# Gausselimination & Trappstegsform --- ## Ordlista svenska ↔ engelska | Svenska | Engelska | | ------------------------ | ------------------------ | | Bundna variabler | Bound/basic variables | | Fria variabler | Free variables | | Pivotelement | Pivot element | | Ledande etta | Leading one | | Trappstegsform | Echelon form | | Reducerad trappstegsform | Reduced row echelon form | | Gausselimination | Gaussian elimination | | Homogent system | Homogeneous system | | Radoperation | Row operation | | Nollrad | Zero row | --- ## 1. Bundna och fria variabler > [3B1B: Inverse matrices, column space, null space](https://youtu.be/uQhTuRlWMxw) Om lösning finns för alla värden av en variabel $t$ så är $t$ en **fri** variabel, medan resten är **bundna**. > [!example]- Exempel: Lösningen $(5-t, 2-t, t)$ > Här är $t$ fri variabel. > > Om man får en ekvation där t.ex. $0 = 1$ saknas lösning (inkonsistent system). --- ## 2. Pivotelement **Definition:** Det första nollskilda elementet på en rad kallas **pivotelement**. Om det är en etta kallas det en **ledande etta**. I en matris markeras pivotelementet ofta med en ruta: $ [\boxed{1} \quad 1 \quad -3 \quad | \quad 4] $ ### Från ekvation till lösning Givet $x + y + 3z = 4$ med $x$ som pivotkolumn: Sätt $z = s$, $y = t$ (fria variabler): $ x = 4 - y - 3z = 4 - t - 3s $ Lösningen: $ (x, y, z) = (4 - t - 3s, t, s) = (4, 0, 0) + t(-1, 1, 0) + s(-3, 0, 1) $ --- ## 3. Trappstegsform (Echelon Form) En matris är på **trappstegsform** om: 1. Nollraderna är samlade längst ned 2. Pivotelement i en rad är alltid till höger om pivotelementet i raden ovanför > [!example]- Exempel på trappstegsform > > Pivotelementet markeras med ruta: > $ > \begin{bmatrix} > \boxed{1} & 2 & 5 & 2 & 2 & | & * \\ > 0 & \boxed{1} & 3 & 6 & 2 & | & * \\ > 0 & 0 & \boxed{1} & 2 & 5 & | & * \\ > 0 & 0 & 0 & 0 & \boxed{1} & | & * > \end{bmatrix} > $ --- ## 4. Reducerad trappstegsform (Reduced Row Echelon Form) En matris är på **reducerad trappstegsform** om: 1. Den är på trappstegsform 2. Alla pivoter är ettor 3. Varje pivot är det enda nollskilda elementet i sin kolumn > [!example]- Exempel på reducerad trappstegsform > > $ > \begin{bmatrix} > \boxed{1} & 0 & 5 & 2 & 0 & | & * \\ > 0 & \boxed{1} & 0 & 6 & 0 & | & * \\ > 0 & 0 & \boxed{1} & 2 & 0 & | & * \\ > 0 & 0 & 0 & 0 & \boxed{1} & | & * > \end{bmatrix} > $ ### Sats Varje matris är radekvivalent med minst en matris på trappstegsform och med **precis en** på reducerad trappstegsform. --- ## 5. Gausselimination — Exempel > [interaktiv GeoGebra](https://www.geogebra.org/m/NKmdvfuz) > [!example]- Reducera till trappstegsform > > **Startmatris:** > $ > \begin{bmatrix} > 0 & -3 & -6 & 4 & | & 9 \\ > -1 & -2 & -1 & 3 & | & 1 \\ > -2 & -3 & 0 & 3 & | & -1 \\ > 1 & 4 & 5 & -9 & | & -7 > \end{bmatrix} > $ > > **Steg 1:** Byt $R_1 \leftrightarrow R_4$ för att få pivotelement i första kolumnen: > $ > \begin{bmatrix} > 1 & 4 & 5 & -9 & | & -7 \\ > -1 & -2 & -1 & 3 & | & 1 \\ > -2 & -3 & 0 & 3 & | & -1 \\ > 0 & -3 & -6 & 4 & | & 9 > \end{bmatrix} > $ > > **Steg 2:** $R_1 + R_2 \to R_2$ och $2R_1 + R_3 \to R_3$: > $ > \begin{bmatrix} > 1 & 4 & 5 & -9 & | & -7 \\ > 0 & \boxed{2} & 4 & -6 & | & -6 \\ > 0 & 5 & 10 & -15 & | & -15 \\ > 0 & -3 & -6 & 4 & | & 9 > \end{bmatrix} > $ > > Fortsätt eliminera under pivoten i kolumn 2... > > **Resultat:** Variablerna som tillhör pivotkolumner är **bundna**, resten är **fria**. --- ## 6. Tolka lösningen | Variabeltyp | Beskrivning | |-------------|-------------| | **Bunden** | Tillhör en pivotkolumn, bestämd av de fria | | **Fri** | Kan sättas till valfritt värde ($s, t, u, \ldots$) | > [!example]- Exempel: Parametriserad lösning > > Om $x$ är bunden och $y, z$ är fria med $y = s$, $z = t$: > $ > x = -2 - 2s - 3t > $ > > Lösningen på vektorform: > $ > (x, y, z) = (-2, 0, 0) + s(-2, 1, 0) + t(-3, 0, 1) > $ ### Notation för fria variabler Sätt fria variabler som: $s, t, u, v, \ldots$ --- ## 7. Homogena system Om högerledet är noll i alla ekvationer i ett linjärt ekvationssystem är det **homogent**. Då är alltid $\vec{x} = \vec{0}$ (triviala lösningen) en lösning: $ x_1 = 0, \quad x_2 = 0, \quad \ldots, \quad x_n = 0 $ --- ## 8. Ekvationssystem med parameter > [interaktiv kalkylator](https://matrixcalc.org/slu.html) > [!example]- Lös systemet beroende på parametern $a$ > > **Startmatris:** > $ > \begin{bmatrix} > \boxed{1} & 1 & 1 & | & 1 \\ > 1 & a^2 & 1 & | & a \\ > 1 & 2 & 0 & | & -1 > \end{bmatrix} > $ > > **Steg 1:** $R_1 \cdot (-1) + R_2 \to R_2$ och $R_1 \cdot (-1) + R_3 \to R_3$: > $ > \begin{bmatrix} > 1 & 1 & 1 & | & 1 \\ > 0 & a^2-1 & 0 & | & a-1 \\ > 0 & 1 & -1 & | & -2 > \end{bmatrix} > $ > > **Steg 2:** Byt $R_2 \leftrightarrow R_3$: > $ > \begin{bmatrix} > 1 & 1 & 1 & | & 1 \\ > 0 & 1 & -1 & | & -2 \\ > 0 & a^2-1 & 0 & | & a-1 > \end{bmatrix} > $ > > **Steg 3:** $R_2 \cdot (-(a^2-1)) + R_3 \to R_3$: > $ > \begin{bmatrix} > 1 & 1 & 1 & | & 1 \\ > 0 & 1 & -1 & | & -2 \\ > 0 & 0 & a^2-1 & | & (a-1) + 2(a^2-1) > \end{bmatrix} > $ > > **Fallanalys:** Antalet pivoter beror på om $a^2 - 1 = 0$ > > --- > > **Fall 1:** $a^2 - 1 \neq 0$ (dvs. $a \neq \pm 1$) > > Tre pivoter $\Rightarrow$ $x, y, z$ bundna (en unik lösning): > $ > z = \frac{(a-1) + 2(a^2-1)}{a^2-1} = \frac{2a+3}{a+1} > $ > > **Fall 2:** $a = 1$ > > Analysera separat... > > **Fall 3:** $a = -1$ > > Analysera separat... --- ## Resurser ### Videor - [3Blue1Brown: Inverse matrices, column space and null space (kap 7)](https://youtu.be/uQhTuRlWMxw) — visar sambandet mellan pivoter, fria variabler och nollrum - [3Blue1Brown: Nonsquare matrices (kap 8)](https://youtu.be/v8VSDg_WQlA) — hur rader/kolumner påverkar lösningsrummet - [MIT 18.06: Lecture 2 — Elimination with Matrices](https://ocw.mit.edu/courses/18-06-linear-algebra-spring-2010/resources/lecture-2-elimination-with-matrices/) — Gilbert Strangs klassiska föreläsning ### Interaktiva verktyg - [eMathHelp: Gauss-Jordan Calculator](https://www.emathhelp.net/calculators/linear-algebra/gauss-jordan-elimination-calculator/) — beräkna med visade steg - [matrixcalc.org: System of Linear Equations](https://matrixcalc.org/slu.html) ### Wikipedia - [Gaussian elimination](https://en.wikipedia.org/wiki/Gaussian_elimination) - [Row echelon form](https://en.wikipedia.org/wiki/Row_echelon_form) ### Fördjupning - [Immersive Linear Algebra — Chapter 6: The Matrix](https://immersivemath.com/ila/ch06_matrices/ch06.html) — interaktiv 3D-bok - [Georgia Tech: Interactive Linear Algebra](https://textbooks.math.gatech.edu/ila/) — fri interaktiv lärobok