# Basbyte
## Ordlista svenska <-> engelska
| Svenska | Engelska |
|---|---|
| Basbyte | Change of basis |
| Övergångsmatris | Transition matrix |
| Koordinatvektor | Coordinate vector |
| Bas | Basis |
| Standardbas | Standard basis |
| Inverterbar | Invertible |
| Kolonnvektor | Column vector |
---
## 1. Problemställningen
> [3B1B: Change of basis](https://youtu.be/P2LTAUO1TdA)
I [[V4L3 M0067M]] såg vi att samma vektor $\vec{x}$ får **olika** koordinatvektorer beroende på vilken bas vi väljer. Det leder till en naturlig fråga:
> Om vi känner koordinaterna för $\vec{x}$ relativt **en** bas — hur beräknar vi koordinaterna relativt en **annan** bas?
**Konkret:** Givet två baser $B$ och $B'$ för ett vektorrum $V$, och koordinatvektorn $[\vec{x}]_B$. Hur hittar vi $[\vec{x}]_{B'}$?
> [!tip] Varför behövs detta?
> Ibland är ett problem svårt att lösa i en viss bas men enkelt i en annan. Basbyte låter oss "byta perspektiv" — lösa problemet i den bekväma basen och sedan översätta tillbaka.
>
> **Analogi:** Tänk på att byta från kartesiska koordinater till polära koordinater. Samma punkt i planet, men olika siffror som beskriver den. Ibland är polära koordinater smidigare (t.ex. för cirklar).
---
## 2. Övergångsmatris — definition
> [!abstract] Definition: Övergångsmatris
> Låt $B = \{\vec{b}_1, \dots, \vec{b}_n\}$ och $B' = \{\vec{b}'_1, \dots, \vec{b}'_n\}$ vara två baser för ett vektorrum $V$.
>
> **Övergångsmatrisen** (transition matrix) från $B$ till $B'$ är den unika $n \times n$-matris $P_{B \to B'}$ som uppfyller:
>
> $[\vec{x}]_{B'} = P_{B \to B'} \, [\vec{x}]_B$
>
> för alla $\vec{x} \in V$.
**Med andra ord:** övergångsmatrisen "översätter" koordinater i bas $B$ till koordinater i bas $B'$ genom en enkel matrismultiplikation.
> [!important] Notationen $P_{B \to B'}$
> Pilen visar **riktningen** på översättningen: från $B$-koordinater **till** $B'$-koordinater. Läs det som "övergångsmatrisen **från** $B$ **till** $B'
quot;.
>
> Var noga med ordningen — $P_{B \to B'}$ och $P_{B' \to B}$ är **inte** samma matris!
---
## 3. Hur beräknar man övergångsmatrisen?
### 3.1 Metod: via kolumner
Övergångsmatrisen $P_{B \to B'}$ fås genom att uttrycka de **gamla** basvektorerna ($B$:s vektorer) i den **nya** basens ($B'$:s) koordinater:
$P_{B \to B'} = \Big[[\vec{b}_1]_{B'} \quad [\vec{b}_2]_{B'} \quad \cdots \quad [\vec{b}_n]_{B'}\Big]$
**Varför?** Om vi sätter $\vec{x} = \vec{b}_j$ (den $j$:te basvektorn i $B$), så ger $[\vec{b}_j]_B = \vec{e}_j$ (enhetsvektorn). Då:
$[\vec{b}_j]_{B'} = P_{B \to B'} \, [\vec{b}_j]_B = P_{B \to B'} \, \vec{e}_j = \text{kolumn } j \text{ i } P_{B \to B'}$
> [!tip] Minnesregel
> Kolumn $j$ i $P_{B \to B'}$ = koordinaterna för den $j$:te **gamla** ($B$) basvektorn uttryckt i den **nya** ($B'$) basen.
