Bas och koordinater - pelles moln

# Bas och koordinater --- ## Ordlista svenska <-> engelska | Svenska | Engelska | |---|---| | Bas | Basis | | Standardbas | Standard basis | | Koordinatvektor | Coordinate vector | | Koordinater relativt en bas | Coordinates relative to a basis | | Unik representation | Unique representation | | Isomorfi | Isomorphism | | Dimension | Dimension | | Linjärt oberoende | Linearly independent | | Spänna upp | To span | | Mängd | Set | --- ## 1. Vad är en bas? > [3B1B: Linear combinations, span, and basis vectors](https://youtu.be/k7RM-ot2NWY) I [[V4L2 M0067M]] lärde vi oss två begrepp: - **Span** — vilka vektorer kan vi *nå*? - **Linjärt oberoende** — är vår vektormängd *effektiv* (inga onödiga)? En **bas** kombinerar dessa två krav. Den är en vektormängd som är precis lagom stor: stor nog att nå allting, men utan överflödiga vektorer. ### 1.1 Definition > [!abstract] Definition: Bas > Låt $W$ vara ett underrum till ett vektorrum $V$. > > En mängd $B = \{\vec{b}_1, \vec{b}_2, \dots, \vec{b}_p\}$ är en **bas** för $W$ om: > 1. $B$ är **linjärt oberoende** > 2. $B$ **spänner upp** $W$, dvs. $\text{span}(B) = W$ **Intuition:** En bas är den *minimala* uppsättningen vektorer som fortfarande kan bygga allt i rummet. Ta bort en vektor och du kan inte längre nå allt. Lägg till en och den är överflödig. ### 1.2 Geometrisk intuition | Rum | Bas behöver... | Exempel | |---|---|---| | En linje genom origo | 1 vektor (i linjens riktning) | $\{(1,2)\}$ för linjen $y = 2x$ | | $\mathbb{R}^2$ | 2 ej parallella vektorer | $\{(1,0),\,(0,1)\}$ | | Ett plan genom origo i $\mathbb{R}^3$ | 2 ej parallella vektorer i planet | $\{(1,0,0),\,(0,1,0)\}$ för $xy$-planet | | $\mathbb{R}^3$ | 3 vektorer som inte ligger i samma plan | $\{(1,0,0),\,(0,1,0),\,(0,0,1)\}$ | --- ## 2. Standardbaser Varje "vanligt" vektorrum har en naturlig, enkel bas som kallas **standardbasen**. ### 2.1 Standardbas för $\mathbb{R}^n$ I $\mathbb{R}^n$ är standardbasen: $\{\vec{e}_1, \vec{e}_2, \dots, \vec{e}_n\}$ där $\vec{e}_i$ har en etta i position $i$ och nollor överallt annars. > [!example]- Standardbasen för $\mathbb{R}^2$ och $\mathbb{R}^3$ > **$\mathbb{R}^2$:** $\left\{\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix},\;\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}\right\}$ > > **$\mathbb{R}^3$:** $\left\{\begin{bmatrix}1\\0\\0\end{bmatrix},\;\begin{bmatrix}0\\1\\0\end{bmatrix},\;\begin{bmatrix}0\\0\\1\end{bmatrix}\right\}$ > > **Verifiering** (t.ex. $\mathbb{R}^3$): > - *Linjärt oberoende:* $c_1\vec{e}_1 + c_2\vec{e}_2 + c_3\vec{e}_3 = \vec{0}$ ger direkt $c_1 = c_2 = c_3 = 0$ ✓ > - *Spänner upp:* Varje $\begin{bmatrix}a\\b\\c\end{bmatrix} = a\vec{e}_1 + b\vec{e}_2 + c\vec{e}_3$ ✓ ### 2.2 Standardbas för $\mathcal{P}_n$ I polynomrummet $\mathcal{P}_n$ (polynom med grad $\leq n$) är standardbasen: $\{1,\; x,\; x^2,\; \dots,\; x^n\}$ > [!example]- Standardbaser för polynomrum > **$\mathcal{P}_2$:** $\{1, x, x^2\}$ — varje polynom $a + bx + cx^2$ är en linjärkombination av dessa. > > **$\mathcal{P}_3$:** $\{1, x, x^2, x^3\}$ — varje polynom av grad $\leq 3$ kan skrivas $a + bx + cx^2 + dx^3$. > > **Verifiering för $\mathcal{P}_2$:** > - *Linjärt oberoende:* $c_1 \cdot 1 + c_2 \cdot x + c_3 \cdot x^2 = 0$ för alla $x$ kräver $c_1 = c_2 = c_3 = 0$ ✓ > - *Spänner