# Geometri för linjära system ## Linjär kombination En linjär kombination av vektorer $\vec{v}_1, \vec{v}_2, \ldots, \vec{v}_k$: $c_1 \vec{v}_1 + c_2 \vec{v}_2 + \cdots + c_k \vec{v}_k$ ## Geometrisk tolkning av $A\vec{x} = \vec{b}$ Systemet $A\vec{x} = \vec{b}$ frågar: > Kan $\vec{b}$ skrivas som en linjär kombination av kolonnerna i $A$? ## Lösningsfall - **Unik lösning:** $\vec{b}$ ligger i kolonnrummet, kolonnerna är linjärt oberoende - **Oändligt många lösningar:** $\vec{b}$ i kolonnrummet, kolonnerna är linjärt beroende - **Ingen lösning:** $\vec{b}$ ligger inte i kolonnrummet ## Linjer och plan - **Linje:** $\vec{r}(t) = \vec{p} + t\vec{d}$ - **Plan:** $\vec{r}(s,t) = \vec{p} + s\vec{u} + t\vec{v}$ - **Plan (normalform):** $\vec{n} \cdot (\vec{r} - \vec{p}) = 0$ --- ## Resurser - [3Blue1Brown: Vectors, what even are they? (kap 1)](https://youtu.be/fNk_zzaMoSs) - [3Blue1Brown: Inverse matrices, column space and null space (kap 7)](https://youtu.be/uQhTuRlWMxw) GeoGebra: Span of Two Vectors in 3D <iframe src="https://www.geogebra.org/m/agp4kbft" width="100%" height="800"></iframe> - [Wikipedia: System of linear equations — Geometric interpretation](https://en.wikipedia.org/wiki/System_of_linear_equations#Geometric_interpretation)