---
### 3.2 Metod i $\mathbb{R}^n$: radreducering
I $\mathbb{R}^n$ finns en smidig beräkningsmetod. Bilda den utökade matrisen med $B'$:s vektorer till vänster och $B$:s vektorer till höger, och radreducera:
$\Big[B' \;\Big|\; B\Big] \xrightarrow{\text{radreducera}} \Big[I \;\Big|\; P_{B \to B'}\Big]$
**Varför fungerar detta?** Vi löser $n$ ekvationssystem samtidigt: för varje basvektor $\vec{b}_j$ i $B$ söker vi koefficienter $c_1, \dots, c_n$ sådana att $c_1\vec{b}'_1 + \dots + c_n\vec{b}'_n = \vec{b}_j$. Dessa koefficienter är precis $[\vec{b}_j]_{B'}$, dvs. kolumn $j$ i $P_{B \to B'}$.
> [!example]- Räkneexempel: Övergångsmatris i $\mathbb{R}^2$
> Givet baserna:
> - $B = \left\{\begin{bmatrix}1\\3\end{bmatrix}, \begin{bmatrix}2\\1\end{bmatrix}\right\}$
> - $B' = \left\{\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}, \begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}\right\}$ (standardbasen)
>
> **Bestäm $P_{B \to B'}$.**
>
> **Metod:** Radreducera $[B' \mid B]$:
>
> $\left[\begin{array}{cc|cc}1 & 0 & 1 & 2\\0 & 1 & 3 & 1\end{array}\right]$
>
> Matrisen är redan på reducerad trappstegsform!
>
> $P_{B \to B'} = \begin{bmatrix}1 & 2\\3 & 1\end{bmatrix}$
>
> **Kontroll:** Låt $\vec{x}$ ha koordinaterna $[\vec{x}]_B = \begin{bmatrix}2\\1\end{bmatrix}$.
>
> Då: $\vec{x} = 2\begin{bmatrix}1\\3\end{bmatrix} + 1\begin{bmatrix}2\\1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}4\\7\end{bmatrix}$.
>
> Med formeln: $[\vec{x}]_{B'} = P_{B \to B'} [\vec{x}]_B = \begin{bmatrix}1 & 2\\3 & 1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}2\\1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}4\\7\end{bmatrix}$.
>
> Och i standardbasen: $[\vec{x}]_{B'} = \vec{x} = \begin{bmatrix}4\\7\end{bmatrix}$. ✓
>
> **Notera:** När $B'$ är standardbasen blir övergångsmatrisen helt enkelt $P_{B \to \text{std}} = [B]$ (basvektorerna i $B$ som kolumner). Det beror på att koordinaterna i standardbasen **är** de vanliga komponenterna.
> [!example]- Räkneexempel: Övergångsmatris i $\mathbb{R}^3$ (möjlig tentauppgift)
> Givet baserna:
> - $B = \left\{\begin{bmatrix}1\\0\\1\end{bmatrix}, \begin{bmatrix}0\\1\\1\end{bmatrix}, \begin{bmatrix}1\\1\\0\end{bmatrix}\right\}$
> - $B' = \left\{\begin{bmatrix}1\\0\\0\end{bmatrix}, \begin{bmatrix}0\\1\\0\end{bmatrix}, \begin{bmatrix}0\\0\\1\end{bmatrix}\right\}$ (standardbasen)
>
> **Bestäm $P_{B \to B'}$.**
>
> Radreducera $[B' \mid B]$:
> $\left[\begin{array}{ccc|ccc}1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1\\0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 1\\0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 0\end{array}\right]$
>
> Redan reducerad!