upp:* Per definition är varje polynom i $\mathcal{P}_2$ en linjärkombination $a \cdot 1 + b \cdot x + c \cdot x^2$ ✓ ### 2.3 Standardbas för $M_{m \times n}$ I matrisrummet $M_{m \times n}$ är standardbasen mängden av alla matriser med exakt en etta och resten nollor. > [!example]- Standardbasen för $M_{2 \times 2}$ > $\left\{\begin{bmatrix}1 & 0\\0 & 0\end{bmatrix},\;\begin{bmatrix}0 & 1\\0 & 0\end{bmatrix},\;\begin{bmatrix}0 & 0\\1 & 0\end{bmatrix},\;\begin{bmatrix}0 & 0\\0 & 1\end{bmatrix}\right\}$ > > Varje $2 \times 2$-matris kan skrivas: > $\begin{bmatrix}a & b\\c & d\end{bmatrix} = a\begin{bmatrix}1 & 0\\0 & 0\end{bmatrix} + b\begin{bmatrix}0 & 1\\0 & 0\end{bmatrix} + c\begin{bmatrix}0 & 0\\1 & 0\end{bmatrix} + d\begin{bmatrix}0 & 0\\0 & 1\end{bmatrix}$ > > Basen har **4 element** — det stämmer med att $M_{2 \times 2}$ har dimension 4. --- ## 3. Är en given mängd en bas? — metod För att kontrollera om $\{\vec{v}_1, \dots, \vec{v}_p\}$ är en bas för ett rum med dimension $n$: **Steg-för-steg:** 1. Skriv vektorerna som **kolumner** i en matris $A$ 2. **Radreducera** till trappstegsform 3. Kontrollera: - Varje **kolumn** har en pivot → linjärt oberoende ✓ - Varje **rad** har en pivot → spänner upp ✓ - **Båda** gäller → bas ✓ > [!tip] Genväg: räkna vektorer > Om du vet att rummet har dimension $n$ och du har exakt $n$ vektorer, räcker det att kontrollera **ett** av villkoren (oberoende ELLER spänner upp) — det andra följer automatiskt! Detta beror på att en $n \times n$-matris har en pivot i varje kolumn *om och bara om* den har en pivot i varje rad. > [!example]- Räkneexempel: Är tre polynom en bas för $\mathcal{P}_2$? (möjlig tentauppgift) > Givet: > - $p_1(x) = 1 + x - x^2$ > - $p_2(x) = 1 - x + x^2$ > - $p_3(x) = 1 + x$ > > **Fråga:** Är $\{p_1, p_2, p_3\}$ en bas för $\mathcal{P}_2$? > > **Steg 1:** Identifiera koefficienter och skriv som kolumner. Varje polynom $a + bx + cx^2$ motsvarar vektorn $\begin{bmatrix}a\\b\\c\end{bmatrix}$: > > $p_1 \leftrightarrow \begin{bmatrix}1\\1\\-1\end{bmatrix}, \quad p_2 \leftrightarrow \begin{bmatrix}1\\-1\\1\end{bmatrix}, \quad p_3 \leftrightarrow \begin{bmatrix}1\\1\\0\end{bmatrix}$ > > **Steg 2:** Bilda matris och radreducera: > $A = \begin{bmatrix}1 & 1 & 1\\1 & -1 & 1\\-1 & 1 & 0\end{bmatrix}$ > > $R_2 \leftarrow R_2 - R_1$: $\begin{bmatrix}1 & 1 & 1\\0 & -2 & 0\\-1 & 1 & 0\end{bmatrix}$ > > $R_3 \leftarrow R_3 + R_1$: $\begin{bmatrix}1 & 1 & 1\\0 & -2 & 0\\0 & 2 & 1\end{bmatrix}$ > > $R_3 \leftarrow R_3 + R_2$: $\begin{bmatrix}1 & 1 & 1\\0 & -2 & 0\\0 & 0 & 1\end{bmatrix}$ > > **Steg 3:** Tre pivoter i en $3 \times 3$-matris → varje kolumn har en pivot OCH varje rad har en pivot. > > **Svar:** Ja, $\{p_1, p_2, p_3\}$ är en **bas** för $\mathcal{P}_2$. ✓ > [!example]- Räkneexempel: Två vektorer i $\mathbb{R}^2$ > Är $B = \left\{\begin{bmatrix}1\\2\end{bmatrix},\;\begin{bmatrix}3\\1\end{bmatrix}\right\}$ en bas för $\mathbb{R}^2$? > > **Snabbkoll:** Vi har 2 vektorer i $\mathbb{R}^2$ ($\dim = 2$). Alltså räcker det att kontrollera linjärt oberoende. > > Är $(3,1) = k \cdot (1,2)$ för något $k$? Det ger $k = 3$ och $k = 1/2$ — motsägelse. Vektorerna är **inte** parallella → linjärt oberoende ✓. > > Eftersom 2 oberoende vektorer i $\mathbb{R}^2$ (dim 2) automatiskt spänner upp: **Ja, $B$ är en bas för $\mathbb{R}^2$.