# Matrisoperationer --- ## Ordlista svenska ↔ engelska | Svenska | Engelska | |---|---| | Matris | Matrix | | Kolumnvektor | Column vector | | Linjärkombination | Linear combination | | Transponat | Transpose | | Symmetrisk matris | Symmetric matrix | | Spåret (trace) | Trace | | Utökad matris | Augmented matrix | | Koefficient | Coefficient | --- ## 1. Matrisnotation > [3B1B: Vectors, what even are they?](https://youtu.be/fNk_zzaMoSs) ### 1.1 Kolumnvektorer $ A = [\vec{a}_1 \quad \vec{a}_2 \quad \vec{a}_3 \quad \cdots \quad \vec{a}_n] $ ### 1.2 Matris-vektormultiplikation > [3B1B: Linear combinations, span, and basis vectors](https://youtu.be/k7RM-ot2NWY) Multiplicera en radmatris med en kolumnmatris: $ A\vec{x} = x_1\vec{a}_1 + x_2\vec{a}_2 + \cdots + x_n\vec{a}_n $ Detta är en **linjärkombination** av kolumnvektorerna. --- ## 2. Transponat **Definition:** Transponatet $A^T$ fås genom att byta rader och kolumner. $ A^T_{ij} = A_{ji} $ **Symmetrisk matris:** Om $A^T = A$ --- ## 3. Spåret (Trace) **Definition:** Spåret av en kvadratisk matris är summan av diagonalelementen: $ \text{tr}(A) = \sum_{i=1}^{n} a_{ii} $ --- ## 4. Översättning mellan representationer $ \text{Ekvationssystem} \longleftrightarrow \text{Matris} \longleftrightarrow \text{Vektorekvation} \longleftrightarrow \text{Utökad koefficient-matris} \longleftrightarrow \text{Gausselimination} $ --- ## Resurser ### Videor - [3Blue1Brown: Vectors, what even are they? (kap 1)](https://youtu.be/fNk_zzaMoSs) — grundläggande vektorbegrepp och notation - [3Blue1Brown: Linear combinations, span, and basis vectors (kap 2)](https://youtu.be/k7RM-ot2NWY) — linjärkombinationer och kolumnvektorer - [3Blue1Brown: Linear transformations and matrices (kap 3)](https://youtu.be/kYB8IZa5AuE) — hur matriser representerar transformationer ### Interaktiva verktyg - [matrixcalc.org](https://matrixcalc.org/) — matrisberäkningar (determinant, invers, multiplikation) - [Desmos Matrix Calculator](https://www.desmos.com/matrix) — matrisoperationer med stegvisa lösningar ### Wikipedia - [Matrix (mathematics)](https://en.wikipedia.org/wiki/Matrix_(mathematics)) - [Transpose](https://en.wikipedia.org/wiki/Transpose) - [Trace (linear algebra)](https://en.wikipedia.org/wiki/Trace_(linear_algebra)) - [Augmented matrix](https://en.wikipedia.org/wiki/Augmented_matrix) ### Fördjupning - [Immersive Linear Algebra — Chapter 6: The Matrix](https://immersivemath.com/ila/ch06_matrices/ch06.html) — interaktiv 3D-bok