# Determinanter
> **Kapitel:** 2.1–2.3 · **Ämne:** Linjär algebra
> **Förkunskaper:** [[Matrisoperationer]], [[Gausselimination]]
---
## Ordlista svenska ↔ engelska
| Svenska | Engelska |
|---|---|
| Determinant | Determinant |
| Kofaktor | Cofactor |
| Utveckling efter rad/kolumn | Cofactor expansion |
| Triangulär matris | Triangular matrix |
| Singulär matris | Singular matrix |
| Cramers regel | Cramer's rule |
| Inverterbar | Invertible |
| Diagonalelement | Diagonal entry |
---
## 1. Determinanter — Översikt
> [3B1B: The determinant](https://youtu.be/Ip3X9LOh2dk)
Determinanter är definierade för **kvadratiska matriser** ($n \times n$).
### Notation
$
\det(A) = |A|
$
---
## 2. Beräkning av determinanter
### 2.1 $1 \times 1$ matris
$
\det([a]) = a
$
### 2.2 $2 \times 2$ matris
$
\det\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} = \boxed{ad - bc}
$
### 2.3 $n \times n$ matris — Kofaktorutveckling
Stryk rad $i$ och kolumn $j$, ta determinanten av det som blir kvar.
**Minor:** $M_{ij}$ = determinanten av $(n-1) \times (n-1)$ matrisen
**Kofaktor:**
$
c_{ij} = (-1)^{i+j} M_{ij}
$
Använd **utveckling efter rad eller kolumn** (rekursiv definition):
$
\det(A) = \sum_{j=1}^{n} a_{1j} \cdot c_{1j}
$
där $c_{1j}$ är kofaktorn.
> [!note]- Teckenmönster för kofaktorer
>
> $
> \begin{bmatrix}
> + & - & + & - & \cdots \\
> - & + & - & + & \cdots \\
> + & - & + & - & \cdots \\
> - & + & - & + & \cdots
> \end{bmatrix}
> $
> [!note]- Komplexitet
> För en $n \times n$ matris ger utveckling $n!$ operationer.
---
## 3. Utveckling efter rad eller kolumn
**Utveckling efter rad 1:**
$
\det(A) = a_{11}c_{11} + a_{12}c_{12} + \cdots + a_{1n}c_{1n} = \sum_{j=1}^{n} a_{1j}c_{1j}
$
**Utveckling efter kolumn $j$:**
$
\det(A) = \sum_{i=1}^{n} a_{ij}c_{ij}
$
### Sats
Utveckling efter **vilken rad eller kolumn som helst** ger samma determinant.
> [!example]- Beräkna determinanten
>
> $
> \det\begin{pmatrix} 3 & 6 & 7 \\ -4 & 1 & 0 \\ 3 & -2 & -4 \end{pmatrix}
> $
>
> Utveckla efter rad 1:
> $
> = 3 \det\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -2 & -4 \end{pmatrix} - 6 \det\begin{pmatrix} -4 & 0 \\ 3 & -4 \end{pmatrix} + 7 \det\begin{pmatrix} -4 & 1 \\ 3 & -2 \end{pmatrix}
> $
>
> $
> = 3(-4) - 6(16) + 7(5) = -12 - 96 + 35 = -73
> $
> [!example]- Välj rad/kolumn med många nollor
>
> $
> \det\begin{pmatrix}
> 2 & 0 & 4 & 0 \\
> -1 & 3 & 2 & -1 \\
> 1 & 2 & 1 & 0 \\
> 0 & 1 & 2 & 0
> \end{pmatrix}
> $
>
> Utveckla efter **kolumn 4** (tre nollor!):
> $
> = -(-1) \det\begin{pmatrix} 2 & 0 & 4 \\ 1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \end{pmatrix} = \det\begin{pmatrix} 2 & 0 & 4 \\ 1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \end{pmatrix}
> $
>
> Fortsätt utveckla...
---
## 4. Viktiga satser
| Sats | Beskrivning |
|------|-------------|
| $\det(A) = \det(A^T)$ | Determinanten är samma för transponatet |
| Triangulär matris | $\det = $ produkten av diagonalelementen |
| $\det(I) = 1$ | Identitetsmatrisens determinant |
| $\det(AB) = \det(A) \cdot \det(B)$ | Multiplikativ egenskap |
| $\det(A) \neq 0 \Leftrightarrow A$ inverterbar | Kriterium för inverterbarhet |
### Transponat
$
\boxed{\det(A) = \det(A^T)}
$
### Triangulära matriser
För en triangulär matris (över- eller undertriangulär) är determinanten **produkten av diagonalelementen**.
