# Linjära avbildningar > **Kapitel:** 1.8–1.9 · **Ämne:** Linjär algebra > **Förkunskaper:** [[Matrisinvers]], [[Matrisoperationer]] --- ## Ordlista svenska ↔ engelska | Svenska | Engelska | |---|---| | Linjär avbildning | Linear transformation/map | | Standardmatris | Standard matrix | | Standardbasvektor | Standard basis vector | | Additiv | Additive | | Homogen | Homogeneous | | Matrisavbildning | Matrix transformation | | Avbilda | Map/transform | | Högerinvers | Right inverse | | Vänsterinvers | Left inverse | | Linjär operator | Linear operator | | Sammansättning | Composition | | Spegling | Reflection | | Rotation | Rotation | | Projektion | Projection | | Idempotent | Idempotent | | Injektiv (en-till-en) | Injective (one-to-one) | --- ## 1. Utökad sats för inverterbara matriser ### Sats (TFAE för $n \times n$ matris) Följande är ekvivalenta: 1. $A$ är inverterbar 2. $A\vec{x} = \vec{0} \Rightarrow \vec{x} = \vec{0}$ 3. $A\vec{x} = \vec{b}$ har lösning för varje $\vec{b}$ 4. $A\vec{x} = \vec{b}$ har **precis en** lösning för varje $\vec{b}$ ### Höger- och vänsterinvers För $n \times n$ matriser $A$, $B$, $C$: - $AC = I \Rightarrow A^{-1} = C$ (högerinvers) - $BA = I \Rightarrow A^{-1} = B$ (vänsterinvers) --- ## 2. Linjära avbildningar > [3B1B: Linear transformations and matrices](https://youtu.be/kYB8IZa5AuE) ### 2.1 Definition En funktion $T: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m$ är en **linjär avbildning** om: $ \vec{x} \in \mathbb{R}^n \xrightarrow{T} A\vec{x} \in \mathbb{R}^m $ Vi skriver $T = T_A$ där $T_A(\vec{x}) = A\vec{x}$. ### 2.2 Egenskaper | Egenskap | Definition | |----------|------------| | **Additiv** | $T_A(\vec{x} + \vec{y}) = T_A(\vec{x}) + T_A(\vec{y})$ | | **Homogen** | $T_A(c\vec{x}) = cT_A(\vec{x})$ | | **Linjär** | $T_A(c\vec{x} + d\vec{y}) = cT(\vec{x}) + dT(\vec{y})$ | --- ## 3. Fundamental sats ### 3.1 Sats En avbildning $T: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m$ är en matrisavbildning (dvs. $T = T_A$ för någon matris $A$) om och endast om: 1. $T(\vec{x} + \vec{y}) = T(\vec{x}) + T(\vec{y})$ (additiv) 2. $T(c\vec{x}) = cT(\vec{x})$ (homogen) $ \boxed{\text{Linjär} \Longleftrightarrow \text{Matrisavbildning}} $ ### 3.2 Sats: Unikhet Om $T_A(\vec{x}) = T_B(\vec{x})$ för alla $\vec{x} \in \mathbb{R}^n$, då är $A = B$. --- ## 4. Standardbasvektorer och standardmatrisen $ \vec{e}_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{pmatrix}, \quad \vec{e}_2 = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ \vdots \\ 0 \end{pmatrix}, \quad \ldots \quad \vec{e}_n = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ \vdots \\ 1 \end{pmatrix} $ **Definition:** Standardmatrisen för en linjär avbildning $T$ är: $ \boxed{A = [T(\vec{e}_1) \quad T(\vec{e}_2) \quad \cdots \quad T(\vec{e}_n)]} $ där $\vec{e}_i$ är standardbasvektorerna. > [!example]- Bestäm standardmatrisen > > Givet $T: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^3$ definierad av: > $ > T\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2x_1 - x_2 \\ x_1 + 3x_2 \\ x_1 \end{pmatrix} > $ > > **Beräkna:** > $ > T(\vec{e}_1) = T\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}, \quad > T(\vec{e}_2) = T\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix} > $ > > **Standardmatrisen:** > $ > A = \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 3 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} > $ --- ## 5. Två typer av uppgifter | Fråga | Beskrivning | |-------|-------------| | "På vad avbildas $\vec{v}$?" | Beräkna $T(\vec{v}) = A\vec{v}$ | | "Vad avbildas på $\vec{w}$?" | Lös $A\vec{x} = \vec{w}$ | --- ## 6. Linjära operatorer i $\mathbb{R}^2$ > [3B1B: Linear transformations](https://youtu.be/kYB8IZa5AuE) · [interaktiv GeoGebra](https://www.geogebra.org/m/VjhNaB8V)   ### 6.1 Spegling **Spegling genom en linje som går genom origo.