## Linjära ekvationssystem
| Antal obekanta | Linjära ekvation | Linjärt utryck |
| -------------- | ---------------- | -------------- |
| 1 | $3x=5 \Longleftrightarrow x=\frac{5}{3}$ | $3x$ |
| 2 | $3x+5=2y$ | $5x-y$ |
| 3 | $8x+2y-z=0$ | $8x+2y-z$ |
| $x_{1},\dots,x_{n}$ obekanta | $a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\dots+a_{n}x_{n}=b$ | $a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\dots+a_{n}x_{n}$ |
$(a_{1},\dots,a_{n},b$ är givna reella tal)
---
### Sats för linjära ekvationssystem
**Antalet lösningar är alltid $0$, $1$, eller $\infty$**
> [!example]- En lösning — linjerna skär varandra
> ```functionplot
> ---
> title: Linjärt ekvationssystem
> xLabel: x
> yLabel: y
> bounds: [-2, 6, -2, 6]
> grid: true
> ---
> f(x) = (7 - 2x) / 3
> g(x) = x - 1
> ```
> [!example]- Ingen lösning — parallella linjer
> ```functionplot
> ---
> title: Parallella linjer
> xLabel: x
> yLabel: y
> bounds: [-2, 6, -1, 5]
> grid: true
> ---
> f(x) = -x + 3
> g(x) = -x + 1
> ```
> [!example]- Oändligt många lösningar — samma linje
> ```functionplot
> ---
> title: Samma linje
> xLabel: x
> yLabel: y
> bounds: [-2, 6, -1, 5]
> grid: true
> ---
> f(x) = -x + 3
> g(x) = -x + 3
> ```
---
### Geometrisk tolkning
I ett system av linjära ekvationer är lösningen de punkter som uppfyller **alla** ekvationer — dvs. skärningarna.
| Antal ekvationer | Obekanta | Geometri | Lösning |
|------------------|----------|----------|---------|
| 2 | 2 | Linjer i planet | Punkt (eller linje/tom) |
| 2 | 3 | Plan i rummet | Linje |
| 3 | 3 | Plan i rummet | Punkt |
<div style="display: flex; gap: 10px;">
<figure style="text-align: center; margin: 0;">
<img src="https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/b/b3/IntersectingPlanes.png" width="40%">
<figcaption>2 plan → skärning är en linje</figcaption>
</figure>
<figure style="text-align: center; margin: 0;">
<img src="https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/c/cd/Secretsharing-3-point.png" width="40%">
<figcaption>3 plan → skärning är en punkt</figcaption>
</figure>
</div>
---
### Homogena system
Ett linjärt ekvationssystem är **homogent** om högerledet är noll i alla ekvationer:
$
\begin{cases}
a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \cdots + a_{1n}x_n = 0 \\
a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \cdots + a_{2n}x_n = 0 \\
\vdots \\
a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + \cdots + a_{mn}x_n = 0
\end{cases}
$
**Egenskaper:**
- Har alltid minst den **triviala lösningen**: $x_1 = x_2 = \cdots = x_n = 0$
- Om fria variabler finns → oändligt många lösningar
- Homogena system har **aldrig** exakt noll lösningar
> [!note] Observation
> Ett homogent system med fler obekanta än ekvationer har alltid oändligt många lösningar (icke-triviala lösningar finns).
---
### Klammernotation
Denna notation är vanlig:
$
\begin{cases}
2x + 3y = 7 \\
x - y = 1
\end{cases}
$
Men det finns effektivare notation: **matriser**. Syftet med matrisform är att det gör det möjligt (lättare) att tillämpa [[Gausselimination]].
---
### Från klammernotation till matrisnotation
Ett linjärt ekvationssystem kan skrivas om till **utökad koefficientmatris**:
$
\begin{cases}
2x + 3y = 7 \\
x - y = 1
\end{cases}
\quad \Longrightarrow \quad
\begin{bmatrix}
2 & 3 & | & 7 \\
1 & -1 & | & 1
\end{bmatrix}
$
### Tillvägagångssätt
1. **Koefficienter** till vänster om strecket
2. **Högerled** ($b$-värden) till höger om strecket
3. Varje **rad** motsvarar en ekvation
4. Varje **kolonn** (före strecket) motsvarar en obekant
---
### Exempel med tre obekanta
$
\begin{cases}
x + y + 2z = 9 \\
2x + 4y - 3z = 1 \\
3x + 6y - 5z = 0
\end{cases}
\quad \Longrightarrow \quad
\begin{bmatrix}
1 & 1 & 2 & | & 9 \\
2 & 4 & -3 & | & 1 \\
3 & 6 & -5 & | & 0
\end{bmatrix}
$
---
### Allmänt
$
\begin{cases}
a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\dots+a_{1n}x_{n}=b_{1} \\
a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\dots+a_{2n}x_{n}=b_{2} \\
\vdots \\
a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+\dots+a_{mn}x_{n}=b_{m}
\end{cases}
$
$
\Longrightarrow \quad
\begin{bmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} & | & b_{1} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} & | & b_{2} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots & | & \vdots \\
a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} & | & b_{m}
\end{bmatrix}
$
---
### Lösningsfall vid Gausselimination
| Fall | Kännetecken | Antal lösningar |
| -------------- | ----------------------------------------------- | ------------------ |
| Ingen lösning | Rad: $[0 \quad 0 \quad \cdots \quad 0 \quad b]$ | $b$ där $b \neq 0$ |
| Unik lösning | Lika många pivoter som obekanta | $1$ |
| Oändligt många | Fria variabler finns (och konsistent) | $\infty$ |
---
## Se även
- [[Gausselimination]]
- [[Matriser]]
---
## Resurser
- [3Blue1Brown: Inverse matrices, column space and null space (kap 7)](https://youtu.be/uQhTuRlWMxw)
GeoGebra: System of Linear Equations — grafisk lösning av 2×2-system
<iframe src="https://www.geogebra.org/m/NPrMFwNB" width="100%" height="800"></iframe>
- [matrixcalc.org](https://matrixcalc.org/) — lös system online
- [Wikipedia: System of linear equations](https://en.wikipedia.org/wiki/System_of_linear_equations)