** ✓ --- ## 4. Unik representation — varför baser är så användbara Den centrala anledningen till att baser är viktiga är att de ger oss ett **koordinatsystem**. > [!theorem] Sats: Unik representation > Låt $B = \{\vec{b}_1, \vec{b}_2, \dots, \vec{b}_p\}$ vara en **bas** för vektorrummet $V$. > > För varje $\vec{x} \in V$ finns en **unik** uppsättning skalärer $c_1, c_2, \dots, c_p$ sådana att > > $\vec{x} = c_1\vec{b}_1 + c_2\vec{b}_2 + \dots + c_p\vec{b}_p$ **Varför?** Beviset har två delar: 1. **Existens:** Eftersom $B$ spänner upp $V$ kan varje $\vec{x}$ skrivas som en linjärkombination av basvektorerna. 2. **Unikhet:** Antag att det finns *två* representationer: $\vec{x} = c_1\vec{b}_1 + \dots + c_p\vec{b}_p \quad \text{och} \quad \vec{x} = d_1\vec{b}_1 + \dots + d_p\vec{b}_p$ Subtrahera: $(c_1 - d_1)\vec{b}_1 + \dots + (c_p - d_p)\vec{b}_p = \vec{0}$. Eftersom $B$ är linjärt oberoende måste $c_i - d_i = 0$ för alla $i$, alltså $c_i = d_i$. Representationen var densamma! ∎ > [!tip] Varför spelar det roll? > Utan unikhet hade koordinater varit meningslösa — samma vektor kunde ha olika "adresser". Unikheten garanterar att varje vektor har **exakt en** uppsättning koordinater relativt en given bas, precis som varje punkt på en karta har exakt en GPS-position. --- ## 5. Koordinater relativt en bas > [3B1B: Change of basis](https://youtu.be/P2LTAUO1TdA) ### 5.1 Definition > [!abstract] Definition: Koordinatvektor > Låt $B = \{\vec{b}_1, \vec{b}_2, \dots, \vec{b}_p\}$ vara en bas för $V$ och låt $\vec{x} \in V$. > > Om $\vec{x} = c_1\vec{b}_1 + c_2\vec{b}_2 + \dots + c_p\vec{b}_p$ kallas > > $[\vec{x}]_B = \begin{bmatrix}c_1\\c_2\\\vdots\\c_p\end{bmatrix} \in \mathbb{R}^p$ > > **koordinatvektorn** för $\vec{x}$ relativt basen $B$. **Med andra ord:** koordinatvektorn talar om "hur mycket av varje basvektor" som behövs för att bygga $\vec{x}$. > [!important] Koordinater beror på basen! > Samma vektor $\vec{x}$ får **olika** koordinater beroende på vilken bas man väljer. Basen fungerar som ett "perspektiv" — byt perspektiv och siffrorna ändras, men vektorn i sig är densamma. ### 5.2 Specialfall: standardbasen Om $B$ är standardbasen $\{\vec{e}_1, \dots, \vec{e}_n\}$ för $\mathbb{R}^n$, så är koordinatvektorn identisk med själva vektorn: $[\vec{x}]_{\text{standard}} = \vec{x}$ Det är därför vi "normalt" inte tänker på koordinater — vi jobbar redan i standardbasen utan att reflektera över det. --- ### 5.3 Exempel > [!example]- Koordinater i $\mathbb{R}^2$: givet koordinatvektor, hitta $\vec{x}$ > Låt $B = \left\{\vec{b}_1, \vec{b}_2\right\}$ med $\vec{b}_1 = \begin{bmatrix}1\\2\end{bmatrix}$, $\vec{b}_2 = \begin{bmatrix}3\\1\end{bmatrix}$. > > **Givet:** $[\vec{x}]_B = \begin{bmatrix}2\\5\end{bmatrix}$. Vad är $\vec{x}$ (i standardkoordinater)? > > **Lösning:** $\vec{x} = 2\vec{b}_1 + 5\vec{b}_2 = 2\begin{bmatrix}1\\2\end{bmatrix} + 5\begin{bmatrix}3\\1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}2\\4\end{bmatrix} + \begin{bmatrix}15\\5\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}17\\9\end{bmatrix}$ > > **Svar:** $\vec{x} = \begin{bmatrix}17\\9\end{bmatrix}$ > > **Tolkning:** I bas $B$:s "koordinatsystem" är adressen $(2, 5)$, men i standardkoordinater hamnar vi på $(17, 9)$. > [!example]- Koordinater i $\mathbb{R}^2$: givet $\vec{x}$, hitta