>
> $P_{B \to B'} = \begin{bmatrix}1 & 0 & 1\\0 & 1 & 1\\1 & 1 & 0\end{bmatrix}$
>
> **Kontroll:** Verifiera med $\vec{b}_1$: $[\vec{b}_1]_B = \begin{bmatrix}1\\0\\0\end{bmatrix}$, så:
>
> $P_{B \to B'}\begin{bmatrix}1\\0\\0\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}1\\0\\1\end{bmatrix} = \vec{b}_1$ i standardkoordinater. ✓
> [!example]- Räkneexempel: Mellan två icke-standardbaser
> Givet baserna i $\mathbb{R}^2$:
> - $B = \left\{\begin{bmatrix}1\\2\end{bmatrix}, \begin{bmatrix}3\\1\end{bmatrix}\right\}$
> - $B' = \left\{\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}, \begin{bmatrix}1\\-1\end{bmatrix}\right\}$
>
> **Bestäm $P_{B \to B'}$.**
>
> Radreducera $[B' \mid B]$:
> $\left[\begin{array}{cc|cc}1 & 1 & 1 & 3\\1 & -1 & 2 & 1\end{array}\right] \xrightarrow{R_2 - R_1} \left[\begin{array}{cc|cc}1 & 1 & 1 & 3\\0 & -2 & 1 & -2\end{array}\right]$
>
> $\xrightarrow{R_2 / (-2)} \left[\begin{array}{cc|cc}1 & 1 & 1 & 3\\0 & 1 & -\frac{1}{2} & 1\end{array}\right] \xrightarrow{R_1 - R_2} \left[\begin{array}{cc|cc}1 & 0 & \frac{3}{2} & 2\\0 & 1 & -\frac{1}{2} & 1\end{array}\right]$
>
> $P_{B \to B'} = \begin{bmatrix}\frac{3}{2} & 2\\-\frac{1}{2} & 1\end{bmatrix}$
>
> **Kontroll:** Låt $[\vec{x}]_B = \begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}$. Då $\vec{x} = 1\begin{bmatrix}1\\2\end{bmatrix} + 1\begin{bmatrix}3\\1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}4\\3\end{bmatrix}$.
>
> Formeln ger: $[\vec{x}]_{B'} = \begin{bmatrix}\frac{3}{2} & 2\\-\frac{1}{2} & 1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}\frac{7}{2}\\\frac{1}{2}\end{bmatrix}$.
>
> Verifiera: $\frac{7}{2}\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix} + \frac{1}{2}\begin{bmatrix}1\\-1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}\frac{7}{2} + \frac{1}{2}\\\frac{7}{2} - \frac{1}{2}\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}4\\3\end{bmatrix}$ ✓
---
## 4. Egenskaper hos övergångsmatrisen
> [!theorem] Sats: Övergångsmatrisen är inverterbar
> Övergångsmatrisen $P_{B \to B'}$ är alltid **inverterbar**, och dess invers är övergångsmatrisen i **motsatt riktning**:
>
> $\left(P_{B \to B'}\right)^{-1} = P_{B' \to B}$
**Varför?** Vi har:
$[\vec{x}]_{B'} = P_{B \to B'} \, [\vec{x}]_B$
Multiplicera båda sidor med $(P_{B \to B'})^{-1}$:
$[\vec{x}]_B = \left(P_{B \to B'}\right)^{-1} [\vec{x}]_{B'}$
Men per definition gäller $[\vec{x}]_B = P_{B' \to B} \, [\vec{x}]_{B'}$. Alltså $P_{B' \to B} = (P_{B \to B'})^{-1}$. ∎
> [!tip] Praktisk konsekvens
> Om du har beräknat $P_{B \to B'}$ behöver du **inte** göra om hela beräkningen för att gå åt andra hållet — invertera matrisen! Och om matrisen är $2 \times 2$ kan du använda formeln $A^{-1} = \frac{1}{ad-bc}\begin{bmatrix}d & -b\\-c & a\end{bmatrix}$.
> [!theorem] Sats: Kedja av basbyten
> Om $B$, $B'$ och $B''$ är tre baser för samma vektorrum, så gäller:
>
> $P_{B \to B''} = P_{B' \to B''} \cdot P_{B \to B'}$
>
> Man kan "kedja" övergångsmatriser genom matrismultiplikation.
**Intuition:** Först översätt från $B$ till $B'$, sedan från $B'$ till $B''$. Sammansättningen ger direkt från $B$ till $B''$.
---
## 5. Specialfall: basbyte via standardbasen
Om en av baserna är **standardbasen** $E = \{\vec{e}_1, \dots, \vec{e}_n\}$ i $\mathbb{R}^n$ förenklas beräkningarna avsevärt.
### 5.1 Från bas $B$ till standardbasen
$P_{B \to E} = [\vec{b}_1 \quad \vec{b}_2 \quad \cdots \quad \vec{b}_n]$
Det vill säga: övergångsmatrisen är helt enkelt matrisen med $B$:s basvektorer som kolumner!
