## Kapitel 1: Integration > > [!example]- Ö1.1 Bestäm en primitiv funktion till följande funktioner: > > a) $1$ > > b) $x$ > > c) $x^7$ > > d) $\frac{1}{x^3}$ > > e) $\frac{1}{x^5}$ > > f) $\sqrt{x}$ > > g) $x^3\sqrt{x}$ > > h) $\frac{1}{\sqrt{t}}$ > > i) $\frac{1}{u\sqrt{u}}$ > > > > > [!success]- Facit > > > a) $x$ > > > b) $\frac{x^2}{2}$ > > > c) $\frac{x^8}{8}$ > > > d) $-\frac{1}{2x^2}$ > > > e) $-\frac{1}{4x^4}$ > > > f) $\frac{2x^{3/2}}{3}=\frac{2x\sqrt{x}}{3}$ > > > g) $\frac{2x^4\sqrt{x}}{9}$ > > > h) $2t^{1/2}=2\sqrt{t}$ > > > i) $-2u^{-1/2}=-\frac{2}{\sqrt{u}}$ > > > [!example]- Ö1.2 Beräkna > > a) $\int 4x\,dx$ > > b) $\int(2x+1)\,dx$ > > c) $\int(8x^3-12x^2+6x)\,dx$ > > d) $\int(t+1)^2\,dt$ > > e) $\int\left(x-\frac{1}{x\sqrt{x}}\right)^2dx$ > > f) $\int\left(\frac{2}{x^3}+6x^6\right)dx$ > > g) $\int\frac{6s^3+s^2-2}{s^2}ds$ > > h) $\int 0\,dx$ > > > > > [!success]- Facit > > > a) $2x^2+C$ > > > b) $x^2+x+C$ > > > c) $2x^4-4x^3+3x^2+C$ > > > d) $\frac{t^3}{3}+t^2+t+C$ > > > e) $\frac{x^3}{3}-4\sqrt{x}-\frac{1}{2x^2}+C$ > > > f) $-\frac{1}{x^2}+\frac{6x^7}{7}+C$ > > > g) $3s^2+s+\frac{2}{s}+C$ > > > h) $C$ > > > [!example]- Ö1.3 Bestäm med hjälp av standardintegraler en primitiv funktion till > > a) $f(x)=2+\sin x$ > > b) $f(t)=1-3e^t$ > > c) $g(x)=\tan^2 x$ $[=1+\tan^2 x-1]$ > > d) $h(v)=\frac{2}{\cos^2 v}+\frac{1}{\sin^2 v}$ > > e) $f(x)=\frac{x+1}{x}$ > > f) $g(x)=2^x$ > > g) $h(s)=\frac{3s^2-4}{2s}$ > > > > > [!success]- Facit > > > a) $2x-\cos x$ > > > b) $t-3e^t$ > > > c) $\tan x-x$ > > > d) $2\tan v-\cot v$ > > > e) $x+\ln|x|$ > > > f) $\frac{2^x}{\ln 2}$ > > > g) $\frac{3s^2}{4}-2\ln|s|$ > > > [!example]- Ö1.4 Partikelrörelse > > En partikel rör sig med variabel hastighet i en rätlinjig bana. Antag att partikeln vid tiden $t=0$ har läget $s_0=50$ m och hastigheten $v_0=10$ m/s. > > Beräkna hur långt partikeln har förflyttat sig efter 6 s då accelerationen $a(t)=t$ m/s². > > $[a(t)=v'(t)$ och $v(t)=s'(t)]$ > > > > > [!success]- Facit > > > 146 m $\quad[s(t)=\frac{1}{6}t^3+10t+50]$ > > > [!example]- Ö1.5 Partikelrörelse > > En partikel rör sig i en rätlinjig bana med accelerationen 1 m/s². > > 10 s efter starten vid tidpunkten $t=0$ s har partikeln förflyttat sig 100 m. > > Vilken var partikelns begynnelsehastighet $v_0$? > > > > > [!success]- Facit > > > $v_0=5$ m/s > > > [!example]- Ö1.6 > > Bestäm den primitiva funktion till $f(x)=|2x-4|$ vars graf går genom punkten $(-1;2)$. > > > > > [!success]- Facit > > > $F(x)=\int|2x-4|\,dx=\begin{cases}x^2-4x+15 & \text{då } x\geq 2\\-x^2+4x+7 & \text{då } x<2\end{cases}$ > > > [!example]- Ö1.7 > > Man vet att $F'(x)=\begin{cases}\sqrt[3]{x}\ (=x^{1/3}) & \text{då } x\geq 0\\ e^x-1 & \text{då } x<0\end{cases}$ och att $F(1)=1$. > > Beräkna $F(-1)$. > > > > > [!success]- Facit > > > $F(-1)=\frac{1}{e}+\frac{1}{4}$ > > > [!example]- Ö1.8 Beräkna med hjälp av integreringsregeln $\int\frac{f'(x)}{f(x)}dx=\ln|f(x)|+C$ > > a) $\int\frac{2x}{x^2+4}dx$ > > b) $\int\frac{x}{x^2-5}dx$ > > c) $\int\frac{x}{3-x^2}dx$ > > d) $\int\frac{x^3}{x^4+1}dx$ > > e) $\int\frac{e^x}{e^x+2}dx$ > > f) $\int\frac{1}{\cot x}dx$ > > g) $\int\frac{2x+3}{x^2+3x-4}dx$ > > h) $\int\frac{x+2}{x^2+4x+7}dx$ > > > > > [!success]- Facit > > > a) $\ln(x^2+4)+C$ > > > b) $\frac{1}{2}\ln|x^2-5|+C$ > > > c) $-\frac{1}{2}\ln|3-x^2|+C$ > > > d) $\frac{1}{4}\ln(x^4+1)+C$ > > > e) $\ln(e^x+2)+C$ > > > f) $-\ln|\cos x|+C$ > > > g) $\ln|x^2+3x-4|+C$ > > > h) $\frac{1}{2}\ln(x^2+4x+7)+C$ > > > [!example]- Ö1.9 Bestäm en primitiv funktion till följande funktioner: > > a) $\sin(2x)$ > > b) $\cos(3-x)$ > > c) $e^{4x}$ > > d) $e^{-x}$ > > e) $\sin(3x-\frac{\pi}{4})$ > > f) $e^{7-5x}$ > > g) $\cosh x$ > > > > > [!success]- Facit > > > (Se lärobok för svar - ej med i facit) > > > [!example]- Ö1.10 > > Bestäm $F(\frac{\pi}{4})$ då $f(x)=6\sin(3x)+2\cos(2x-\frac{\pi}{6})$ och $F(\frac{\pi}{3})=0$. > > > > > [!success]- Facit > > > (Se lärobok för svar - ej med i facit) > > > [!example]- Ö1.11 Beräkna med hjälp av partiell integration > > a) $\int x\ln x\,dx$ > > b) $\int x^2\ln x\,dx$ > > c) $\int\ln\sqrt{t}\,dt$ > > d) $\int\arctan x\,dx$ > > e) $\int x\sin x\,dx$ > > f) $\int x^2\sin x\,dx$ > > g) $\int(x^2-x+2)e^x dx$ > > h) $\int\sin x\cos x\,dx$ > > i) $\int e^x\cos x\,dx$ > > > > > [!success]- Facit > > > (Se lärobok för svar - ej med i facit) > > > [!example]- Ö1.12 > > Bestäm den primitiva funktionen till $\frac{\ln x}{x^2}$ som har ett nollställe för $x=1$. > > > > > [!success]- Facit > > > (Se lärobok för svar - ej med i facit) > > > [!example]- Ö1.13 Beräkna med hjälp av lämpliga substitutioner > > a) $\int(4x-1)^{100}dx$ > > b) $\int\frac{2x-3}{(x+2)^{50}}dx$ > > c) $\int z\cos(z^2+1)\,dz$ > > d) $\int\frac{1}{1+\sqrt{x}}dx$ > > e) $\int\frac{s}{s^2+1}ds$ > > f) $\int\frac{s^3}{s^4+1}ds$ > > g) $\int\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}dx$ > > h) $\int\frac{x^2}{\sqrt{x^3+2}}dx$ > > i) $\int\frac{x+2}{\sqrt{x+1}}dx$ > > j) $\int xe^{x^2}dx$ > > k) $\int e^{\sqrt{x}}dx$ > > l) $\int\frac{1}{e^x+e^{-x}}dx$ > > m) $\int\sinh^2 y\,dy$ > > n) $\int\frac{1}{\cosh^2 x}dx$ > > > > > [!success]- Facit > > > (Se lärobok för svar - ej med i facit) > > > [!example]- Ö1.14 > > Bestäm en primitiv funktion till $x/\sqrt{1-x^4}$. > > > > > [!success]- Facit > > > (Se lärobok för svar - ej med i facit) > > > [!example]- Ö1.15 Beräkna med hjälp av lämpliga trigonometriska substitutioner > > a) $\int\sin^2 x\cos x\,dx$ > > b) $\int\cos^7 x\sin x\,dx$ > > c) $\int\sin^3 x\,dx$ > > d) $\int e^{\cos v}\sin v\,dv$ > > e) $\int\frac{\cos\alpha}{1+\sin^2\alpha}d\alpha$ > > f) $\int\tan x\,dx$ > > g) $\int\tan^3 v\,dv$ > > > > > [!success]- Facit > > > (Se lärobok för svar - ej med i facit) > > > [!example]- Ö1.16 Bestäm, med tekniken i exempel 1.31, en primitiv funktion till > > a) $\frac{1}{5+4\sin(2v)}$ > > b) $\frac{1}{\sin x}$ > > c) $\frac{2}{5-3\cos x}$ > > > > > [!success]- Facit > > > (Se lärobok för svar - ej med i facit) > > > [!example]- Ö1.17 Bestäm (använd t.ex. polynomdivision), en primitiv funktion till > > a) $\frac{x+2}{x+1}$ > > b) $\frac{x}{x-3}$ > > c) $\frac{x^2}{x+2}$ > > d) $\frac{x^2+3}{1+x^2}$ > > e) $\frac{x^3-x+1}{2x+1}$ > > > > > [!success]- Facit > > > (Se lärobok för svar - ej med i facit) > > > [!example]- Ö1.18 Partialbråk > > a) Faktoruppdela $x^2-4x-5$ > > b) Partialbråksuppdela $\frac{x-11}{x^2-4x-5}$ > > c) Beräkna $\int\frac{x-11}{x^2-4x-5}dx$ > > d) Beräkna $\int\frac{x^2+2x+7}{x^2-4x-5}dx$ > > > > > [!success]- Facit > > > (Se lärobok för svar - ej med i facit) > > > [!example]- Ö1.19 Ange vilka ansättningar som måste göras för att kunna partialbråksuppdela följande rationella uttryck > > a) $\frac{7x-4}{(x+1)(x+2)}$ > > b) $\frac{3x+2}{x^2-2x-8}$ > > c) $\frac{3x+2}{x^2-2x+1}$ > > d) $\frac{3x+2}{x^3-2x^2-8x}$ > > e) $\frac{3x+2}{x^4-2x^3-8x^2}$ > > f) $\frac{x^4-3x^3+2}{x^5-2x^4-8x^3}$ > > g) $\frac{3x+2}{x^2+2x+5}$ > > h) $\frac{3x+2}{x^3+2x^2+5x}$ > > i) $\frac{3x+2}{x^4+2x^3+5x^2}$ > > j) $\frac{3x+2}{x^5+2x^4+5x^3}$ > > k) $\frac{x^3+1}{(x-1)^4(x+2)^2}$ > > > > > [!success]- Facit > > > (Se lärobok för svar - ej med i facit) > > > [!example]- Ö1.20 > > Bestäm de koefficienter i partialbråksuppdelningarna Ö1.19 a–k, som är möjliga att bestämma med handpåläggningsmetoden. > > > > > [!success]- Facit > > > a) $A=-11, B=18$ > > > b) $A=\frac{2}{3}, B=\frac{7}{3}$ > > > c) $B=5$ > > > d) $A=-\frac{1}{4}, B=-\frac{1}{3}, C=\frac{7}{12}$ > > > e) $B=-\frac{1}{4}, C=\frac{1}{6}, D=\frac{7}{48}$ > > > f) $C=-\frac{1}{4}, D=\frac{7}{8}, E=\frac{11}{64}$ > > > h) $A=\frac{2}{5}$ > > > i) $B=\frac{2}{5}$ > > > j) $C=\frac{2}{5}$ > > > k) $D=\frac{2}{9}, F=-\frac{7}{81}$ > > > [!example]- Ö1.21 > > Bestäm primitiva funktioner till uttrycken i uppgift Ö1.19 a–i. > > > > > [!success]- Facit > > > a) $-11\ln|x+1|+18\ln|x+2|+C$ > > > b) $\frac{2}{3}\ln|x+2|+\frac{7}{3}\ln|x-4|+C$ > > > c) $3\ln|x-1|-\frac{5}{x-1}+C$ > > > d) $\frac{7}{12}\ln|x-4|-\frac{1}{3}\ln|x+2|-\frac{1}{4}\ln|x|+C$ > > > e) $\frac{7}{48}\ln|x-4|+\frac{1}{6}\ln|x+2|-\frac{5}{16}\ln|x|+\frac{1}{4x}+C$ > > > f) $\frac{11}{64}\ln|x-4|+\frac{7}{8}\ln|x+2|-\frac{3}{64}\ln|x|+\frac{1}{8x^2}-\frac{1}{16x}+C$ > > > g) $\frac{3}{2}\ln(x^2+2x+5)-\frac{1}{2}\arctan\frac{x+1}{2}+C$ > > > h) $\frac{2}{5}\ln|x|-\frac{1}{5}\ln(x^2+2x+5)+\frac{13}{10}\arctan\frac{x+1}{2}+C$ > > > i) $\frac{11}{25}\ln|x|-\frac{11}{50}\ln(x^2+2x+5)-\frac{21}{50}\arctan\frac{x+1}{2}-\frac{2}{5x}+C$ > > > [!example]- Ö1.22 > > Man vet att $F'(x)=\frac{x+6}{x^3+2x^2}$ och att $F(1)=0$. Beräkna $F(3)$. > > > > > [!success]- Facit > > > $2+\ln\frac{5}{9}\quad\left[F(x)=-\frac{3}{x}-\ln|x|+\ln|x+2|+3-\ln 3\right]$ > > > [!example]- Ö1.23 > > Beräkna $\int\frac{1}{x^3+x}dx$. > > > > > [!success]- Facit > > > $\ln|x|-\frac{1}{2}\ln(x^2+1)+C=\frac{1}{2}\ln\frac{x^2}{x^2+1}+C$ > > > [!example]- Ö1.24 Bestäm en primitiv funktion till > > a) $\ln|x-1|$ > > b) $\ln|x^2-1|$ > > c) $\ln|x^3-1|$ > > > > > [!success]- Facit > > > a) $(x-1)\ln|x-1|-x$ > > > b) $x\ln|x^2-1|+\ln\left|\frac{x+1}{x-1}\right|-2x$ > > > c) $x\ln|x^3-1|-\ln|x-1|-3x+\frac{1}{2}\ln(x^2+x+1)+\sqrt{3}\arctan\frac{2x+1}{\sqrt{3}}$ > > > [Använd partiell integration!] > > > [!example]- Ö1.25 Beräkna > > a) $\int\frac{1}{\cos v}dv$ > > b) $\int\frac{1}{\sin v+\sin(2v)}dv$ > > c) $\int\frac{\sin^2 v}{4\sin^2 v+\cos^2 v}dv$ > > > > > [!success]- Facit > > > a) $\frac{1}{2}\ln\left|\frac{1+\sin v}{1-\sin v}\right|+C$ > > > b) $\frac{1}{2}\ln(1+\cos v)+\frac{1}{6}\ln(1-\cos v)-\frac{2}{3}\ln|1+2\cos v|+C$ > > > $\left[\int\frac{1}{\sin v+\sin(2v)}dv=\int\frac{1}{\sin v+2\sin v\cos v}dv=\int\frac{1}{\sin v(1+2\cos v)}dv\right]$ > > > c) $\frac{1}{3}v-\frac{1}{6}\arctan(2\tan v)+C$ [Sätt: $t=\tan v$] > > > [!example]- Ö1.26 > > Beräkna $\int\frac{1}{x}\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}dx$ med hjälp av substitutionen $t=\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}$. > > > > > [!success]- Facit > > > $\ln\left|\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}+1\right|-\ln\left|\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}-1\right|-2\arctan\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}+C$ > > > [!example]- Ö1.27 Bestäm en primitiv funktion till $\frac{2x+1}{(x+1)^2}$ > > a) med hjälp av partialbråksuppdelning > > b) genom substitutionen $t=x+1$ > > c) med Hermites metod > > d) genom partiell integration > > > > > [!success]- Facit > > > a, b, > > > c) $\frac{1}{x+1}+2\ln|x+1|$ > > > d) $-\frac{2x+1}{x+1}+2\ln|x+1|$ > > > $\left[\text{d: }-\frac{2x+1}{x+1}=\frac{1}{x+1}-2\right]$ > > > [!example]- Ö1.28 Bestäm, med hjälp av Hermites metod, en primitiv funktion till > > a) $\frac{2x^3+4}{(x^2+1)^2}$ > > b) $\frac{4x^3+8}{(x^2+1)^3}$ > > c) $\frac{x^2+4x+15}{(x^2+2x+5)^2}$ > > d) $\frac{x^5}{(x^2-4x+8)^3}$ > > > > > [!success]- Facit > > > a) $\frac{2x+1}{x^2+1}+\ln(x^2+1)+2\arctan x$ > > > b) $\frac{3x^3-2x^2+5x-1}{(x^2+1)^2}+3\arctan x$ > > > c) $\frac{x}{x^2+2x+5}+\arctan\frac{x+1}{2}$ > > > d) $\frac{-3x^3+2x^2+8x-48}{(x^2-4x+8)^2}+\frac{1}{2}\ln(x^2-4x+8)+\frac{7}{2}\arctan\frac{x-2}{2}$ ## Kapitel 2: Talföljder och summor > > [!example]- Ö2.1 Skriv upp de sex första talen i talföljderna > > a) $1,3,5,\ldots,2n-1,\ldots$ > > b) $2,4,6,\ldots,2n,\ldots$ > > c) $-2,4,-6,\ldots,(-1)^n 2n,\ldots$ > > d) $(n^2)_1^\infty$ > > e) $\left(\frac{1}{n}\right)_1^\infty$ > > f) $\left(\frac{(-1)^n}{n}\right)_1^\infty$ > > g) $\left(\frac{(-1)^{n+1}}{2^n}\right)_1^\infty$ > > h) $(\cos(n\pi))_1^\infty$ > > i) $\left(\left(\frac{2}{3}\right)^n\right)_1^\infty$ > > j) $a_n=a_{n-1}-2$, $a_0=1$ > > k) $s_{n+2}=2s_{n+1}+s_n$, $s_0=0$ och $s_1=1$ > > > > > [!success]- Facit > > > a) $1,3,5,7,9,11$ > > > b) $2,4,6,8,10,12$ > > > c) $-2,4,-6,8,-10,12$ > > > d) $1,4,9,16,25,36$ > > > e) $1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{4},\frac{1}{5},\frac{1}{6}$ > > > f) $-1,\frac{1}{2},-\frac{1}{3},\frac{1}{4},-\frac{1}{5},\frac{1}{6}$ > > > g) $\frac{1}{2},-\frac{1}{4},\frac{1}{8},-\frac{1}{16},\frac{1}{32},-\frac{1}{64}$ > > > h) $-1,1,-1,1,-1,1$ > > > i) $\frac{2}{3},\frac{4}{9},\frac{8}{27},\frac{16}{81},\frac{32}{243},\frac{64}{729}$ > > > j) $1,-1,-3,-5,-7,-9$ > > > k) $0,1,2,5,12,29$ > > > [!example]- Ö2.2 > > Vilka av talföljderna i övning 2.1 är geometriska? > > > > > [!success]- Facit > > > g, h, i > > > [!example]- Ö2.3 > > Talföljden $\frac{1}{2},-\frac{1}{4},\frac{1}{8},\ldots$ är geometrisk. > > a) Bestäm det 7:e talet i talföljden. > > b) Ingår talet $\frac{1}{64}$ i talföljden? > > > > > [!success]- Facit > > > a) $\frac{1}{128}$ > > > b) Nej! > > > [!example]- Ö2.4 Skriv utan summabeteckning > > a) $\sum_{k=1}^{4}(2k-1)$ > > b) $\sum_{i=0}^{4}(i-1)$ > > c) $\sum_{k=2}^{5}(2k)$ > > d) $\sum_{k=1}^{1}(2k)$ > > e) $\sum_{k=1}^{3}x^k$ > > f) $\sum_{j=0}^{3}y^{j-2}$ > > g) $\sum_{k=1}^{4}(-1)^k y^{k+1}$ > > h) $\sum_{k=1}^{4}(-1)^{k+1}y^k$ > > i) $\sum_{k=2}^{4}(-1)^{k-1}y^{k+2}$ > > j) $\sum_{k=0}^{4}\cos(k\pi)$ > > > > > [!success]- Facit > > > a) $1+3+5+7$ > > > b) $-1+0+1+2+3$ > > > c) $4+6+8+10$ > > > d) $2$ > > > e) $x+x^2+x^3$ > > > f) $\frac{1}{y^2}+\frac{1}{y}+1+y$ $[y^{0-2}+y^{1-2}+y^{2-2}+y^{3-2}]$ > > > g) $-y^2+y^3-y^4+y^5$ > > > h) $y-y^2+y^3-y^4$ > > > i) $-y^4+y^5-y^6$ > > > j) $1-1+1-1+1$ > > > [!example]- Ö2.5 Skriv följande summor med summabeteckning: > > a) $2+4+6+\ldots+2k+\ldots+20$ > > b) $1+5+9+\ldots+(4k-3)+\ldots+41$ > > c) $-1+2-3+\ldots+(-1)^k