra: Matrix Transformations — interaktiv visualisering <iframe src="https://www.geogebra.org/m/NJGKj7wG" width="100%" height="800"></iframe> - [Falstad: Matrix — Java Simulation](https://www.falstad.com/matrix/) — realtids 2D-transformationer - [Wikipedia: Linear map](https://en.wikipedia.org/wiki/Linear_map) - [Wikipedia: Rotation matrix](https://en.wikipedia.org/wiki/Rotation_matrix)