**Varför?** I standardbasen är $[\vec{b}_j]_E = \vec{b}_j$ (koordinaterna **är** komponenterna).
### 5.2 Från standardbasen till bas $B$
$P_{E \to B} = \left(P_{B \to E}\right)^{-1} = [\vec{b}_1 \quad \cdots \quad \vec{b}_n]^{-1}$
### 5.3 Mellan två baser via standardbasen
Vill du beräkna $P_{B \to B'}$ kan du gå **via** standardbasen:
$P_{B \to B'} = P_{E \to B'} \cdot P_{B \to E} = \left(P_{B' \to E}\right)^{-1} \cdot P_{B \to E}$
> [!example]- Räkneexempel: Via standardbasen
> Givet i $\mathbb{R}^2$:
> - $B = \left\{\begin{bmatrix}1\\2\end{bmatrix}, \begin{bmatrix}3\\1\end{bmatrix}\right\}$
> - $B' = \left\{\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}, \begin{bmatrix}1\\-1\end{bmatrix}\right\}$
>
> **Steg 1:** $P_{B \to E} = \begin{bmatrix}1 & 3\\2 & 1\end{bmatrix}$ (basvektorerna i $B$ som kolumner).
>
> **Steg 2:** $P_{B' \to E} = \begin{bmatrix}1 & 1\\1 & -1\end{bmatrix}$.
>
> **Steg 3:** $P_{E \to B'} = (P_{B' \to E})^{-1} = \frac{1}{-2}\begin{bmatrix}-1 & -1\\-1 & 1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}\frac{1}{2} & \frac{1}{2}\\\frac{1}{2} & -\frac{1}{2}\end{bmatrix}$.
>
> **Steg 4:**
> $P_{B \to B'} = P_{E \to B'} \cdot P_{B \to E} = \begin{bmatrix}\frac{1}{2} & \frac{1}{2}\\\frac{1}{2} & -\frac{1}{2}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1 & 3\\2 & 1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}\frac{3}{2} & 2\\-\frac{1}{2} & 1\end{bmatrix}$
>
> Samma svar som med radreduceringsmetoden! ✓
---
## 6. Basbyte i andra vektorrum
Metoden fungerar inte bara i $\mathbb{R}^n$ — den gäller i **alla** ändligtdimensionella vektorrum. Nyckeln är att översätta till $\mathbb{R}^n$ via koordinater.
> [!example]- Basbyte i $\mathcal{P}_2$
> Givet baserna i $\mathcal{P}_2$:
> - $B = \{1, x, x^2\}$ (standardbasen)
> - $B' = \{1 + x, 1 - x, x^2\}$
>
> **Bestäm $P_{B \to B'}$.**
>
> **Steg 1:** Uttryck $B$:s vektorer i $B'$:s koordinater.
>
> Översätt till $\mathbb{R}^3$:
> - $B$: $(1) \leftrightarrow \begin{bmatrix}1\\0\\0\end{bmatrix}$, $(x) \leftrightarrow \begin{bmatrix}0\\1\\0\end{bmatrix}$, $(x^2) \leftrightarrow \begin{bmatrix}0\\0\\1\end{bmatrix}$
> - $B'$: $(1+x) \leftrightarrow \begin{bmatrix}1\\1\\0\end{bmatrix}$, $(1-x) \leftrightarrow \begin{bmatrix}1\\-1\\0\end{bmatrix}$, $(x^2) \leftrightarrow \begin{bmatrix}0\\0\\1\end{bmatrix}$
>
> **Steg 2:** Radreducera $[B' \mid B]$ (i $\mathbb{R}^3$):
>
> $\left[\begin{array}{ccc|ccc}1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0\\1 & -1 & 0 & 0 & 1 & 0\\0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1\end{array}\right] \xrightarrow{R_2 - R_1} \left[\begin{array}{ccc|ccc}1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0\\0 & -2 & 0 & -1 & 1 & 0\\0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1\end{array}\right]$
>
> $\xrightarrow{R_2/(-2)} \left[\begin{array}{ccc|ccc}1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0\\0 & 1 & 0 & \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & 0\\0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1\end{array}\right] \xrightarrow{R_1 - R_2} \left[\begin{array}{ccc|ccc}1 & 0 & 0 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0\\0 & 1 & 0 & \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & 0\\0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1\end{array}\right]$
>
> $P_{B \to B'} = \begin{bmatrix}\frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0\\\frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & 0\\0 & 0 & 1\end{bmatrix}$
>
> **Kontroll:** Polynomet $p(x) = 3 + 2x$ har $[p]_B = \begin{bmatrix}3\\2\\0\end{bmatrix}$.