k+\ldots+14$ > > d) $0+2-4+\ldots+(-1)^{k+1}2k+\ldots+18$ > > e) $1+3+5+\ldots+(2k-1)+\ldots+75$ > > f) $1+2+4+\ldots+256$ (geometrisk) > > > > > [!success]- Facit > > > a) $\sum_{k=1}^{10}(2k)$ > > > b) $\sum_{k=1}^{11}(4k-3)$ > > > c) $\sum_{k=1}^{14}(-1)^k k$ > > > d) $\sum_{k=0}^{9}(-1)^{k+1}2k$ > > > e) $\sum_{k=1}^{38}(2k-1)$ > > > f) $\sum_{k=1}^{9}2^{k-1}=\sum_{k=0}^{8}2^k$ > > > [!example]- Ö2.6 > > Talföljden $3,-2,\frac{4}{3},\ldots$ är geometrisk. Beräkna summan av > > a) de 5 första termerna > > b) de $n$ första termerna > > > > > [!success]- Facit > > > a) $\frac{55}{27}$ > > > b) $\frac{9}{5}(1-(-\frac{2}{3})^n)$ > > > [!example]- Ö2.7 Beräkna > > a) $\sum_{k=0}^{3}(2\cdot 3^k)$ > > b) $\sum_{k=1}^{n}(2\cdot 3^k)$ > > c) $\sum_{k=2}^{n}(2\cdot 3^k)$ > > d) $\sum_{k=0}^{n-1}(2\cdot 3^k)$ > > > > > [!success]- Facit > > > a) $80$ > > > b) $\frac{2\cdot 3^1-2\cdot 3^{n+1}}{1-3}=3^{n+1}-3$ > > > c) $3^{n+1}-9$ > > > d) $3^n-1$ > > > [!example]- Ö2.8 > > En geometrisk talföljd har kvoten $-\frac{1}{2}$. Summan av de fem första termerna är $\frac{33}{8}$. Bestäm det andra talet i talföljden. > > > > > [!success]- Facit > > > $-3\quad[a_1=6]$ > > > [!example]- Ö2.9 Visa med induktion att, för alla heltal $n\geq 1$, > > a) $\sum_{k=2}^{n}k=\frac{(n-1)(n+2)}{2}$ > > b) $\sum_{k=1}^{n}k^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ > > c) $\sum_{k=0}^{n}\frac{1}{(k+1)(k+2)}=\frac{n+1}{n+2}$ > > d) $\sum_{k=1}^{n}(3k^2+3k-2)=n^2(n+3)$ > > e) $\sum_{k=1}^{n}k\cdot 2^{-k}=2-(n+2)\cdot 2^{-n}$ > > f) $\sum_{k=1}^{n}x^k=\frac{x(1-x^n)}{1-x}$ > > g) $\sum_{k=n}^{2n}k=\frac{3}{2}n(n+1)$ > > > > > [!success]- Facit > > > (Induktionsbevis) > > > [!example]- Ö2.10 > > a) Visa att om utsagan $\sum_{k=1}^{n}(2k-1)=n^2+c$ gäller för $n=p$ så gäller den också för $n=p+1$. Är utsagan därmed sann för alla $n\geq 1$? > > b) Bestäm talet $c$ så att utsagan gäller för alla $n\geq 1$. > > > > > [!success]- Facit > > > a) Nej! Utsagan måste också visas vara sann för $n=1$. > > > b) $c=0$ > > > [!example]- Ö2.11 > > Talföljden $(a_n)_1^\infty$ definieras av $a_{n+1}=\sqrt{(1+a_n)/2}$, $a_1=0$. > > a) Visa med induktion att $a_n<1$, $n\geq 1$. > > b) Visa att talföljden är strängt växande. > > c) Beräkna $\lim_{n\to\infty}a_n$. > > > > > [!success]- Facit > > > b) [Visa att: $a_{n+1}-a_n>0$.] > > > c) $\lim_{n\to\infty}a_n=1$ > > > [!example]- Ö2.12 > > Visa med induktion att $\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k^2}<2-\frac{1}{n}$, för alla heltal $n\geq 2$. > > > > > [!success]- Facit > > > (Induktionsbevis) > > > [!example]- Ö2.13 Visa med induktion att, för alla heltal $n\geq 1$, > > a) $n^3-n$ är jämnt delbart med 3 > > b) $4\cdot 6^n-9$ är jämnt delbart med 5 > > > > > [!success]- Facit > > > a) [Sätt: $p^3-p=3k$, $k$ heltal.] > > > b) [Sätt: $4\cdot 6^p-9=5k$, $k$ heltal. $4\cdot 6^{p+1}-9=4\cdot 6\cdot 6^p-9$ osv.] ## Kapitel 3: Bestämda integraler > > [!example]- Ö3.1 Visa med hjälp av insättningsformeln att > > a) $\int_a^a f(x)\,dx=0$ > > b) $\int_a^b 1\,dx=b-a$ > > c) $\int_a^b 0\,dx=0$ > > > > > [!success]- Facit > > > (Bevis) > > > [!example]- Ö3.2 Beräkna, dels genom att använda insättningsformeln, dels genom att tolka integralen som en area följande integraler: > > a) $\int_1^4 2\,dx$ > > b) $\int_1^4 x\,dx$ > > c) $\int_{-1}^2(x+1)\,dx$ > > d) $\int_{-1}^2(5-2x)\,dx$ > > e) $\int_{-1}^2|x|\,dx$ > > > > > [!success]- Facit > > > a) $6$ > > > b) $\frac{15}{2}$ > > > c) $\frac{9}{2}$ > > > d) $12$ > > > e) $\frac{5}{2}$ > > > [!example]- Ö3.3 > > Man vet att $\int_{-1}^0 f(x)\,dx=2$, $\int_0^1 f(x)\,dx=1$, $\int_1^2 f(x)\,dx=3$, $\int_1^3 f(x)\,dx=4$ > > och att $\int_1^3 g(x)\,dx=-5$, $\int_2^3 g(x)\,dx=-3$. Beräkna > > a) $\int_0^{-1}f(x)\,dx$ > > b) $\int_{-1}^3 f(x)\,dx$ > > c) $\int_3^1 f(x)\,dx$ > > d) $\int_1^3 2f(x)\,dx$ > > e) $\int_1^1 f(x)\,dx$ > > f) $\int_1^3[f(x)+g(x)]\,dx$ > > g) $\int_1^3[3f(x)+4g(x)]\,dx$ > > h) $\int_1^3[5f(x)+4g(x)]\,dx$ > > i) $\int_1^3[g(x)-2f(x)]\,dx$ > > j) $\int_3^1[g(x)-2f(x)]\,dx$ > > k) $\int_1^2 g(x)\,dx$ l) $\int_2^3 f(x)\,dx$ > > > > > [!success]- Facit > > > a) $3$ > > > b) $7$ > > > c) $-4$ > > > d) $8$ > > > e) $0$ > > > f) $-1$ > > > g) $-8$ > > > h) $0$ > > > i) $-13$ > > > j) $13$ > > > k) $-2$ l) $1$ > > > [!example]- Ö3.4 Beräkna > > a) $\int_0^2 x\,dx$ > > b) $\int_{-2}^0 x\,dx$ > > c) $\int_{-2}^2 x\,dx$ > > d) $\int_2^0 x\,dx$ > > e) $\int_{-3}^6(2x^2-4x-3)\,dx$ > > f) $\int_0^1\frac{x}{x^2+1}dx$ > > g) $\int_{-1}^1\frac{x^3}{x^4+1}dx$ > > h) $\int_0^{2\pi}|\sin x|\,dx$ > > > > > [!success]- Facit > > > a) $2$ > > > b) $-2$ > > > c) $0$ > > > d) $-2$ > > > e) $81$ > > > f) $\frac{1}{2}\ln 2$ > > > g) $0$ > > > h) $4$ > > > [!example]- Ö3.5 Beräkna > > a) $\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin v\cos v\,dv$ > > b) $\int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos^2 v\,dv$ > > > > > [!success]- Facit > > > a) $\frac{1}{2}$ > > > b) $\frac{\pi}{4}$ > > > [!example]- Ö3.6 Jordens dragningskraft > > Jordens dragningskraft på en kropp som befinner sig på avståndet $x$ från jordens medelpunkt är > > $f(x)=\frac{mgR^2}{x^2}$ > > a) Beräkna det minsta arbete som erfordras för att sända kroppen till höjden $h$ över jordytan. > > b) Beräkna $\lim_{h\to\infty}\int_R^{R+h}f(x)dx$. > > > > > [!success]- Facit > > > a) $\frac{mgRh}{R+h}$ > > > b) $6{,}3\cdot 10^{10}$ J (Joule) $\left[\lim_{h\to\infty}\int_R^{R+h}f(x)\,dx=mgR\right]$ > > > [!example]- Ö3.7 Beräkna med hjälp av partiell integration > > a) $\int_e^{2e}x\ln x^2\,dx$ > > b) $\int_0^1 x\arctan x\,dx$ > > c) $\int_0^1(x+1)e^x\,dx$ > > d) $\int_0^{\frac{\pi}{2}}x^2\sin x\,dx$ > > > > > [!success]- Facit > > > a) $(\frac{3}{2}+4\ln 2)e^2$ > > > b) $\frac{\pi-2}{4}$ > > > c) $e$ > > > d) $\pi-2$ > > > [!example]- Ö3.8 Beräkna följande integraler med hjälp av en lämplig substitution: > > a) $\int_3^4\frac{4x+1}{(2x-4)^3}dx$ > > b) $\int_0^2\frac{y^3}{y^4+9}dy$ > > c) $\int_4^9\frac{\sqrt{x}}{x^2-x\sqrt{x}}dx$ > > d) $\int_0^{\frac{\pi}{4}}\frac{\sin x}{1+\cos^2 x}dx$ > > > > > [!success]- Facit > > > a) $\frac{43}{64}$ > > > b) $\frac{1}{2}\ln\frac{5}{3}$ > > > c) $2\ln\frac{4}{3}$ > > > d) $\frac{\pi}{4}-\arctan\frac{1}{\sqrt{2}}$ > > > [!example]- Ö3.9 > > Visa att $\frac{d}{dx}\int_x^c f(t)\,dt=-f(x)$. > > > > > [!success]- Facit > > > (Bevis) > > > [!example]- Ö3.10 > > Beräkna $\frac{d}{dx}\int_x^c\frac{1}{\sqrt{t}}dt$ med hjälp av resultatet i Ö3.9. > > > > > [!success]- Facit > > > $-\frac{1}{\sqrt{x}}$ > > > [!example]- Ö3.11 > > Beräkna $\frac{d}{dx}\int_x^c\frac{1}{\sqrt{t}}dt$ genom att först beräkna integralen och sedan derivera resultatet. > > > > > [!success]- Facit > > > $-\frac{1}{\sqrt{x}}$ > > > [!example]- Ö3.12 Beräkna > > a) $\frac{d}{dx}\int_0^x e^{-t^2}dt$ > > b) $\frac{d}{dx}\int_1^x\sqrt{t^7+1}\,dt$ > > c) $\frac{d}{dx}\int_x^2\frac{1}{\sqrt{t^5-1}}dt$ > > d) $\frac{d}{dx}\int_0^{x^2}e^{\sqrt{t}}\,dt$ > > e) $\frac{d}{dx}\int_1^{\tan x}\frac{1}{1+t^2}dt$ > > f) $\frac{d}{dx}\int_{2x}^{3x}\sqrt{1+t^2}\,dt$ > > g) $\frac{d}{dx}\int_{\sqrt{x}}^{2\sqrt{x}}e^{-t^2}dt$ > > > > > [!success]- Facit > > > a) $e^{-x^2}$ > > > b) $\sqrt{x^7+1}$ > > > c) $-\frac{1}{\sqrt{x^5-1}}$ > > > d) $2xe^{|x|}$ > > > e) $1$ > > > f) $3\sqrt{1+9x^2}-2\sqrt{1+4x^2}$ > > > g) $\frac{2e^{-4x}-e^{-x}}{2\sqrt{x}}$ ## Kapitel 4: Numerisk integration > > [!example]- Ö4.1 > > a) Beräkna approximationerna $M_2$, $T_2$ och $S_4$ till integralen $\int_0^2 e^{\sqrt{x}}\,dx$. > > b) Visa att $S_4=\frac{1}{3}T_2+\frac{2}{3}M_2$. > > c) Beräkna $\int_0^2 e^{\sqrt{x}}\,dx$ exakt. > > > > > [!success]- Facit > > > a) $M_2=e^{\frac{1}{2}}+e^{\frac{3}{2}}\approx 5{,}43$, $T_2=\frac{1}{2}+e+\frac{1}{2}e^{\sqrt{2}}\approx 5{,}27$ och > > > $S_4=\frac{1}{6}+\frac{2}{3}e^{\frac{1}{2}}+\frac{1}{3}e+\frac{2}{3}e^{\frac{3}{2}}+\frac{1}{6}e^{\sqrt{2}}\approx 5{,}38$ > > > c) $2(\sqrt{2}-1)e^{\sqrt{2}}+2\approx 5{,}41$ [Sätt: $t=\sqrt{x}$] > > > [!example]- Ö4.2 > > Under ett tidsintervall på sex minuter avlästes hastighetsmätaren i en bil varje minut. > > Uppskatta, med Simpsons formel, den sträcka som bilen färdades under sexminutersperioden. > > > > > [!success]- Facit > > > $49/6$ km $\left[s(0{,}1)=\int_0^{0{,}1}v(t)\,dt\approx S_6\right]$ > > > [!example]- Ö4.3 > > $\int_3^4\sqrt{x}\,dx$ skall beräknas approximativt med sex korrekta decimaler. > > a) I hur många delintervall måste integrationsintervallet $[3,4]$ minst indelas? > > b) Genomför beräkningen med det minsta antalet delintervall som krävs. > > > > > [!success]- Facit > > > a) $4$ > > > b) $1{,}869231$ > > > [!example]- Ö4.4 > > $\int_0^1\cos(x^2)\,dx$ skall beräknas approximativt med två korrekta decimaler. > > a) Beräkna $f''(x)$ då $f(x)=\cos(x^2)$. > > b) Visa med hjälp av triangelolikheten att $|f''(x)|\leq 6$ då $0\leq x\leq 1$. > > c) Beräkna, med hjälp av uppskattningen i b, i hur många delintervall integrationsintervallet $[0,1]$ minst måste indelas. > > d) Genomför beräkningen med trapetsformeln. > > > > > [!success]- Facit > > > a) $f''(x)=-2\sin(x^2)-4x^2\cos(x^2)$ > > > b) $[|f''(x)|\leq 2|\sin(x^2)|+4|x|^2|\cos(x^2)|]$ > > > c) $10$ $\left[|\varepsilon_{T_n}|\leq\frac{1}{12n^2}\cdot 6<5\cdot 10^{-2-1}\right]$ > > > d) $T_{10}\approx 0{,}90$ > > > [!example]- Ö4.5 > > Beräkna $\int_2^8\ln x\,dx$ > > a) exakt > > b) approximativt med mittpunktsformeln, trapetsformeln och Simpsons formel då man delar in integrationsintervallet i sex lika stora intervall. > > c) Ange en feluppskattning för de approximativa värdena i b. > > > > > [!success]- Facit > > > a) $22\ln 2-6\approx 9{,}249$ > > > b) $M_6=9{,}265$, $T_6=9{,}218$ och $S_6=9{,}248$ > > > c) Mittpunktsformeln: $9{,}20<I<9{,}27$. Trapetsformeln: $9{,}22<I<9{,}35$. > > > Simpsons formel: $9{,}24<I<9{,}27$. > > > [!example]- Ö4.6 > > Då integralen $\int_0^{\frac{\pi}{4}}1/\cos x\,dx$ beräknades approximativt med trapetsformeln, fann man att $T_{10}\approx 0{,}88209$. > > a) Uppskatta en undre och en övre gräns för integralen. > > b) Kontrollera att exakta värdet ligger mellan de gränser som