koordinatvektorn > Samma bas: $B = \left\{\begin{bmatrix}1\\2\end{bmatrix}, \begin{bmatrix}3\\1\end{bmatrix}\right\}$. > > **Givet:** $\vec{x} = \begin{bmatrix}7\\0\end{bmatrix}$. Bestäm $[\vec{x}]_B$. > > **Lösning:** Vi söker $c_1, c_2$ sådana att $c_1\begin{bmatrix}1\\2\end{bmatrix} + c_2\begin{bmatrix}3\\1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}7\\0\end{bmatrix}$. > > Ekvationssystem: > $\begin{cases}c_1 + 3c_2 = 7\\2c_1 + c_2 = 0\end{cases}$ > > Radreducera den utökade matrisen: > $\left[\begin{array}{cc|c}1 & 3 & 7\\2 & 1 & 0\end{array}\right] \xrightarrow{R_2 - 2R_1} \left[\begin{array}{cc|c}1 & 3 & 7\\0 & -5 & -14\end{array}\right] \xrightarrow{R_2 / (-5)} \left[\begin{array}{cc|c}1 & 3 & 7\\0 & 1 & \frac{14}{5}\end{array}\right]$ > > $\xrightarrow{R_1 - 3R_2} \left[\begin{array}{cc|c}1 & 0 & -\frac{7}{5}\\0 & 1 & \frac{14}{5}\end{array}\right]$ > > **Svar:** $[\vec{x}]_B = \begin{bmatrix}-7/5\\14/5\end{bmatrix}$ > > **Kontroll:** $-\frac{7}{5}\begin{bmatrix}1\\2\end{bmatrix} + \frac{14}{5}\begin{bmatrix}3\\1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}-7/5 + 42/5\\-14/5 + 14/5\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}35/5\\0\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}7\\0\end{bmatrix}$ ✓ > > **Notera:** Att svaret innehåller bråk är helt normalt — det beror på att basvektorerna inte är ortogonala med heltalslängder. > [!example]- Koordinater i $\mathcal{P}_2$ > Låt $B = \{p_1, p_2, p_3\}$ med: > - $p_1(x) = 1 - x$ > - $p_2(x) = 1 + x$ > - $p_3(x) = 1 - x^2$ > > **Givet:** Bestäm koordinaterna för $q(x) = 1 + x + x^2$ relativt $B$. > > **Lösning:** Vi söker $c_1, c_2, c_3$ sådana att: > $c_1(1 - x) + c_2(1 + x) + c_3(1 - x^2) = 1 + x + x^2$ > > Utveckla vänsterledet och samla termer: > $(c_1 + c_2 + c_3) + (-c_1 + c_2)x + (-c_3)x^2 = 1 + x + x^2$ > > Jämför koefficienter: > > | Term | Vänsterled | Högerled | > |---|---|---| > | $x^0$ (konstant) | $c_1 + c_2 + c_3$ | $1$ | > | $x^1$ | $-c_1 + c_2$ | $1$ | > | $x^2$ | $-c_3$ | $1$ | > > Ekvationssystem: > $\begin{cases}c_1 + c_2 + c_3 = 1\\-c_1 + c_2 = 1\\-c_3 = 1\end{cases}$ > > Från ekvation (3): $c_3 = -1$. > Insatt i (1): $c_1 + c_2 = 2$. > Från (2): $-c_1 + c_2 = 1$. > Addera: $2c_2 = 3 \implies c_2 = \frac{3}{2}$, och då $c_1 = \frac{1}{2}$. > > **Svar:** $[q]_B = \begin{bmatrix}1/2\\3/2\\-1\end{bmatrix}$ > > Alltså: $1 + x + x^2 = \frac{1}{2}(1-x) + \frac{3}{2}(1+x) + (-1)(1-x^2)$ > > **Kontroll:** $\frac{1}{2} - \frac{1}{2}x + \frac{3}{2} + \frac{3}{2}x - 1 + x^2 = (\frac{1}{2} + \frac{3}{2} - 1) + (-\frac{1}{2} + \frac{3}{2})x + x^2 = 1 + x + x^2$ ✓ --- ## 6. Räkneregler för koordinater Koordinatvektorn bevarar de linjära operationerna — addition och skalärmultiplikation "fungerar likadant" i koordinater som i originalrummet. > [!theorem] Sats: Linjäritet hos koordinatavbildningen > Låt $B$ vara en bas för $V$ och låt $\vec{u}, \vec{v} \in V$, $c \in \mathbb{R}$. Då gäller: > > $[\vec{u} + \vec{v}]_B = [\vec{u}]_B + [\vec{v}]_B$ > $[c\vec{u}]_B = c\,[\vec{u}]_B$ **Varför?