>
> $[p]_{B'} = P_{B \to B'}\begin{bmatrix}3\\2\\0\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}\frac{5}{2}\\\frac{1}{2}\\0\end{bmatrix}$
>
> Verifiera: $\frac{5}{2}(1+x) + \frac{1}{2}(1-x) + 0 \cdot x^2 = \frac{5}{2} + \frac{5}{2}x + \frac{1}{2} - \frac{1}{2}x = 3 + 2x$ ✓
---
## 7. Beslutsträd
### Beräkna övergångsmatrisen $P_{B \to B'}$
```mermaid
flowchart TD
A["Givet: baser B och B' för V"] --> B{"Arbetar vi i Rⁿ?"}
B -- Ja --> C["Bilda [B' | B]\noch radreducera\ntill [I | P]"]
B -- Nej --> D["Översätt B och B'\ntill koordinater i Rⁿ\n(via standardbasen)"]
D --> C
C --> E["P = P_{B→B'}"]
E --> F{"Behöver du P_{B'→B}?"}
F -- Ja --> G["P_{B'→B} = P⁻¹"]
F -- Nej --> H["Klar!"]
```
### Beräkna $[\vec{x}]_{B'}$ givet $[\vec{x}]_B$
```mermaid
flowchart TD
A["Givet: [x]_B och baserna B, B'"] --> B["Beräkna P_{B→B'}\n(se ovan)"]
B --> C["Matrismultiplicera:\n[x]_{B'} = P_{B→B'} · [x]_B"]
C --> D["Svar: [x]_{B'}"]
```
---
## 8. Övningsuppgifter
### Övergångsmatris-uppgifter
> [!question]- Uppgift 1: Övergångsmatris i $\mathbb{R}^2$
> Givet:
> - $B = \left\{\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}, \begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}\right\}$ (standardbasen)
> - $B' = \left\{\begin{bmatrix}2\\1\end{bmatrix}, \begin{bmatrix}1\\3\end{bmatrix}\right\}$
>
> Bestäm $P_{B \to B'}$.
>
> > [!hint]- Ledtråd 1
> > Radreducera $[B' \mid B]$, dvs. $\left[\begin{array}{cc|cc}2 & 1 & 1 & 0\\1 & 3 & 0 & 1\end{array}\right]$.
>
> > [!hint]- Ledtråd 2
> > Alternativt: $B$ är standardbasen, så $P_{B \to B'} = (P_{B' \to E})^{-1} = \begin{bmatrix}2 & 1\\1 & 3\end{bmatrix}^{-1}$.
>
> > [!success]- Facit
> > $P_{B \to B'} = \frac{1}{5}\begin{bmatrix}3 & -1\\-1 & 2\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}\frac{3}{5} & -\frac{1}{5}\\-\frac{1}{5} & \frac{2}{5}\end{bmatrix}$
> >
> > > [!success]- Full lösning
> > > **Metod 1 (radreducering):**
> > > $\left[\begin{array}{cc|cc}2 & 1 & 1 & 0\\1 & 3 & 0 & 1\end{array}\right] \xrightarrow{R_1 \leftrightarrow R_2} \left[\begin{array}{cc|cc}1 & 3 & 0 & 1\\2 & 1 & 1 & 0\end{array}\right]$
> > >
> > > $\xrightarrow{R_2 - 2R_1} \left[\begin{array}{cc|cc}1 & 3 & 0 & 1\\0 & -5 & 1 & -2\end{array}\right] \xrightarrow{R_2/(-5)} \left[\begin{array}{cc|cc}1 & 3 & 0 & 1\\0 & 1 & -\frac{1}{5} & \frac{2}{5}\end{array}\right]$
> > >
> > > $\xrightarrow{R_1 - 3R_2} \left[\begin{array}{cc|cc}1 & 0 & \frac{3}{5} & -\frac{1}{5}\\0 & 1 & -\frac{1}{5} & \frac{2}{5}\end{array}\right]$
> > >
> > > $P_{B \to B'} = \begin{bmatrix}\frac{3}{5} & -\frac{1}{5}\\-\frac{1}{5} & \frac{2}{5}\end{bmatrix}$
> > >
> > > **Metod 2 (invers):** Eftersom $B$ är standardbasen:
> > > $P_{B \to B'} = P_{E \to B'} = (P_{B' \to E})^{-1} = \begin{bmatrix}2 & 1\\1 & 3\end{bmatrix}^{-1} = \frac{1}{5}\begin{bmatrix}3 & -1\\-1 & 2\end{bmatrix}$
> > >
> > > **Kontroll:** $\vec{e}_1 = \begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}$, $[\vec{e}_1]_{B'} = P_{B \to B'}\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}\frac{3}{5}\\-\frac{1}{5}\end{bmatrix}$.
