> [!warning] Info Filen är ett superdokument för komplexa talplanet, skapat i samma stil som [[Differentialekvationer]] # Det Komplexa Talplanet ## Inledning De **komplexa talen** är en utvidgning av de reella talen som introducerar den **imaginära enheten** $i$, definierad genom egenskapen $i^2 = -1$. Det komplexa talplanet, även kallat **Argandplanet** eller **Gaussplanet**, ger oss ett kraftfullt sätt att visualisera och arbeta med komplexa tal geometriskt. > [!note]- Varför behövs komplexa tal? > > Komplexa tal uppstod ur behovet att lösa ekvationer som $x^2 + 1 = 0$, vilken saknar reella lösningar. Genom att införa $i = \sqrt{-1}$ kan vi: > > - Lösa **alla** polynomekvationer (algebrans fundamentalsats) > - Beskriva **svängningar och vågor** elegant > - Förenkla beräkningar inom **elektroteknik** och **signalbehandling** > - Utföra **rotationer** i planet på ett naturligt sätt --- # Del I: Grundläggande begrepp ## Definition av komplexa tal > [!info]- Definition: Det komplexa talet > > Ett **komplext tal** är ett tal på formen: $z = a + bi$ > > där $a, b \in \mathbb{R}$ och $i$ är den imaginära enheten med egenskapen $i^2 = -1$. > > - $a = \text{Re}(z)$ kallas **realdelen** av $z$ > - $b = \text{Im}(z)$ kallas **imaginärdelen** av $z$ > - Mängden av alla komplexa tal betecknas $\mathbb{C}$ > > **OBS:** Imaginärdelen $b$ är ett _reellt_ tal — det är inte $bi$ utan bara $b$. > [!note]- Speciella fall > > |Typ|Villkor|Exempel| > |:--|:--|:--| > |Reellt tal|$b = 0$|$z = 3$| > |Rent imaginärt tal|$a = 0$, $b \neq 0$|$z = 4i$| > |Noll|$a = 0$, $b = 0$|$z = 0$| ## Det komplexa talplanet > [!info]- Definition: Det komplexa talplanet (Argandplanet) > > Varje komplext tal $z = a + bi$ kan representeras som en **punkt** $(a, b)$ i ett tvådimensionellt koordinatsystem: > > - **x-axeln** kallas **reella axeln** (Re) > - **y-axeln** kallas **imaginära axeln** (Im) > > Det komplexa talet kan också ses som en **vektor** från origo till punkten $(a, b)$. > > **Notation:** > > - Punkten $(a, b)$ i planet > - Vektorn $\vec{z}$ från origo > - Det komplexa talet $z = a + bi$ > > Dessa tre representationer är ekvivalenta. ## Konjugat > [!info]- Definition: Komplexkonjugat > > Om $z = a + bi$, definieras **konjugatet** (eller komplexkonjugatet) som: $\bar{z} = a - bi$ > > **Geometrisk tolkning:** Konjugatet är en **spegling i den reella axeln**. > > **Alternativ notation:** $z^*$ används ibland istället för $\bar{z}$ > [!info]- SATS: Egenskaper för konjugat > > För komplexa tal $z$ och $w$ gäller: > > 1. $\overline{(\bar{z})} = z$ > 2. $\overline{z + w} = \bar{z} + \bar{w}$ > 3. $\overline{z - w} = \bar{z} - \bar{w}$ > 4. $\overline{z \cdot w} = \bar{z} \cdot \bar{w}$ > 5. $\overline{\left(\frac{z}{w}\right)} = \frac{\bar{z}}{\bar{w}}$ (om $w \neq 0$) > 6. $z + \bar{z} = 2\text{Re}(z)$ > 7. $z - \bar{z} = 2i \cdot \text{Im}(z)$ > 8. $z \cdot \bar{z} = |z|^2$ (alltid reellt och $\geq 0$) > 9. $z = \bar{z} \Leftrightarrow z \in \mathbb{R}$ > [!success]- Härledning: $z \cdot \bar{z} = |z|^2$ > > Låt $z = a + bi$. Då är $\bar{z} = a - bi$. > > $z \cdot \bar{z} = (a + bi)(a - bi) = a^2 - (bi)^2 = a^2 - b^2 i^2 = a^2 + b^2$ > > Eftersom $|z|^2 = a^2 + b^2$ (se definitionen av belopp), har vi: $z \cdot \bar{z} = |z|^2$ > > **Användning:** Denna egenskap är central vid division av komplexa tal. ## Belopp (absolutbelopp) > [!info]- Definition: Belopp > > **Beloppet** (eller absolutbeloppet, modulus) av $z = a + bi$ definieras som: $|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$ > > **Geometrisk tolkning:** Avståndet från origo till punkten $z$ i det komplexa planet. > > **Alternativa uttryck:** > > - $|z| = \sqrt{z \cdot \bar{z}}$ > - $|z|^2 = z \cdot \bar{z}$ > [!info]- SATS: Egenskaper för belopp > > För komplexa tal $z$ och $w$ gäller: > > 1. $|z| \geq 0$, med $|z| = 0 \Leftrightarrow z = 0$ > 2. $|\bar{z}| = |z|$ > 3. $|z \cdot w| = |z| \cdot |w|$ > 4. $\left|\frac{z}{w}\right| = \frac{|z|}{|w|}$ (om $w \neq 0$) > 5. $|\text{Re}(z)| \leq |z|$ och $|\text{Im}(z)| \leq |z|$ > 6. $|z|^2 = z \cdot \bar{z}$ > [!info]- SATS: Triangelolikheten > > För alla komplexa tal $z$ och $w$ gäller: $|z + w| \leq |z| + |w|$ > > **Geometrisk tolkning:** I en triangel är summan av två sidor alltid minst lika stor som den tredje. > > **Omvänd triangelolikhet:** $\big||z| - |w|\big| \leq |z - w|$ > [!example]- Exempel: Beräkna belopp och konjugat > > Låt $z = 3 - 4i$. > > **Konjugat:** $\bar{z} = 3 + 4i$ > > **Belopp:** $|z| = \sqrt{3^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$ > > **Kontroll med $z \cdot \bar{z}$:** $z \cdot \bar{z} = (3 - 4i)(3 + 4i) = 9 + 16 = 25 = |z|^2 \checkmark$ --- # Del II: Räkneoperationer ## Addition och subtraktion > [!tip]- Receptbok: Addition och subtraktion > > Addition och subtraktion utförs **komponentvis**: $(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i$ $(a + bi) - (c + di) = (a - c) + (b - d)i$ > > **Geometrisk tolkning:** Vektoraddition — parallelogramregeln gäller. > [!example]- Exempel: Addition > > Beräkna $(3 + 2i) + (1 - 5i)$: > > $= (3 + 1) + (2 + (-5))i = 4 - 3i$ ## Multiplikation > [!tip]- Receptbok: Multiplikation (rektangulär form) > > Använd distributiva lagen och ersätt $i^2 = -1$: $(a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi^2$ $= ac + adi + bci - bd = (ac - bd) + (ad + bc)i$ > > **Minnesregel:** Multiplicera som vanliga binomer, sedan $i^2 = -1$. > [!example]- Exempel: Multiplikation > > Beräkna $(2 + 3i)(4 - i)$: > > $= 2 \cdot 4 + 2 \cdot (-i) + 3i \cdot 4 + 3i \cdot (-i)$ $= 8 - 2i + 12i - 3i^2$ $= 8 + 10i - 3(-1)$ $= 8 + 10i + 3 = 11 + 10i$ > [!note]- Potenser av $i$ > > Potenserna av $i$ är cykliska med period 4: > > |$n$|$i^n$| > |:-:|:-:| > |0|1| > |1|$i$| > |2|$-1$| > |3|$-i$| > |4|$1$| > |5|$i$| > |...|...| > > **Formel:** $i^n = i^{n \mod 4}$ > > > [!example]- Exempel: Beräkna $i^{2023}$ > > > > $2023 = 4 \cdot 505 + 3$ $i^{2023} = i^3 = -i$ ## Division > [!tip]- Receptbok: Division (förläng med konjugat) > > **Steg 1:** Identifiera täljare och nämnare > > **Steg 2:** Förläng bråket med **konjugatet till nämnaren** > > **Steg 3:** Nämnaren blir reell: $w \cdot \bar{w} = |w|^2$ > > **Steg 4:** Förenkla täljaren > > **Formel:** $\frac{z}{w} = \frac{z \cdot \bar{w}}{w \cdot \bar{w}} = \frac{z \cdot \bar{w}}{|w|^2}$ > [!example]- Exempel: Division > > Beräkna $\displaystyle\frac{3 + 4i}{1 + 2i}$: > > **Steg 1:** Konjugatet till nämnaren är $1 - 2i$ > > **Steg 2:** Förläng: $\frac{3 + 4i}{1 + 2i} \cdot \frac{1 - 2i}{1 - 2i}$ > > **Steg 3:** Nämnaren: $(1 + 2i)(1 - 2i) = 1 + 4 = 5$ > > **Steg 4:** Täljaren: $(3 + 4i)(1 - 2i) = 3 - 6i + 4i - 8i^2 = 3 - 2i + 8 = 11 - 2i$ > > **Svar:** $\frac{3 + 4i}{1 + 2i} = \frac{11 - 2i}{5} = \frac{11}{5} - \frac{2}{5}i$ > [!warning]- Vanliga misstag vid division > > - **Glömmer att förlänga med konjugatet** — försöker dividera direkt > - **Fel tecken i konjugatet** — $\overline{1 + 2i} = 1 - 2i$, inte $-1 - 2i$ > - **Glömmer $i^2 = -1$** i täljaren > - **Skriver svaret fel** — glömmer att dividera både real- och imaginärdel med nämnaren --- # Del III: Polär form ## Polära koordinater > [!info]- Definition: Polär form > > Låt $z \neq 0$ vara ett komplext tal. Då kan $z$ skrivas på **polär form**: $z = r(\cos\theta + i\sin\theta)$ > > där: > > - $r = |z| = \sqrt{a^2 + b^2}$ är **beloppet** (avståndet till origo) > - $\theta = \arg(z)$ är **argumentet** (vinkeln mot positiva Re-axeln) > > **Samband med rektangulär form:** > > - $a = r\cos\theta$ > - $b = r\sin\theta$ > [!info]- Definition: Argument > > **Argumentet** $\arg(z)$ är vinkeln $\theta$ (i radianer) från positiva reella axeln till vektorn $z$, mätt moturs. > > **OBS:** Argumentet är **flertydigt** — om $\theta$ är ett argument, så är även $\theta + 2\pi n$ för alla heltal $n$ ett argument. > > **Huvudargumentet** $\text{Arg}(z)$ är det unika argumentet i intervallet $(-\pi, \pi]$ (eller ibland $[0, 2\pi)$). > [!tip]- Receptbok: Rektangulär → Polär form > > Givet $z = a + bi$: > > **Steg 1:** Beräkna beloppet $r = |z| = \sqrt{a^2 + b^2}$ > > **Steg 2:** Beräkna argumentet (beror på **kvadrant**) > > |Kvadrant|Villkor|Formel för $\theta$| > |:-:|:--|:--| > |I|$a > 0$, $b \geq 0$|$\theta = \arctan\left(\frac{b}{a}\right)$| > |II|$a < 0$, $b \geq 0$|$\theta = \pi + \arctan\left(\frac{b}{a}\right)$| > |III|$a < 0$, $b < 0$|$\theta = -\pi + \arctan\left(\frac{b}{a}\right)$| > |IV|$a > 0$, $b < 0$|$\theta = \arctan\left(\frac{b}{a}\right)$| > |Pos. Im|$a = 0$, $b > 0$|$\theta = \frac{\pi}{2}$| > |Neg. Im|$a = 0$, $b < 0$|$\theta = -\frac{\pi}{2}$| > > **Steg 3:** Skriv $z = r(\cos\theta + i\sin\theta)$ > [!tip]- Receptbok: Polär → Rektangulär form > > Givet $z = r(\cos\theta + i\sin\theta)$: > > $a = r\cos\theta$ $b = r\sin\theta$ > > **Svar:** $z = a + bi$ > [!example]- Exempel: Skriv $z = 1 + i$ på polär form > > **Steg 1:** Belopp $r = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$ > > **Steg 2:** Argument (första kvadranten, $a > 0$, $b > 0$) $\theta = \arctan\left(\frac{1}{1}\right) = \arctan(1) = \frac{\pi}{4}$ > > **Svar:** $z = \sqrt{2}\left(\cos\frac{\pi}{4} + i\sin\frac{\pi}{4}\right)$ > [!example]- Exempel: Skriv $z = -1 + \sqrt{3}i$ på polär form > > **Steg 1:** Belopp $r = \sqrt{(-1)^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3} = 2$ > > **Steg 2:** Argument (andra kvadranten, $a < 0$, $b > 0$) $\theta = \pi + \arctan\left(\frac{\sqrt{3}}{-1}\right) = \pi + \arctan(-\sqrt{3}) = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$ > > **Svar:** $z = 2\left(\cos\frac{2\pi}{3} + i\sin\frac{2\pi}{3}\right)$ > [!example]- Exempel: Skriv $z = 3(\cos\frac{\pi}{6} + i\sin\frac{\pi}{6})$ på rektangulär form > > $a = 3\cos\frac{\pi}{6} = 3 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3\sqrt{3}}{2}$ $b = 3\sin\frac{\pi}{6} = 3 \cdot \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$ > > **Svar:** $z = \frac{3\sqrt{3}}{2} + \frac{3}{2}i$ ## Eulers formel > [!info]- SATS: Eulers formel > > För alla reella tal $\theta$ gäller: $e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta$ > > Detta ger den **exponentiella formen** av ett komplext tal: $z = re^{i\theta}$ > > där $r = |z|$ och $\theta = \arg(z)$. > [!note]- Speciella fall av Eulers formel > > |$\theta$|$e^{i\theta}$| > |:-:|:-:| > |$0$|$1$| > |$\frac{\pi}{2}$|$i$| > |$\pi$|$-1$| > |$\frac{3\pi}{2}$|$-i$| > |$2\pi$|$1$| > > **Eulers identitet** (ofta kallad "matematikens vackraste formel"): $e^{i\pi} + 1 = 0$ > [!success]- Härledning: Eulers formel via taylorserier > > Taylorserierna för $e^x$, $\cos x$ och $\sin x$ är: $e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + \cdots$ $\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots$ $\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots$ > > Sätt $x = i\theta$ i exponentialserien: $e^{i\theta} = 1 + i\theta + \frac{(i\theta)^2}{2!} + \frac{(i\theta)^3}{3!} + \frac{(i\theta)^4}{4!} + \cdots$ > > Använd $i^2 = -1$, $i^3 = -i$, $i^4 = 1$, etc: $= 1 + i\theta - \frac{\theta^2}{2!} - i\frac{\theta^3}{3!} + \frac{\theta^4}{4!