## Algebraiska egenskaper Grundläggande egenskaper för matematiska operationer. --- ### Kommutativ En operation $*$ är **kommutativ** om ordningen inte spelar roll: $ a * b = b * a $ | Operation | Kommutativ? | |-----------|-------------| | Addition ($+$) | ✅ Ja: $3 + 5 = 5 + 3$ | | Multiplikation ($\cdot$) | ✅ Ja: $3 \cdot 5 = 5 \cdot 3$ | | Subtraktion ($-$) | ❌ Nej: $3 - 5 \neq 5 - 3$ | | Division ($/$) | ❌ Nej: $6/2 \neq 2/6$ | | Matrismultiplikation | ❌ Nej: $AB \neq BA$ | --- ### Associativ En operation $*$ är **associativ** om grupperingen inte spelar roll: $ a * (b * c) = (a * b) * c $ | Operation | Associativ? | |-----------|-------------| | Addition ($+$) | ✅ Ja: $(1+2)+3 = 1+(2+3)$ | | Multiplikation ($\cdot$) | ✅ Ja: $(2 \cdot 3) \cdot 4 = 2 \cdot (3 \cdot 4)$ | | Subtraktion ($-$) | ❌ Nej: $(5-3)-1 \neq 5-(3-1)$ | | Matrismultiplikation | ✅ Ja: $(AB)C = A(BC)$ | --- ### Distributiv En operation **distribuerar** över en annan om: $ a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c $ **Exempel:** - Tal: $2 \cdot (3 + 4) = 2 \cdot 3 + 2 \cdot 4 = 14$ - Matriser: $A(B + C) = AB + AC$ --- ### Identitetselement Ett element $e$ är ett **identitetselement** för $*$ om: $ a * e = e * a = a $ | Operation | Identitet | |-----------|-----------| | Addition | $0$ (ty $a + 0 = a$) | | Multiplikation | $1$ (ty $a \cdot 1 = a$) | | Matrismultiplikation | $I$ (enhetsmatrisen) | --- ### Invers Ett element $a^{-1}$ är **inversen** till $a$ om: $ a * a^{-1} = a^{-1} * a = e $ | Operation | Invers till $a$ | |-----------|-----------------| | Addition | $-a$ (ty $a + (-a) = 0$) | | Multiplikation | $\frac{1}{a}$ (ty $a \cdot \frac{1}{a} = 1$) | | Matrismultiplikation | $A^{-1}$ (om den existerar) | --- ## Se även - [[Matriser]] --- ## Resurser - [3Blue1Brown: Linear transformations and matrices (kap 3)](https://youtu.be/kYB8IZa5AuE) — matrisoperationer geometriskt - [Wikipedia: Commutative property](https://en.wikipedia.org/wiki/Commutative_property) - [Wikipedia: Associative property](https://en.wikipedia.org/wiki/Associative_property) - [Wikipedia: Distributive property](https://en.wikipedia.org/wiki/Distributive_property)