** **Tillvägagång:** Gå vinkelrätt mot speglingslinjen och gå lika långt åt andra hållet. | Spegling | Matris | |----------|--------| | I x-axeln | $S = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix}$ | | I y-axeln | $S = \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ | | I linjen $y = x$ | $S = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$ | > [!note]- Varför måste speglingslinjen gå genom origo? > Annars är avbildningen inte linjär (den bevarar inte nollvektorn). --- ### 6.2 Projektion **Ortogonal projektion på en linje genom origo.** | Projektion | Matris | |------------|--------| | På x-axeln | $P = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$ | | På y-axeln | $P = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ | | På linjen $y = x$ | $P = \begin{bmatrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{bmatrix}$ | --- ### 6.3 Rotation i $\mathbb{R}^2$ **Rotation moturs med vinkel $\theta$:** $ \boxed{R_\theta = \begin{bmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{bmatrix}} $ **Härledning:** $ \vec{x} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} r\cos\phi \\ r\sin\phi \end{pmatrix} $ $ R_\theta(\vec{x}) = \begin{pmatrix} r\cos(\phi + \theta) \\ r\sin(\phi + \theta) \end{pmatrix} $ Använd additionsformlerna för att få rotationsmatrisen. > [!example]- Rotation $\frac{\pi}{3}$: Vad avbildas på $(1, 2)$? > > $ > R_{\frac{\pi}{3}} = \begin{bmatrix} \cos\frac{\pi}{3} & -\sin\frac{\pi}{3} \\ \sin\frac{\pi}{3} & \cos\frac{\pi}{3} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} \\ \frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2} \end{bmatrix} > $ > > Lös $R_{\frac{\pi}{3}} \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}$ > [!note]- Rotation medurs > 30° medurs = $-30°$ moturs, så använd $R_{-30°}$ --- ## 7. Sammansättningar av avbildningar > [3B1B: Matrix multiplication as composition](https://youtu.be/XkY2DOUCWMU) ### 7.1 Definition Givet: - $S: \mathbb{R}^k \to \mathbb{R}^m$ - $T: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^k$ Sammansättningen: $ S \circ T: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m, \quad (S \circ T)(\vec{x}) = S(T(\vec{x})) $ ### 7.2 Satser **Sats 1:** Om $S$ och $T$ är linjära, så är $S \circ T$ linjär. **Sats 2:** Om $S = S_A$ och $T = T_B$, så är: $ \boxed{S \circ T = T_{AB}} $ **Bevis:** $(S \circ T)(\vec{x}) = S(T(\vec{x})) = S(B\vec{x}) = A(B\vec{x}) = (AB)\vec{x}$ **Formel:** $ T_A \circ T_B = T_{AB} $ > [!warning]- Matrismultiplikation är ej kommutativ > $AB \neq BA$ i allmänhet! Ordningen spelar roll. > [!note]- Kan man alltid gå tillbaka? > Nej, det kräver att avbildningen är **injektiv** (en-till-en). --- ## 8. Inverser av linjära avbildningar ### Sats $ \boxed{T_A^{-1} = T_{A^{-1}}} $ **Bevis:** $ T_{A^{-1}} \circ T_A(\vec{x}) = T_{A^{-1}}(A\vec{x}) = A^{-1}(A\vec{x}) = I\vec{x} = \vec{x} $ > [!note]- Krav > Avbildningen måste vara $T_A: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n$ (kvadratisk matris). --- ## 9. Exempel: Sammansatt avbildning > [!example]- Rotation följt av spegling > > **Problem:** Bestäm matrisen för avbildningen som: > 1. Först roterar $\frac{\pi}{3}$ moturs > 2. Sedan speglar i x-axeln > > På vad avbildas $\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$? > > --- > > **Steg 1: Rotationsmatris** > $ > R_{\frac{\pi}{3}} = \begin{bmatrix} \frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} \\ \frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2} \end{bmatrix} > $ > > **Steg 2: Speglingsmatris (i x-axeln)** > $ > S = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix} > $ > > **Steg 3: Sammansatt matris** (spegling $\circ$ rotation = $S \cdot R$) > $ > S \cdot R_{\frac{\pi}{3}} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} \\ \frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} \\ -\frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{1}{2} \end{bmatrix} > $ > > **Steg 4: Avbilda vektorn** > $ > \begin{bmatrix} \frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} \\ -\frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{1}{2} \end{bmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 - \sqrt{3} \\ -\sqrt{3} - 1 \end{pmatrix} > $ --- ## 10. Kvadrater av operatorer | Operator | Beräkning | Resultat | |----------|-----------|----------| | Spegling $S$ (i $y=x$) | $S^2 = S \circ S$ | $S^2 = I$ | | Projektion $P$ (på $y=x$) | $P^2 = P \circ P$ | $P^2 = P$ (idempotent) | | Rotation $R_\theta$ | $R_\theta^2 = R_\theta \circ R_\theta$ | $R_\theta^2 = R_{2\theta}$ | > [!example]- Beräkningar > > **Spegling i $y = x$:** > $ > S^2 = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = I > $ > > **Projektion på $y = x$:** > $ > P^2 = \begin{bmatrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{bmatrix}^2 = \begin{bmatrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{bmatrix} = P > $ > > **Rotation:** > $ > R_\theta^2 = \begin{bmatrix} \cos 2\theta & -\sin 2\theta \\ \sin 2\theta & \cos 2\theta \end{bmatrix} = R_{2\theta} > $ --- ## 11. Inverser av operatorer | Operator | Invers | Kommentar | |----------|--------|-----------| | Spegling $S$ | $S^{-1} = S$ | Spegling är sin egen invers | | Projektion $P$ | **Existerar ej** | Singulär matris | | Rotation $R_\theta$ | $R_\theta^{-1} = R_{-\theta}$ | Rotera tillbaka | > [!warning]- Varför är projektionsmatrisen ej inverterbar? > Den är **singulär** -- flera vektorer avbildas på samma punkt. > Projektionsmatriser är **aldrig** inverterbara. --- ## Resurser ### Videor - [3Blue1Brown: Linear transformations and matrices (kap 3)](https://youtu.be/kYB8IZa5AuE) -- visuellt vad linjära avbildningar gör med rummet - [3Blue1Brown: Matrix multiplication as composition (kap 4)](https://youtu.be/XkY2DOUCWMU) -- sammansättningar av avbildningar, hur sammansatta avbildningar motsvarar matrismultiplikation - [3Blue1Brown: Three-dimensional linear transformations (kap 5)](https://youtu.be/rHLEWRxRGiM) -- avbildningar i 3D - [3Blue1Brown: Inverse matrices, column space and null space (kap 7)](https://youtu.be/uQhTuRlWMxw) -- inversa avbildningar, singulära matriser ### Interaktiva verktyg GeoGebra: Matrix Transformations -- applicera matriser på former, se rotation/spegling/skalning <iframe src="https://www.geogebra.org/m/sqG26hQj" width="100%" height="800"></iframe> GeoGebra: 2D Linear Transformations -- dra basvektorer, se effekten <iframe src="https://www.geogebra.org/m/pDU4peV5" width="100%" height="800"></iframe> GeoGebra: Matrix Representation of Rotation -- rotationsmatriser visualiserade <iframe src="https://www.geogebra.org/m/QPSKRQua" width="100%" height="800"></iframe> - [Falstad: Matrix Simulation](https://www.falstad.com/matrix/) -- interaktiv 2D-transformation med determinant och egenvärden - [MatVis -- Interactive Matrix Visualization](https://shad.io/MatVis/) -- inspirerad av 3B1B, sliders för matriskomponenter, egenvektorer - [Desmos: Linear Transformations](https://www.desmos.com/calculator/yfeeqwkrhd) - [Visualize It: Linear Transformations](https://visualize-it.github.io/linear_transformations/simulation.html) -- skalning, rotation, skjuvning ### Wikipedia - [Linear map](https://en.wikipedia.org/wiki/Linear_map) - [Transformation matrix](https://en.wikipedia.org/wiki/Transformation_matrix) - [Rotation matrix](https://en.wikipedia.org/wiki/Rotation_matrix) - [Projection (linear algebra)](https://en.wikipedia.org/wiki/Projection_(linear_algebra)) - [Function composition](https://en.wikipedia.org/wiki/Function_composition) ### Fördjupning - [3Blue1Brown: Lesson page -- Linear transformations](https://www.3blue1brown.com/lessons/linear-transformations) -- interaktiva övningar - [3Blue1Brown: Lesson page -- Matrix multiplication](https://www.3blue1brown.com/lessons/matrix-multiplication) -- interaktiva övningar - [Georgia Tech: Interactive Linear Algebra](https://textbooks.math.gatech.edu/ila/) -- fri interaktiv lärobok