} + i\frac{\theta^5}{5!} - \cdots$ > > Gruppera reella och imaginära termer: $= \left(1 - \frac{\theta^2}{2!} + \frac{\theta^4}{4!} - \cdots\right) + i\left(\theta - \frac{\theta^3}{3!} + \frac{\theta^5}{5!} - \cdots\right)$ $= \cos\theta + i\sin\theta$ ## Multiplikation och division i polär form > [!info]- SATS: Multiplikation i polär/exponentiell form > > Om $z_1 = r_1 e^{i\theta_1}$ och $z_2 = r_2 e^{i\theta_2}$, då: $z_1 \cdot z_2 = r_1 r_2 \cdot e^{i(\theta_1 + \theta_2)}$ > > **I ord:** > > - **Beloppen multipliceras:** $|z_1 z_2| = |z_1| \cdot |z_2|$ > - **Argumenten adderas:** $\arg(z_1 z_2) = \arg(z_1) + \arg(z_2)$ > > **Geometrisk tolkning:** Multiplikation med $z = re^{i\theta}$ innebär: > > 1. **Skalning** med faktorn $r$ > 2. **Rotation** med vinkeln $\theta$ (moturs) > [!info]- SATS: Division i polär/exponentiell form > > Om $z_1 = r_1 e^{i\theta_1}$ och $z_2 = r_2 e^{i\theta_2}$ med $z_2 \neq 0$, då: $\frac{z_1}{z_2} = \frac{r_1}{r_2} \cdot e^{i(\theta_1 - \theta_2)}$ > > **I ord:** > > - **Beloppen divideras:** $\left|\frac{z_1}{z_2}\right| = \frac{|z_1|}{|z_2|}$ > - **Argumenten subtraheras:** $\arg\left(\frac{z_1}{z_2}\right) = \arg(z_1) - \arg(z_2)$ > [!example]- Exempel: Multiplikation i polär form > > Beräkna $z_1 \cdot z_2$ där: > > - $z_1 = 2e^{i\pi/3}$ > - $z_2 = 3e^{i\pi/4}$ > > **Lösning:** $z_1 \cdot z_2 = 2 \cdot 3 \cdot e^{i(\pi/3 + \pi/4)} = 6e^{i \cdot 7\pi/12}$ > [!example]- Exempel: Division i polär form > > Beräkna $\displaystyle\frac{z_1}{z_2}$ där: > > - $z_1 = 4e^{i\pi/2}$ > - $z_2 = 2e^{i\pi/6}$ > > **Lösning:** $\frac{z_1}{z_2} = \frac{4}{2} \cdot e^{i(\pi/2 - \pi/6)} = 2e^{i\pi/3}$ --- # Del IV: de Moivres formel och potenser ## de Moivres formel > [!info]- SATS: de Moivres formel > > För alla reella $\theta$ och alla heltal $n$ gäller: $(\cos\theta + i\sin\theta)^n = \cos(n\theta) + i\sin(n\theta)$ > > Eller i exponentiell form: $(e^{i\theta})^n = e^{in\theta}$ > [!success]- Härledning: de Moivres formel > > **Bevis med exponentialform (enklast):** > > Från exponentiallagarna: $(e^a)^n = e^{an}$ > > Därför: $(e^{i\theta})^n = e^{i \cdot n \cdot \theta} = e^{in\theta}$ > > Översatt till trigonometrisk form: $(\cos\theta + i\sin\theta)^n = \cos(n\theta) + i\sin(n\theta)$ > > **Alternativt bevis med induktion** för positiva heltal $n$ finns också. > [!tip]- Receptbok: Beräkna $z^n$ (heltalspotens) > > **Steg 1:** Skriv $z$ på polär form: $z = r(\cos\theta + i\sin\theta) = re^{i\theta}$ > > **Steg 2:** Tillämpa de Moivres formel: $z^n = r^n(\cos(n\theta) + i\sin(n\theta)) = r^n e^{in\theta}$ > > **Steg 3:** Omvandla tillbaka till rektangulär form om så önskas. > [!example]- Exempel: Beräkna $(1 + i)^8$ > > **Steg 1:** Polär form av $1 + i$: > > - $r = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$ > - $\theta = \arctan(1) = \frac{\pi}{4}$ > - $1 + i = \sqrt{2} \cdot e^{i\pi/4}$ > > **Steg 2:** Använd de Moivre: $(1 + i)^8 = (\sqrt{2})^8 \cdot e^{i \cdot 8 \cdot \pi/4}$ $= 2^4 \cdot e^{i \cdot 2\pi}$ $= 16 \cdot (\cos 2\pi + i\sin 2\pi)$ $= 16 \cdot (1 + 0i) = 16$ > [!example]- Exempel: Beräkna $(1 - i)^{10}$ > > **Steg 1:** Polär form av $1 - i$: > > - $r = \sqrt{2}$ > - $\theta = -\frac{\pi}{4}$ (fjärde kvadranten) > - $1 - i = \sqrt{2} \cdot e^{-i\pi/4}$ > > **Steg 2:** Använd de Moivre: $(1 - i)^{10} = (\sqrt{2})^{10} \cdot e^{-i \cdot 10\pi/4}$ $= 2^5 \cdot e^{-i \cdot 5\pi/2}$ $= 32 \cdot e^{-i\pi/2}$ (eftersom $-\frac{5\pi}{2} = -\frac{\pi}{2} - 2\pi$) > > $= 32(\cos(-\frac{\pi}{2}) + i\sin(-\frac{\pi}{2}))$ $= 32(0 - i) = -32i$ ## Tillämpning: Trigonometriska identiteter > [!note]- Användning av de Moivre för trigonometriska formler > > Genom att utveckla $(\cos\theta + i\sin\theta)^n$ med binomialsatsen och jämföra med $\cos(n\theta) + i\sin(n\theta)$ kan vi härleda formler för $\cos(n\theta)$ och $\sin(n\theta)$. > [!example]- Exempel: Härled $\cos(2\theta)$ och $\sin(2\theta)$ > > Använd de Moivre med $n = 2$: $(\cos\theta + i\sin\theta)^2 = \cos(2\theta) + i\sin(2\theta)$ > > Utveckla vänsterledet: $\cos^2\theta + 2i\cos\theta\sin\theta + i^2\sin^2\theta$ $= \cos^2\theta - \sin^2\theta + 2i\cos\theta\sin\theta$ > > Jämför real- och imaginärdelar: $\boxed{\cos(2\theta) = \cos^2\theta - \sin^2\theta}$ $\boxed{\sin(2\theta) = 2\sin\theta\cos\theta}$ > [!example]- Exempel: Härled $\cos(3\theta)$ och $\sin(3\theta)$ > > Använd de Moivre med $n = 3$: $(\cos\theta + i\sin\theta)^3 = \cos(3\theta) + i\sin(3\theta)$ > > Utveckla med binomialsatsen: $= \cos^3\theta + 3\cos^2\theta \cdot i\sin\theta + 3\cos\theta \cdot (i\sin\theta)^2 + (i\sin\theta)^3$ $= \cos^3\theta + 3i\cos^2\theta\sin\theta - 3\cos\theta\sin^2\theta - i\sin^3\theta$ > > Gruppera: $= (\cos^3\theta - 3\cos\theta\sin^2\theta) + i(3\cos^2\theta\sin\theta - \sin^3\theta)$ > > **Resultat:** $\boxed{\cos(3\theta) = \cos^3\theta - 3\cos\theta\sin^2\theta = 4\cos^3\theta - 3\cos\theta}$ $\boxed{\sin(3\theta) = 3\cos^2\theta\sin\theta - \sin^3\theta = 3\sin\theta - 4\sin^3\theta}$ --- # Del V: Rötter till komplexa tal ## n:te roten ur ett komplext tal > [!info]- SATS: n:te rötter > > Ekvationen $w^n = z$ där $z \neq 0$ har exakt **$n$ stycken lösningar** i $\mathbb{C}$. > > Om $z = re^{i\theta}$, ges de $n$ rötterna av: $w_k = \sqrt[n]{r} \cdot e^{i(\theta + 2\pi k)/n}, \quad k = 0, 1, 2, \ldots, n-1$ > > **Geometrisk observation:** De $n$ rötterna ligger **jämnt fördelade på en cirkel** med radie $\sqrt[n]{r}$, med vinkelavstånd $\frac{2\pi}{n}$ mellan varje rot. > [!tip]- Receptbok: Beräkna alla n:te rötter ur z > > **Steg 1:** Skriv $z$ på polär form: $z = re^{i\theta}$ > > **Steg 2:** Beräkna rotens belopp: $\rho = \sqrt[n]{r}$ > > **Steg 3:** Beräkna argumenten för de $n$ rötterna: $\varphi_k = \frac{\theta + 2\pi k}{n}, \quad k = 0, 1, \ldots, n-1$ > > **Steg 4:** Skriv upp rötterna: $w_k = \rho e^{i\varphi_k}$ > > **Steg 5:** Omvandla till rektangulär form om så önskas: $w_k = \rho(\cos\varphi_k + i\sin\varphi_k)$ > [!example]- Exempel: Beräkna alla kubikrötter till $z = 8$ > > Vi söker alla $w$ sådana att $w^3 = 8$. > > **Steg 1:** Polär form: $8 = 8e^{i \cdot 0}$ (dvs. $r = 8$, $\theta = 0$) > > **Steg 2:** Rotens belopp: $\rho = \sqrt[3]{8} = 2$ > > **Steg 3:** Argumenten: > > - $k = 0$: $\varphi_0 = \frac{0 + 0}{3} = 0$ > - $k = 1$: $\varphi_1 = \frac{0 + 2\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$ > - $k = 2$: $\varphi_2 = \frac{0 + 4\pi}{3} = \frac{4\pi}{3}$ > > **Steg 4:** Rötterna: > > - $w_0 = 2e^{i \cdot 0} = 2$ > - $w_1 = 2e^{i2\pi/3} = 2\left(-\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i\right) = -1 + \sqrt{3}i$ > - $w_2 = 2e^{i4\pi/3} = 2\left(-\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i\right) = -1 - \sqrt{3}i$ > > **Svar:** $w = 2, ; -1 + \sqrt{3}i, ; -1 - \sqrt{3}i$ > [!example]- Exempel: Beräkna $\sqrt{i}$ (alla kvadratrötter) > > Vi söker alla $w$ sådana att $w^2 = i$. > > **Steg 1:** Polär form av $i$: $i = 1 \cdot e^{i\pi/2}$ (dvs. $r = 1$, $\theta = \frac{\pi}{2}$) > > **Steg 2:** Rotens belopp: $\rho = \sqrt{1} = 1$ > > **Steg 3:** Argumenten: > > - $k = 0$: $\varphi_0 = \frac{\pi/2 + 0}{2} = \frac{\pi}{4}$ > - $k = 1$: $\varphi_1 = \frac{\pi/2 + 2\pi}{2} = \frac{5\pi}{4}$ > > **Steg 4:** Rötterna: > > - $w_0 = e^{i\pi/4} = \cos\frac{\pi}{4} + i\sin\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}i = \frac{1+i}{\sqrt{2}}$ > - $w_1 = e^{i5\pi/4} = \cos\frac{5\pi}{4} + i\sin\frac{5\pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}i = -\frac{1+i}{\sqrt{2}}$ > > **Svar:** $\sqrt{i} = \pm\frac{1+i}{\sqrt{2}} = \pm\frac{\sqrt{2}}{2}(1+i)$ > [!example]- Exempel: Beräkna alla fjärderötter till $z = -16$ > > Vi söker alla $w$ sådana att $w^4 = -16$. > > **Steg 1:** Polär form: $-16 = 16e^{i\pi}$ > > **Steg 2:** Rotens belopp: $\rho = \sqrt[4]{16} = 2$ > > **Steg 3:** Argumenten ($\theta = \pi$, $n = 4$): > > - $k = 0$: $\varphi_0 = \frac{\pi}{4}$ > - $k = 1$: $\varphi_1 = \frac{\pi + 2\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$ > - $k = 2$: $\varphi_2 = \frac{\pi + 4\pi}{4} = \frac{5\pi}{4}$ > - $k = 3$: $\varphi_3 = \frac{\pi + 6\pi}{4} = \frac{7\pi}{4}$ > > **Steg 4:** Rötterna: > > - $w_0 = 2e^{i\pi/4} = 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}(1+i) = \sqrt{2}(1+i)$ > - $w_1 = 2e^{i3\pi/4} = \sqrt{2}(-1+i)$ > - $w_2 = 2e^{i5\pi/4} = \sqrt{2}(-1-i)$ > - $w_3 = 2e^{i7\pi/4} = \sqrt{2}(1-i)$ ## Enhetsrötter > [!info]- Definition: n:te enhetsrötter > > De n:te **enhetsrötterna** är lösningarna till ekvationen $z^n = 1$. > > De ges av: $\omega_k = e^{i2\pi k/n} = \cos\frac{2\pi k}{n} + i\sin\frac{2\pi k}{n}, \quad k = 0, 1, \ldots, n-1$ > > Den **primitiva n:te enhetsroten** är $\omega = e^{i2\pi/n}$ (dvs. $k = 1$). > > Alla enhetsrötter kan skrivas som potenser av $\omega$: $\omega_k = \omega^k$ > [!info]- SATS: Egenskaper för enhetsrötter > > Låt $\omega = e^{i2\pi/n}$ vara den primitiva n:te enhetsroten. Då gäller: > > 1. $\omega^n = 1$ > 2. $1 + \omega + \omega^2 + \cdots + \omega^{n-1} = 0$ > 3. Enhetsrötterna ligger på **enhetscirkeln**, jämnt fördelade med vinkelavstånd $\frac{2\pi}{n}$ > 4. Produkten av alla n:te enhetsrötter är $(-1)^{n+1}$ > [!note]- Viktiga specialfall av enhetsrötter > > |$n$|Enhetsrötter|Primitiv rot $\omega$| > |:-:|:--|:-:| > |2|$1, -1$|$-1$| > |3|$1, -\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i, -\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i$|$e^{i2\pi/3}$| > |4|$1, i, -1, -i$|$i$| > |6|$1, \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i, -\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i, -1, -\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i, \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i$|$e^{i\pi/3}$| > [!success]- Härledning: Summan av enhetsrötter är noll > > Låt $S = 1 + \omega + \omega^2 + \cdots + \omega^{n-1}$. > > Detta är en geometrisk summa med kvot $\omega$: $S = \frac{1 - \omega^n}{1 - \omega}$ > > Eftersom $\omega^n = 1$: $S = \frac{1 - 1}{1 - \omega} = \frac{0}{1 - \omega} = 0$ > > (förutsatt att $\omega \neq 1$, dvs. $n \geq 2$) --- # Del VI: Polynomekvationer ## Algebrans fundamentalsats > [!info]- SATS: Algebrans fundamentalsats > > Varje icke-konstant polynom med komplexa (eller reella) koefficienter har **minst en rot** i $\mathbb{C}$. > > **Följdsats:** Ett polynom av grad $n$ har **exakt $n$ rötter** i $\mathbb{C}$ (räknat med multiplicitet). > [!info]- SATS: Konjugerade rötter > > Om ett polynom har **reella koefficienter** och $z_0$ är en rot, då är även $\bar{z}_0$ (konjugatet) en rot. > > **Följd:** Komplexa rötter till polynom med reella koefficienter kommer alltid i **konjugerade par**. ## Andragradsekvationer > [!tip]- Receptbok: Lös $az^2 + bz + c = 0$ > > Använd abc-formeln (eller pq-formeln): $z = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ > > **Diskriminanten** $D = b^2 - 4ac$ avgör rötterna: > > |$D$|Rötter| > |:-:|:--| > |$D > 0$|Två olika reella rötter| > |$D = 0$|En reell dubbelrot| > |$D < 0$|Två komplexa konjugerade rötter: $z = \frac{-b \pm i\sqrt{| > [!example]- Exempel: Lös $z^2 + 2z + 5 = 0$ > > **Identifiera:** $a = 1$, $b = 2$, $c = 5$ > > **Diskriminanten:** $D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 4 - 20 = -16 < 0$ > > **Rötterna:** $z = \frac{-2 \pm \sqrt{-16}}{2} = \frac{-2 \pm 4i}{2} = -1 \pm 2i$ > > **Svar:** $z = -1 + 2i$ och $z = -1 - 2i$ (konjugerade) > [!example]- Exempel: Lös $z^2 - (3+i)z + (2+i) = 0$ > > Här har vi komplexa koefficienter, så abc-formeln gäller fortfarande. > > **Diskriminanten:** $D = (3+i)^2 - 4(2+i) = 9 + 6i - 1 - 8 - 4i = 2i$ > > **Vi behöver $\sqrt{2i}$** (se tidigare exempel): $\sqrt{2i} = \pm(1+i)$ > > **Rötterna:** $z = \frac{(3+i) \pm (1+i)}{2}$ > > - $z_1 = \frac{3+i+1+i}{2} = \frac{4+2i}{2} = 2+i$ > - $z_2 = \frac{3+i-1-i}{2} = \frac{2}{2} = 1$ > > **Svar:** $z = 2+i$ och $z = 1$ > > **Kontroll:** Dessa är INTE konjugerade, vilket är förväntat eftersom koefficienterna inte är reella. ## Faktorisering av polynom > [!info]- SATS: Faktorsatsen > > Om $z_0$ är en rot till polynomet $P(z)$, så är $(z - z_0)$ en faktor i $P(z)$. > > **Fullständig faktorisering:** $P(z) = a_n(z - z_1)(z - z_2)\cdots(z - z_n)$ > > där $z_1, z_2, \ldots, z_n$ är polynomets rötter och $a_n$ är ledande koefficienten. > [!tip]- Receptbok: Faktorisera polynom med reella koefficienter > > **Steg 1:** Hitta alla rötter (reella och komplexa) > > **Steg 2:** Skriv upp faktoriseringen över $\mathbb{C}$: $P(z) = a_n(z - z_1)(z - z_2)\cdots(z - z_n)$ > > **Steg 3:** För faktorisering över $\mathbb{R}$, slå ihop konjugerade par: $(z - z_0)(z - \bar{z}_0) = z^2 - (z_0 + \bar{z}_0)z + z_0\bar{z}_0$ $= z^2 - 2\text{Re}(z_0)z + |z_0|^2$ > > Detta är en reell andragradsfaktor. > [!example]- Exempel: Faktorisera $z^3 - 1$ > > **Rötterna:** Tredje enhetsrötterna > > - $z_0 = 1$ > - $z_1 = e^{i2\pi/3} = -\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i$ > - $z_2 = e^{i4\pi/3} = -\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i$ > > **Faktorisering över $\mathbb{C}$:** $z^3 - 1 = (z - 1)(z - z_1)(z - z_2)$ > > **Faktorisering över $\mathbb{R}$:** Slå ihop de konjugerade rötterna $z_1$ och $z_2$: $(z - z_1)(z - z_2) = z^2 - (z_1 + z_2)z + z_1 z_2$ $= z^2 - (-1)z + 1 = z^2 + z + 1$ > > **Svar:** $z^3 - 1 = (z - 1)(z^2 + z + 1)$ > [!example]- Exempel: Faktorisera $z^4 + 4$ > > **Hitta rötterna till $z^4 = -4$:** > > Polär form: $-4 = 4e^{i\pi}$ > > Fjärderötterna: $z_k = \sqrt[4]{4} \cdot e^{i(\pi + 2\pi k)/4} = \sqrt{2} \cdot e^{i\pi(1 + 2k)/4}$ > > - $k = 0$: $z_0 = \sqrt{2} e^{i\pi/4} = 1 + i$ > - $k = 1$: $z_1 = \sqrt{2} e^{i3\pi/4} = -1 + i$ > - $k = 2$: $z_2 = \sqrt{2} e^{i5\pi/4} = -1 - i$ > - $k = 3$: $z_3 = \sqrt{2} e^{i7\pi/4} = 1 - i$ > > **Faktorisering över $\mathbb{R}$:** > > Par 1: $z_0 = 1+i$ och $z_3 = 1-i$ (konjugerade) $(z - (1+i))(z - (1-i)) = z^2 - 2z + 2$ > > Par 2: $z_1 = -1+i$ och $z_2 = -1-i$ (konjugerade) $(z - (-1+i))(z - (-1-i)) = z^2 + 2z + 2$ > > **Svar:** $z^4 + 4 = (z^2 - 2z + 2)(z^2 + 2z + 2)$ --- # Del VII: Geometriska mängder ## Cirklar > [!info]- Definition: Cirkel i det komplexa planet > > En **cirkel** med centrum $z_0$ och radie $r$ beskrivs av: $|z - z_0| = r$ > > **Inre (öppen skiva):** $|z - z_0| < r$ > > **Yttre:** $|z - z_0| > r$ > > **Sluten skiva:** $|z - z_0| \leq r$ > [!example]- Exempel: Beskriv mängden $|z - 2 + 3i| = 5$ > > Skriv om: $|z - (2 - 3i)| = 5$ > > Detta är en **cirkel** med: > > - Centrum: $z_0 = 2 - 3i$, dvs. punkten $(2, -3)$ > - Radie: $r = 5$ ## Linjer > [!info]- Mängd: Linje som medelortslinje > > Mängden av alla punkter med **samma avstånd** till två givna punkter $z_1$ och $z_2$ är en **linje** (medellnormallinjen): $|z - z_1| = |z - z_2|$ > [!info]- Mängd: Linje på parameterform > > En linje genom $z_1$ och $z_2$ ges