** Om $\vec{u} = \sum a_i \vec{b}_i$ och $\vec{v} = \sum d_i \vec{b}_i$, så $\vec{u} + \vec{v} = \sum (a_i + d_i)\vec{b}_i$, och koordinatvektorn för summan är just summan av koordinatvektorerna. > [!tip] Vad detta innebär > Att lösa problem i ett "komplicerat" vektorrum (polynom, matriser, funktioner...) kan alltid **översättas** till att lösa motsvarande problem i $\mathbb{R}^n$ via koordinater. Denna koppling kallas **isomorfi** — rummen "ser likadana ut" algebraiskt. --- ## 7. Koordinater bevarar linjärt oberoende > [!theorem] Sats: Oberoende bevaras av koordinatavbildningen > Låt $V$ vara ett vektorrum med bas $B = \{\vec{b}_1, \dots, \vec{b}_n\}$. > > Då gäller för vektorer $\vec{v}_1, \dots, \vec{v}_m \in V$: > > $\{\vec{v}_1, \dots, \vec{v}_m\} \text{ linjärt oberoende i } V \iff \{[\vec{v}_1]_B, \dots, [\vec{v}_m]_B\} \text{ linjärt oberoende i } \mathbb{R}^n$ **Bevis ($\Leftarrow$):** Antag att koordinatvektorerna är linjärt oberoende i $\mathbb{R}^n$. Vi vill visa att originalvektorerna är oberoende i $V$. Sätt $c_1\vec{v}_1 + \dots + c_m\vec{v}_m = \vec{0}$. Ta koordinater relativt $B$ på båda sidor och använd linjäriteten: $[c_1\vec{v}_1 + \dots + c_m\vec{v}_m]_B = [\vec{0}]_B$ $c_1[\vec{v}_1]_B + \dots + c_m[\vec{v}_m]_B = \vec{0}$ Eftersom koordinatvektorerna är linjärt oberoende: $c_1 = \dots = c_m = 0$. ∎ (Den andra riktningen bevisas helt analogt.) > [!important] Praktisk konsekvens > **Du behöver aldrig jobba direkt med polynom, matriser eller andra abstrakta vektorer** när du vill kontrollera linjärt oberoende — översätt till koordinater i $\mathbb{R}^n$ och radreducera som vanligt. Det är exakt vad vi har gjort i alla polynom- och matrisexempel hittills! --- ## 8. En kommentar om mängdnotation Vi skriver baser med **mängdparenteser** $\{\ \}$. Formellt innebär detta att: - **Ordningen spelar ingen roll:** $\{\vec{b}_1, \vec{b}_2\} = \{\vec{b}_2, \vec{b}_1\}$ som mängder - **Inga dubbletter:** $\{\vec{v}, \vec{v}\} = \{\vec{v}\}$ > [!warning] I praktiken spelar ordningen roll ändå! > Även om mängdnotationen säger att ordning inte spelar roll, **beror koordinatvektorn på vilken ordning vi listar basvektorerna**. Om vi byter ordning på $\vec{b}_1$ och $\vec{b}_2$ i basen flippar vi koordinaterna: > > $[\vec{x}]_{\{\vec{b}_1, \vec{b}_2\}} = \begin{bmatrix}c_1\\c_2\end{bmatrix} \quad$ men $\quad [\vec{x}]_{\{\vec{b}_2, \vec{b}_1\}} = \begin{bmatrix}c_2\\c_1\end{bmatrix}$ > > Därför bör man strikt sett använda **ordnade** mängder (tupler) för baser, men konventionen i de flesta läroböcker är att använda $\{\ \}$ och underförstå att ordningen är given. --- ## 9. Beslutsträd ### Är $\{\vec{v}_1, \dots, \vec{v}_p\}$ en bas för $V$? ```mermaid flowchart TD A["Givet: {v₁, ..., vₚ} i V med dim(V) = n"] --> B{"Har du rätt antal\nvektorer? (p = n)"} B -- "p ≠ n" --> NO["INTE EN BAS\np < n → kan inte spänna upp\np > n → kan inte vara oberoende"] B -- "p = n" --> C["Skriv vektorerna som kolumner\ni en n×n-matris och radreducera"] C --> D{"Har varje kolumn\nen pivot?\n(ekvivalent: har varje\nrad en pivot?)"} D -- Ja --> YES["BAS ✓\n• Linjärt oberoende ✓\n• Spänner upp V ✓"] D -- Nej --> NO2["INTE EN BAS\nVektorerna är linjärt beroende\noch spänner inte upp V"] ``` ### Hitta koordinater $[\vec{x}]_B$ ```mermaid flowchart TD A["Givet: bas B = {b₁,...,bₙ}\noch vektor x ∈ V"] --> B["Sätt upp ekvationen\nc₁b₁ + c₂b₂ + ... + cₙbₙ = x"] B --> C["Skriv som utökad matris\n[b₁ | b₂ | ... | bₙ | x]"] C --> D["Radreducera till\nreducerad trappstegsform"] D --> E["Läs av c₁, c₂, ..., cₙ\nfrån sista kolumnen"] E --> F["Svaret:\n[x]_B = (c₁, c₂, ..., cₙ)"] ``` --- ## 10. Övningsuppgifter ### Bas-uppgifter > [!question]- Uppgift 1: Bas för $\mathbb{R}^3$? > Är $\left\{\begin{bmatrix}1\\0\\1\end{bmatrix}, \begin{bmatrix}0\\1\\1\end{bmatrix}, \begin{bmatrix}1\\1\\0\end{bmatrix}\right\}$ en bas för $\mathbb{R}^3$? > > > [!hint]- Ledtråd 1 > > Vi har 3 vektorer i $\mathbb{R}^3$ (dim = 3), så antalet stämmer. Det räcker att kontrollera **ett** av villkoren: linjärt oberoende eller spänner upp. > > > [!hint]- Ledtråd 2 > > Bilda $3 \times 3$-matrisen med vektorerna som kolumner och radreducera. Om alla tre kolumnerna har pivoter → bas. > > > [!success]- Facit > > **Ja**, det är en bas för $\mathbb{R}^3$. > > > > > [!success]- Full lösning > > > Radreducera: > > > $\begin{bmatrix}1 & 0 & 1\\0 & 1 & 1\\1 & 1 & 0\end{bmatrix} \xrightarrow{R_3 - R_1} \begin{bmatrix}1 & 0 & 1\\0 & 1 & 1\\0 & 1 & -1\end{bmatrix} \xrightarrow{R_3 - R_2} \begin{bmatrix}1 & 0 & 1\\0 & 1 & 1\\0 & 0 & -2\end{bmatrix}$ > > > > > > Tre pivoter i en $3 \times 3$-matris → **linjärt oberoende** och **spänner upp** $\mathbb{R}^3$. > > > > > > **Alltså:** $\left\{\begin{bmatrix}1\\0\\1\end{bmatrix}, \begin{bmatrix}0\\1\\1\end{bmatrix}, \begin{bmatrix}1\\1\\0\end{bmatrix}\right\}$ är en bas för $\mathbb{R}^3$. ✓ > [!question]- Uppgift 2: Bas för $\mathcal{P}_2$? > Är $\{1 + x,\; x + x^2,\; 1 + x^2\}$ en bas för $\mathcal{P}_2$? > > > [!hint]- Ledtråd 1 > > Översätt polynomen till vektorer i $\mathbb{R}^3$: $(1 + x) \leftrightarrow \begin{bmatrix}1\\1\\0\end{bmatrix}$, $(x + x^2) \leftrightarrow \begin{bmatrix}0\\1\\1\end{bmatrix}$, $(1 + x^2) \leftrightarrow \begin{bmatrix}1\\0\\1\end{bmatrix}$. Bilda matris och radreducera. > > > [!hint]- Ledtråd 2 > > Notera att detta ger **exakt samma matris** som i uppgift 1 (fast kolumnerna i annan ordning). Alternativt: kontrollera om $(1+x^2) = (1+x) + (x+x^2)$ stämmer. Stämmer det? > > > [!success]- Facit > > **Ja**, det är en bas för $\mathcal{P}_2$. > > > > > [!success]- Full lösning > > > Översätt och bilda matris: > > > $\begin{bmatrix}1 & 0 & 1\\1 & 1 & 0\\0 & 1 & 1\end{bmatrix}$ > > > > > > Radreducera: > > > $R_2 \leftarrow R_2 - R_1$: $\begin{bmatrix}1 & 0 & 1\\0 & 1 & -1\\0 & 1 & 1\end{bmatrix}$ > > > > > > $R_3 \leftarrow R_3 - R_2$: $\begin{bmatrix}1 & 0 & 1\\0 & 1 & -1\\0 & 0 & 2\end{bmatrix}$ > > > > > > Tre pivoter → linjärt oberoende → **Ja, det är en bas för $\mathcal{P}_2$!** ✓ > > > > > > **Poäng:** Tre linjärt oberoende vektorer i ett 3-dimensionellt rum bildar alltid en bas. --- ### Koordinat-uppgifter > [!question]- Uppgift 3: Hitta koordinater i $\mathbb{R}^2$ > Låt $B = \left\{\begin{bmatrix}2\\1\end{bmatrix}, \begin{bmatrix}1\\3\end{bmatrix}\right\}$ och $\vec{x} = \begin{bmatrix}5\\5\end{bmatrix}$. > > Bestäm $[\vec{x}]_B$. > > > [!hint]- Ledtråd 1 > > Lös $c_1\begin{bmatrix}2\\1\end{bmatrix} + c_2\begin{bmatrix}1\\3\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}5\\5\end{bmatrix}$, dvs. systemet $2c_1 + c_2 = 5$ och $c_1 + 3c_2 = 5$. > > > [!hint]- Ledtråd 2 > > Från ekvation 2: $c_1 = 5 - 3c_2$. Insatt i ekvation 1: $2(5 - 3c_2) + c_2 = 5 \implies 10 - 5c_2 = 5$. > > > [!success]- Facit > > $[\vec{x}]_B = \begin{bmatrix}2\\1\end{bmatrix}$ > > > > > [!success]- Full lösning > > > Ekvationssystem: > > > $\begin{cases}2c_1 + c_2 = 5\\c_1 + 3c_2 = 5\end{cases}$ > > > > > > Utökad matris och radreducera: > > > $\left[\begin{array}{cc|c}2 & 1 & 5\\1 & 3 & 5\end{array}\right] \xrightarrow{R_1 \leftrightarrow R_2} \left[\begin{array}{cc|c}1 & 3 & 5\\2 & 1 & 5\end{array}\right] \xrightarrow{R_2 - 2R_1} \left[\begin{array}{cc|c}1 & 3 & 5\\0 & -5 & -5\end{array}\right]$ > > > > > > Från rad 2: $-5c_2 = -5 \implies c_2 = 1$. Från rad 1: $c_1 + 3 = 5 \implies c_1 = 2$. > > > > > > $[\vec{x}]_B = \begin{bmatrix}2\\1\end{bmatrix}$ > > > > > > **Kontroll:** $2\begin{bmatrix}2\\1\end{bmatrix} + 1\begin{bmatrix}1\\3\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}4+1\\2+3\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}5\\5\end{bmatrix}$ ✓ > [!question]- Uppgift 4: Koordinater i polynomrum > Låt $B = \{1 - x,\; 1 + x,\; 1 - x^2\}$ (samma bas som i exemplet ovan). > > Bestäm $[3 + x - 2x^2]_B$. > > > [!hint]- Ledtråd 1 > > Sätt upp ekvationen $c_1(1-x) + c_2(1+x) + c_3(1-x^2) = 3 + x - 2x^2$ och jämför koefficienter. > > > [!hint]- Ledtråd 2 > > Koefficientjämförelsen ger: > > - Konstant: $c_1 + c_2 + c_3 = 3$ > > - $x$: $-c_1 + c_2 = 1$ > > - $x^2$: $-c_3 = -2$ > > > [!success]- Facit > > $[3 + x - 2x^2]_B = \begin{bmatrix}0\\1\\2\end{bmatrix}$ > > > > > [!success]- Full lösning > > > Utveckla: $c_1(1-x) + c_2(1+x) + c_3(1-x^2) = (c_1+c_2+c_3) + (-c_1+c_2)x + (-c_3)x^2$ > > > > > > Jämför med $3 + x - 2x^2$: > > > $\begin{cases}c_1 + c_2 + c_3 = 3\\-c_1 + c_2 = 1\\-c_3 = -2\end{cases}$ > > > > > > Från (3): $c_3 = 2$. Insatt i (1): $c_1 + c_2 = 1$. > > > Från (2): $-c_1 + c_2 = 1$. > > > Addera (1') och (2): $2c_2 = 2 \implies c_2 = 1$, och då $c_1 = 0$. > > > > > > **Kontroll:** $0(1-x) + 1(1+x) + 2(1-x^2) = 1 + x + 2 - 2x^2 = 3 + x - 2x^2$ ✓ > > > > > > **Svar:** $[3 + x - 2x^2]_B = \begin{bmatrix}0\\1\\2\end{bmatrix}$ > [!question]- Uppgift 5: Från koordinater till vektor > Låt $B = \left\{\begin{bmatrix}1\\1\\0\end{bmatrix}, \begin{bmatrix}0\\1\\1\end{bmatrix}, \begin{bmatrix}1\\0\\1\end{bmatrix}\right\}$ vara en bas för $\mathbb{R}^3$. > > Om $[\vec{x}]_B = \begin{bmatrix}3\\-1\\2\end{bmatrix}$, vad är $\vec{x}$? > > > [!hint]- Ledtråd > > $\vec{x} = c_1\vec{b}_1 + c_2\vec{b}_2 + c_3\vec{b}_3$ där $(c_1, c_2, c_3)$ läses direkt ur koordinatvektorn. > > > [!success]- Facit > > $\vec{x} = \begin{bmatrix}5\\2\\1\end{bmatrix}$ > > > > > [!success]- Full lösning > > > $\vec{x} = 3\begin{bmatrix}1\\1\\0\end{bmatrix} + (-1)\begin{bmatrix}0\\1\\1\end{bmatrix} + 2\begin{bmatrix}1\\0\\1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}3\\3\\0\end{bmatrix} + \begin{bmatrix}0\\-1\\-1\end{bmatrix} + \begin{bmatrix}2\\0\\2\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}5\\2\\1\end{bmatrix}$ --- ### Konceptuella uppgifter > [!question]- Uppgift 6: Sant eller falskt? (med motivering) > Avgör om påståendena är sanna eller falska. Motivera kort. > > a) Standardbasen är den enda basen för $\mathbb{R}^n$. > b) Om $B$ är en bas för $V$ och $\vec{x} \in V$, så finns det exakt en koordinatvektor $[\vec{x}]_B$. > c) Om $\{\vec{v}_1, \vec{v}_2\}$ är linjärt oberoende i $\mathbb{R}^3$, så är det en bas för $\mathbb{R}^3$. > d) Om $\{\vec{v}_1, \vec{v}_2, \vec{v}_3\}$ spänner upp $\mathbb{R}^3$, så är det en bas för $\mathbb{R}^3$. > e) Varje vektorrum har en standardbas. > > > [!hint]- Ledtråd > > Tänk på definitionen av bas: linjärt oberoende + spänner upp. Saknas ett villkor → inte en bas. Fundera också på vad "dimension" innebär för antalet vektorer i en bas. > > > [!success]- Facit och motivering > > > > a) **Falskt.