> > >
> > > Verifiera: $\frac{3}{5}\begin{bmatrix}2\\1\end{bmatrix} + \left(-\frac{1}{5}\right)\begin{bmatrix}1\\3\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}\frac{6}{5} - \frac{1}{5}\\\frac{3}{5} - \frac{3}{5}\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix} = \vec{e}_1$ ✓
> [!question]- Uppgift 2: Mellan två icke-standardbaser
> Givet i $\mathbb{R}^2$:
> - $B = \left\{\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}, \begin{bmatrix}2\\-1\end{bmatrix}\right\}$
> - $B' = \left\{\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}, \begin{bmatrix}1\\2\end{bmatrix}\right\}$
>
> a) Bestäm $P_{B \to B'}$.
> b) Om $[\vec{x}]_B = \begin{bmatrix}3\\-1\end{bmatrix}$, bestäm $[\vec{x}]_{B'}$.
>
> > [!hint]- Ledtråd
> > Radreducera $[B' \mid B] = \left[\begin{array}{cc|cc}1 & 1 & 1 & 2\\0 & 2 & 1 & -1\end{array}\right]$.
>
> > [!success]- Facit
> > a) $P_{B \to B'} = \begin{bmatrix}\frac{1}{2} & \frac{5}{2}\\\frac{1}{2} & -\frac{1}{2}\end{bmatrix}$
> >
> > b) $[\vec{x}]_{B'} = \begin{bmatrix}-1\\2\end{bmatrix}$
> >
> > > [!success]- Full lösning
> > > **a)**
> > > $\left[\begin{array}{cc|cc}1 & 1 & 1 & 2\\0 & 2 & 1 & -1\end{array}\right] \xrightarrow{R_2/2} \left[\begin{array}{cc|cc}1 & 1 & 1 & 2\\0 & 1 & \frac{1}{2} & -\frac{1}{2}\end{array}\right]$
> > >
> > > $\xrightarrow{R_1 - R_2} \left[\begin{array}{cc|cc}1 & 0 & \frac{1}{2} & \frac{5}{2}\\0 & 1 & \frac{1}{2} & -\frac{1}{2}\end{array}\right]$
> > >
> > > $P_{B \to B'} = \begin{bmatrix}\frac{1}{2} & \frac{5}{2}\\\frac{1}{2} & -\frac{1}{2}\end{bmatrix}$
> > >
> > > **b)**
> > > $[\vec{x}]_{B'} = P_{B \to B'}\begin{bmatrix}3\\-1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}\frac{1}{2} & \frac{5}{2}\\\frac{1}{2} & -\frac{1}{2}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}3\\-1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}\frac{3}{2} - \frac{5}{2}\\\frac{3}{2} + \frac{1}{2}\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}-1\\2\end{bmatrix}$
> > >
> > > **Kontroll:** $\vec{x} = 3\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix} - 1\begin{bmatrix}2\\-1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}1\\4\end{bmatrix}$.
> > >
> > > I $B'$: $-1\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix} + 2\begin{bmatrix}1\\2\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}-1+2\\0+4\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}1\\4\end{bmatrix}$ ✓
> [!question]- Uppgift 3: Basbyte i $\mathcal{P}_1$
> Givet baserna i $\mathcal{P}_1$:
> - $B = \{1, x\}$ (standardbasen)
> - $B' = \{1 + x, 1 - x\}$
>
> a) Bestäm $P_{B \to B'}$.