parametriskt av: $z = z_1 + t(z_2 - z_1), \quad t \in \mathbb{R}$ > > Eller ekvivalent: $z = (1-t)z_1 + tz_2$ > [!info]- Mängd: Linje på allmän form > > En linje kan också skrivas: $\text{Re}(\bar{a}z) = c$ > > där $a \neq 0$ är ett komplext tal (normalriktningen) och $c$ är en reell konstant. ## Halvplan > [!info]- Mängd: Halvplan > > Olikheten $|z - z_1| < |z - z_2|$ beskriver det **halvplan** som innehåller punkter närmare $z_1$ än $z_2$. > > Randen är linjen $|z - z_1| = |z - z_2|$. ## Cirkelskivor och ringar > [!note]- Sammansatta mängder > > |Mängd|Beskrivning| > |:--|:--| > |$r_1 < \|z - z_0\| < r_2$|Öppen ring (annulus)| > |$r_1 \leq \|z - z_0\| \leq r_2$|Sluten ring| > |$\|z - z_0\| < r$ och $\|z - w_0\| < s$|Snittet av två skivor| > [!example]- Exempel: Beskriv mängden $1 < |z - i| \leq 3$ > > - Centrum: $z_0 = i$, dvs. punkten $(0, 1)$ > - Inre radie: 1 (exkluderad, öppen rand inåt) > - Yttre radie: 3 (inkluderad, sluten rand utåt) > > Detta är en **halvöppen ring** centrerad kring $i$. --- # Del VIII: Sammanfattning och formelblad ## Grundläggande formler > [!note]- Formelsamling: Komplexa tal > > **Definition:** $z = a + bi$ där $i^2 = -1$ > > **Konjugat:** $\bar{z} = a - bi$ > > **Belopp:** $|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$ > > **Polär form:** $z = r(\cos\theta + i\sin\theta) = re^{i\theta}$ > > **Eulers formel:** $e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta$ > > **de Moivres formel:** $(e^{i\theta})^n = e^{in\theta}$ > > **n:te rötter:** $w_k = \sqrt[n]{r} \cdot e^{i(\theta + 2\pi k)/n}$, $k = 0, 1, \ldots, n-1$ ## Räkneregler > [!note]- Formelsamling: Räkneoperationer > > **Addition:** $(a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i$ > > **Multiplikation (rekt.):** $(a+bi)(c+di) = (ac-bd) + (ad+bc)i$ > > **Multiplikation (polär):** $r_1 e^{i\theta_1} \cdot r_2 e^{i\theta_2} = r_1 r_2 e^{i(\theta_1 + \theta_2)}$ > > **Division:** $\displaystyle\frac{z}{w} = \frac{z\bar{w}}{|w|^2}$ > > **Division (polär):** $\displaystyle\frac{r_1 e^{i\theta_1}}{r_2 e^{i\theta_2}} = \frac{r_1}{r_2} e^{i(\theta_1 - \theta_2)}$ ## Viktiga egenskaper > [!note]- Formelsamling: Egenskaper > > **Belopp:** > > - $|z \cdot w| = |z| \cdot |w|$ > - $|z + w| \leq |z| + |w|$ (triangelolikheten) > - $|z|^2 = z \cdot \bar{z}$ > > **Konjugat:** > > - $\overline{z + w} = \bar{z} + \bar{w}$ > - $\overline{z \cdot w} = \bar{z} \cdot \bar{w}$ > - $z + \bar{z} = 2\text{Re}(z)$ > - $z - \bar{z} = 2i\text{Im}(z)$ > > **Argument:** > > - $\arg(z_1 z_2) = \arg(z_1) + \arg(z_2)$ > - $\arg(z_1/z_2) = \arg(z_1) - \arg(z_2)$ > - $\arg(z^n) = n \cdot \arg(z)$ ## Standardvinklar > [!note]- Tabell: Vanliga komplexa tal i polär form > > |$z$|$\|z\|$|$\arg(z)$| > |:-:|:-:|:-:| > |$1$|$1$|$0$| > |$i$|$1$|$\frac{\pi}{2}$| > |$-1$|$1$|$\pi$| > |$-i$|$1$|$-\frac{\pi}{2}$| > |$1+i$|$\sqrt{2}$|$\frac{\pi}{4}$| > |$1-i$|$\sqrt{2}$|$-\frac{\pi}{4}$| > |$-1+i$|$\sqrt{2}$|$\frac{3\pi}{4}$| > |$-1-i$|$\sqrt{2}$|$-\frac{3\pi}{4}$| > |$\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i$|$1$|$\frac{\pi}{3}$| > |$\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}i$|$1$|$\frac{\pi}{6}$| > [!warning]- Vanliga misstag att undvika > > 1. **Glömmer $i^2 = -1$** vid multiplikation > 2. **Fel tecken i konjugatet** — bara imaginärdelen byter tecken > 3. **Glömmer alla n rötter** — det finns alltid exakt n stycken n:te rötter > 4. **Fel kvadrant vid argument** — kontrollera alltid tecken på a och b > 5. **Blandar ihop belopp och argument** — belopp är alltid $\geq 0$ > 6. **Glömmer att argumentet är flertydigt** — lägg till $2\pi k$ vid behov > 7. **Division utan konjugat** — förläng alltid med nämnarens konjugat