### Linjäritet
Determinanten är **linjär i varje rad och kolumn**:
- Homogen: $\det(kA) = k^n \det(A)$ för $n \times n$ matris
- Additiv i varje rad/kolumn separat
---
## 5. Effekt av radoperationer
| Operation | Effekt på $\det$ |
|-----------|------------------|
| Byta plats på två rader | $\det \to -\det$ |
| Multiplicera rad med $k$ | $\det \to k \cdot \det$ |
| Addera multipel av rad till annan | $\det$ oförändrad |
### Konsekvens
Om två rader (eller kolumner) är:
- **Lika:** $\det(A) = 0$
- **Multiplar av varandra:** $\det(A) = 0$
---
## 6. Två metoder för att beräkna determinant
1. **Utveckling efter rad/kolumn** — Välj rad/kolumn med många nollor
2. **Gausseliminera till triangulär form** — Ta produkten av diagonalen
> [!example]- Beräkna med elementära matriser
>
> **Grundidé:** Om $E$ är elementär matris så gäller:
> $
> \det(EA) = \det(E) \cdot \det(A)
> $
>
> **Determinanter för elementära matriser:**
> - Multiplicera rad med $k$: $\det(E) = k$
> - Addera multipel: $\det(E) = 1$
> - Byta rader: $\det(E) = -1$
### Beräkna determinant med Gausselimination
**Metod:** Reducera till triangulär form och ta produkten av diagonalen.
> [!example]- Exempel
>
> $
> \det\begin{pmatrix} 0 & 1 & 5 \\ 0 & 1 & 5 \\ 2 & 6 & 1 \end{pmatrix}
> $
>
> Två identiska rader $\Rightarrow \det = 0$
>
> ---
>
> Annat exempel med radoperationer:
>
> $
> \begin{pmatrix} 1 & -2 & 3 \\ 0 & 1 & 5 \\ 2 & 6 & 1 \end{pmatrix}
> \xrightarrow{R_3 - 2R_1}
> \begin{pmatrix} 1 & -2 & 3 \\ 0 & 1 & 5 \\ 0 & 10 & -5 \end{pmatrix}
> \xrightarrow{R_3 - 10R_2}
> \begin{pmatrix} 1 & -2 & 3 \\ 0 & 1 & 5 \\ 0 & 0 & -55 \end{pmatrix}
> $
>
> $\det = 1 \cdot 1 \cdot (-55) = -55$
---
## 7. Singulära matriser
**Definition:** En matris är **singulär** om den ej är inverterbar.
$
A \text{ singulär} \Longleftrightarrow \det(A) = 0
$
---
## 8. Cramers regel
> [3B1B: Cramer's rule, explained geometrically](https://youtu.be/jBsC34PxzoM)
### 8.1 Lemma
Om $AB$ är inverterbar så är både $A$ och $B$ inverterbara.
### 8.2 Cramers regel
För systemet $A\vec{x} = \vec{b}$ med $\det(A) \neq 0$:
$
\boxed{x_j = \frac{\det(A_j(\vec{b}))}{\det(A)}}
$
där $A_j(\vec{b})$ är matrisen $A$ med kolumn $j$ ersatt av $\vec{b}$.
---
## Se även
- [[Gausselimination]]
- [[Matriser]]
- [[Cramers regel]]
---
## Resurser
### Videor
- [3Blue1Brown: The determinant (kap 6)](https://youtu.be/Ip3X9LOh2dk) — geometrisk tolkning av determinanten som area/volym
- [3Blue1Brown: Cramer's rule, explained geometrically (kap 12)](https://youtu.be/jBsC34PxzoM) — visuell förklaring av Cramers regel
- [3Blue1Brown: Inverse matrices, column space and null space (kap 7)](https://youtu.be/uQhTuRlWMxw) — singulära matriser och $\det = 0$
### Interaktiva verktyg
GeoGebra: Parallelogram Area (determinant) — determinant som area
<iframe src="https://www.geogebra.org/m/D8rjsGzF" width="100%" height="800"></iframe>
- [matrixcalc.org: Determinant Calculator](https://matrixcalc.org/det.html) — beräkna med visade steg
- [Falstad: Matrix Simulation](https://www.falstad.com/matrix/) — se hur determinanten förändras
- [Desmos Matrix Calculator](https://www.desmos.com/matrix)
- [matrixcalc.org](https://matrixcalc.org/) — beräkna determinanter online
### Wikipedia
- [Determinant](https://en.wikipedia.org/wiki/Determinant)
- [Cramer's rule](https://en.wikipedia.org/wiki/Cramer%27s_rule)
- [Cofactor expansion](https://en.wikipedia.org/wiki/Laplace_expansion)
### Fördjupning
- [Immersive Linear Algebra — Chapter 7: Determinants](https://immersivemath.com/ila/ch07_determinants/ch07.html) — interaktiv 3D-bok
- [MIT 18.06SC: Properties of Determinants](https://ocw.mit.edu/courses/18-06sc-linear-algebra-fall-2011/pages/resource-index/)