> b) Bestäm koordinaterna för $p(x) = 5 + 3x$ i basen $B'$.
>
> > [!hint]- Ledtråd
> > Översätt till $\mathbb{R}^2$: $1 \leftrightarrow \begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}$, $x \leftrightarrow \begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}$, $(1+x) \leftrightarrow \begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}$, $(1-x) \leftrightarrow \begin{bmatrix}1\\-1\end{bmatrix}$.
>
> > [!success]- Facit
> > a) $P_{B \to B'} = \begin{bmatrix}\frac{1}{2} & \frac{1}{2}\\\frac{1}{2} & -\frac{1}{2}\end{bmatrix}$
> >
> > b) $[5 + 3x]_{B'} = \begin{bmatrix}4\\1\end{bmatrix}$, alltså $5 + 3x = 4(1+x) + 1(1-x)$.
> >
> > > [!success]- Full lösning
> > > **a)** Radreducera $[B' \mid B]$ i $\mathbb{R}^2$:
> > >
> > > $\left[\begin{array}{cc|cc}1 & 1 & 1 & 0\\1 & -1 & 0 & 1\end{array}\right] \xrightarrow{R_2 - R_1} \left[\begin{array}{cc|cc}1 & 1 & 1 & 0\\0 & -2 & -1 & 1\end{array}\right]$
> > >
> > > $\xrightarrow{R_2/(-2)} \left[\begin{array}{cc|cc}1 & 1 & 1 & 0\\0 & 1 & \frac{1}{2} & -\frac{1}{2}\end{array}\right] \xrightarrow{R_1 - R_2} \left[\begin{array}{cc|cc}1 & 0 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2}\\0 & 1 & \frac{1}{2} & -\frac{1}{2}\end{array}\right]$
> > >
> > > $P_{B \to B'} = \begin{bmatrix}\frac{1}{2} & \frac{1}{2}\\\frac{1}{2} & -\frac{1}{2}\end{bmatrix}$
> > >
> > > **b)** $[5+3x]_B = \begin{bmatrix}5\\3\end{bmatrix}$ (i standardbasen).
> > >
> > > $[5+3x]_{B'} = P_{B \to B'}\begin{bmatrix}5\\3\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}\frac{1}{2} & \frac{1}{2}\\\frac{1}{2} & -\frac{1}{2}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}5\\3\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}4\\1\end{bmatrix}$
> > >
> > > **Kontroll:** $4(1+x) + 1(1-x) = 4 + 4x + 1 - x = 5 + 3x$ ✓
---
### Inversuppgifter
> [!question]- Uppgift 4: Omvänd riktning
> Från uppgift 2 vet vi att $P_{B \to B'} = \begin{bmatrix}\frac{1}{2} & \frac{5}{2}\\\frac{1}{2} & -\frac{1}{2}\end{bmatrix}$.
>
> Bestäm $P_{B' \to B}$ och använd den för att beräkna $[\vec{x}]_B$ givet $[\vec{x}]_{B'} = \begin{bmatrix}2\\3\end{bmatrix}$.
>
> > [!hint]- Ledtråd
> > $P_{B' \to B} = (P_{B \to B'})^{-1}$. Använd $2 \times 2$-inversformeln.
>
> > [!success]- Facit
> > $P_{B' \to B} = \begin{bmatrix}\frac{1}{3} & \frac{5}{3}\\\frac{1}{3} & -\frac{1}{3}\end{bmatrix}$, $[\vec{x}]_B = \begin{bmatrix}\frac{17}{3}\\-\frac{1}{3}\end{bmatrix}$.
> >
> > > [!success]- Full lösning
> > > $\det(P_{B \to B'}) = \frac{1}{2} \cdot (-\frac{1}{2}) - \frac{5}{2} \cdot \frac{1}{2} = -\frac{1}{4} - \frac{5}{4} = -\frac{6}{4} = -\frac{3}{2}$.