** Det finns oändligt många baser för $\mathbb{R}^n$. T.ex. $\left\{\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}, \begin{bmatrix}1\\-1\end{bmatrix}\right\}$ är en bas för $\mathbb{R}^2$ som inte är standardbasen. > > > > b) **Sant.** Det är precis satsen om unik representation. Eftersom $B$ är en bas (oberoende + spänner upp) bestäms koordinaterna entydigt. > > > > c) **Falskt.** Linjärt oberoende räcker inte — vi behöver även spänna upp. Två vektorer i $\mathbb{R}^3$ kan högst spänna upp ett plan (2-dimensionellt delrum), inte hela $\mathbb{R}^3$ (som är 3-dimensionellt). Vi behöver 3 vektorer. > > > > d) **Sant** (under förutsättning att mängden också är linjärt oberoende). Men faktum är: 3 vektorer som spänner upp $\mathbb{R}^3$ *måste* vara linjärt oberoende. Varför? Matrisen med 3 kolumner i $\mathbb{R}^3$ som har en pivot i varje rad (spänner upp) har 3 pivoter i 3 kolumner — alltså en pivot per kolumn (oberoende). **Sant.** > > > > e) **Falskt.** "Standardbasen" är bara definierad för rum som har en naturlig/kanonisk bas, som $\mathbb{R}^n$, $\mathcal{P}_n$ och $M_{m \times n}$. Godtyckliga vektorrum (t.ex. lösningsrum till differentialekvationer) behöver inte ha en "standard"-bas, även om de har baser. > [!question]- Uppgift 7: Visa att koordinatavbildningen bevarar addition > Låt $B = \{\vec{b}_1, \vec{b}_2\}$ vara en bas för $V$. > > Om $\vec{u} = 3\vec{b}_1 + 2\vec{b}_2$ och $\vec{v} = -\vec{b}_1 + 4\vec{b}_2$, verifiera att $[\vec{u} + \vec{v}]_B = [\vec{u}]_B + [\vec{v}]_B$. > > > [!hint]- Ledtråd > > Beräkna $\vec{u} + \vec{v}$ och bestäm koordinatvektorn. Beräkna sedan $[\vec{u}]_B + [\vec{v}]_B$ separat. Jämför. > > > [!success]- Facit > > $[\vec{u} + \vec{v}]_B = [\vec{u}]_B + [\vec{v}]_B = \begin{bmatrix}2\\6\end{bmatrix}$ ✓ > > > > > [!success]- Full lösning > > > $\vec{u} + \vec{v} = (3\vec{b}_1 + 2\vec{b}_2) + (-\vec{b}_1 + 4\vec{b}_2) = 2\vec{b}_1 + 6\vec{b}_2$ > > > > > > Alltså $[\vec{u} + \vec{v}]_B = \begin{bmatrix}2\\6\end{bmatrix}$. > > > > > > Å andra sidan: $[\vec{u}]_B + [\vec{v}]_B = \begin{bmatrix}3\\2\end{bmatrix} + \begin{bmatrix}-1\\4\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}2\\6\end{bmatrix}$. > > > > > > Identiska! ✓ Koordinatavbildningen bevarar addition. --- ## Resurser ### Videor - [3Blue1Brown: Linear combinations, span, and basis vectors (kap 2)](https://youtu.be/k7RM-ot2NWY) — vad en bas är och varför den behövs - [3Blue1Brown: Change of basis (kap 13)](https://youtu.be/P2LTAUO1TdA) — koordinater relativt olika baser - [3Blue1Brown: Abstract vector spaces (kap 16)](https://youtu.be/TgKwz5Ikpc8) — baser i abstrakta vektorrum ### Wikipedia - [Basis (linear algebra)](https://en.wikipedia.org/wiki/Basis_(linear_algebra)) - [Coordinate vector](https://en.wikipedia.org/wiki/Coordinate_vector) - [Standard basis](https://en.wikipedia.org/wiki/Standard_basis) ### Fördjupning - [Immersive Linear Algebra — Chapter 6: The Vector Space](https://immersivemath.com/ila/ch06_vectorspaces/ch06.html) - [Georgia Tech — Interactive Linear Algebra: Basis and Dimension](https://textbooks.math.gatech.edu/ila/dimension.html)