> > >
> > > $P_{B' \to B} = \frac{1}{-\frac{3}{2}}\begin{bmatrix}-\frac{1}{2} & -\frac{5}{2}\\-\frac{1}{2} & \frac{1}{2}\end{bmatrix} = -\frac{2}{3}\begin{bmatrix}-\frac{1}{2} & -\frac{5}{2}\\-\frac{1}{2} & \frac{1}{2}\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}\frac{1}{3} & \frac{5}{3}\\\frac{1}{3} & -\frac{1}{3}\end{bmatrix}$
> > >
> > > $[\vec{x}]_B = P_{B' \to B}\begin{bmatrix}2\\3\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}\frac{1}{3} & \frac{5}{3}\\\frac{1}{3} & -\frac{1}{3}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}2\\3\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}\frac{2}{3} + 5\\\frac{2}{3} - 1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}\frac{17}{3}\\-\frac{1}{3}\end{bmatrix}$
> > >
> > > **Kontroll:** $\vec{x} = 2\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix} + 3\begin{bmatrix}1\\2\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}5\\6\end{bmatrix}$.
> > >
> > > Andra vägen: $\frac{17}{3}\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix} - \frac{1}{3}\begin{bmatrix}2\\-1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}\frac{17}{3} - \frac{2}{3}\\\frac{17}{3} + \frac{1}{3}\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}5\\6\end{bmatrix}$ ✓
---
### Konceptuella uppgifter
> [!question]- Uppgift 5: Sant eller falskt?
> Avgör om påståendena är sanna eller falska. Motivera kort.
>
> a) Övergångsmatrisen $P_{B \to B'}$ är alltid kvadratisk.
> b) $P_{B \to B'} = P_{B' \to B}$.
> c) $(P_{B \to B'})^{-1}$ existerar alltid.
> d) Om $P_{B \to B'} = I$ (identitetsmatrisen), så är $B = B'$.
> e) Kolumnerna i $P_{B \to B'}$ är koordinaterna för $B'$:s basvektorer i bas $B$.
>
> > [!hint]- Ledtråd
> > b) Tänk på vad som händer om du sätter $P_{B \to B'} = P_{B' \to B}$: det ger $(P_{B \to B'})^2 = I$, dvs. $P$ är sin egen invers. Gäller det generellt?
>
> > [!success]- Facit
> >
> > a) **Sant.** Både $B$ och $B'$ har $n$ vektorer (dimensionen av rummet), så $P_{B \to B'}$ är $n \times n$.
> >
> > b) **Falskt.** $P_{B' \to B} = (P_{B \to B'})^{-1}$, och en matris är i allmänhet inte lika med sin invers. T.ex. i uppgift 2 ovan.
> >
> > c) **Sant.** Övergångsmatrisen är alltid inverterbar (satsen i avsnitt 4).
> >
> > d) **Sant.** Om $P_{B \to B'} = I$ så gäller $[\vec{x}]_{B'} = I \cdot [\vec{x}]_B = [\vec{x}]_B$ för alla $\vec{x}$. Samma koordinater i båda baserna innebär att baserna är identiska.
> >
> > e) **Falskt.** Kolumnerna i $P_{B \to B'}$ är koordinaterna för **$B$:s** basvektorer i bas **$B'$** — inte tvärtom! (Se avsnitt 3.1.)
---
## Resurser
### Videor
- [3Blue1Brown: Change of basis (kap 13)](https://youtu.be/P2LTAUO1TdA) — basbyte visuellt förklarat
- [3Blue1Brown: Linear combinations, span, and basis vectors (kap 2)](https://youtu.be/k7RM-ot2NWY) — grunden för baser och koordinater
- [3Blue1Brown: Eigenvectors and eigenvalues (kap 14)](https://youtu.be/PFDu9oVAE-g) — egenvärden och basbyte hänger ihop
### Wikipedia
- [Change of basis](https://en.wikipedia.org/wiki/Change_of_basis)
- [Transition matrix](https://en.wikipedia.org/wiki/Change_of_basis#Change_of_basis_for_vectors)
- [Coordinate vector](https://en.wikipedia.org/wiki/Coordinate_vector)
### Fördjupning
- [Georgia Tech — Interactive Linear Algebra: Change of Basis](https://textbooks.math.gatech.edu/ila/change-of-basis.html)