beräknats. > > > > > [!success]- Facit > > > a) $0{,}88037<I<0{,}88169$ > > > b) $0{,}88037<0{,}88137<0{,}88169$ > > > $\left[f''(x)=\frac{2-\cos^2 x}{\cos^3 x}, f'''(x)=\sin x\frac{6-\cos^2 x}{\cos^4 x}\geq 0, I=\ln(\sqrt{2}+1)\right]$ > > > [!example]- Ö4.7 > > Visa att $S_{2n}=\frac{T_n+2M_n}{3}$. > > > > > [!success]- Facit > > > (Bevis) > > > [!example]- Ö4.8 > > Visa med hjälp av det verkliga felet i approximationen $\int_0^1 x^4\,dx\approx S_2$ att konstanten 180 i formeln för $\varepsilon_{S_{2n}}$ inte kan förbättras. > > > > > [!success]- Facit > > > [Verkliga felet $=\int_0^1 x^4\,dx-S_2=\frac{1}{5}-\frac{5}{24}=-\frac{1}{120}$, $\varepsilon_{S_2}=-\frac{1}{120}$.] > > > [!example]- Ö4.9 > > Satserna 4.1.2, 4.2.2 och 4.3.2 om approximationsfelen ger i vissa fall inte någon övre begränsning för approximationsfelen. > > Visa detta för mittpunktsformeln och trapetsformeln med hjälp av integralen $\int_0^1\sin\sqrt{x}\,dx$. > > > > > [!success]- Facit > > > Funktionen $\sin\sqrt{x}$ har inte begränsad andraderivata på $(0,1)$. > > > $\left[f''(x)=-\frac{\cos\sqrt{x}+\sqrt{x}\sin\sqrt{x}}{4x\sqrt{x}}\to-\infty\text{ då }x\to 0^+\right]$ ## Kapitel 5: Generaliserade integraler > > [!example]- Ö5.1 Beräkna följande generaliserade integraler: > > a) $\int_0^{\infty}e^{-x}dx$ > > b) $\int_0^{\infty}xe^{-x^2}dx$ > > c) $\int_0^{\infty}\frac{1}{2x^2+32}dx$ > > d) $\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{2x^2+32}dx$ > > e) $\int_{-\infty}^{\infty}|x-1|e^{-|x|}dx$ > > f) $\int_2^{\infty}\frac{8}{x^3+4x}dx$ > > g) $\int_2^{\infty}\frac{8x+8}{x^2(x^2+4)}dx$ > > > > > [!success]- Facit > > > a) $1$ > > > b) $\frac{1}{2}$ > > > c) $\frac{\pi}{16}$ > > > d) $\frac{\pi}{8}$ > > > e) $2+\frac{2}{e}$ > > > f) $\ln 2$ > > > g) $1-\frac{\pi}{4}+\ln 2$ > > > [!example]- Ö5.2 > > I exempel 5.10 visades att integralen $\Gamma(p)=\int_0^{\infty}x^{p-1}e^{-x}dx$ är konvergent för $p>0$. > > a) Beräkna $\Gamma(1)$. > > b) Visa att $\Gamma(k+1)=k\Gamma(k)$ då $k$ är ett positivt heltal. > > c) Vad säger resultaten i a och b om $\Gamma(k)$? > > > > > [!success]- Facit > > > a) $1$ > > > b) [Använd partiell integration.] > > > c) $\Gamma(k)=(k-1)!$ > > > [!example]- Ö5.3 Beräkna följande generaliserade integraler, med hjälp av lämpliga substitutioner: > > a) $\int_e^{\infty}\frac{1}{x\ln^2 x}dx$ > > b) $\int_0^{\infty}\frac{1}{e^{2x}+e^x+1}dx$ > > c) $\int_0^{\infty}\frac{1}{e^{3x}+e^x}dx$ > > d) $\int_{16}^{\infty}\frac{8-3x}{x^2\sqrt{x}-4x^2+8x\sqrt{x}}dt$ > > e) $\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}}\frac{6+4\tan v}{\tan^3 v}dv$ > > f) $\int_0^1\sqrt{\frac{1-u}{u}}du$ > > g) $\int_0^{\infty}\frac{e^{-x}}{\sqrt{1-e^{-2x}}}dx$ > > h) $\int_0^2\frac{1}{\sqrt{2x-x^2}}dx$ > > > > > [!success]- Facit > > > a) $1$ [Sätt: $t=\ln x$] > > > b) $-\frac{\pi\sqrt{3}}{18}+\frac{1}{2}\ln 3$ [Sätt: $t=e^x$] > > > c) $1-\frac{\pi}{4}$ > > > d) $\frac{1}{2}-\frac{3\pi}{4}-\frac{1}{2}\ln 2$ [Sätt: $t=\sqrt{x}$] > > > e) $7-\pi-3\ln 2$ [Sätt: $t=\tan x$] > > > f) $\frac{\pi}{2}$ [Sätt: $t=\sqrt{\frac{1-u}{u}}$] > > > g) $\frac{\pi}{2}$ [Sätt: $t=e^{-x}$] > > > h) $\pi$ [Kvadratkomplettera!] > > > [!example]- Ö5.4 > > Beräkna arean av det område som begränsas av kurvan $y=\frac{2x+1}{x^5+x^4}$, den vertikala linjen $x=1$ och positiva x-axeln. > > > > > [!success]- Facit > > > $-\frac{1}{6}+\ln 2$ ae > > > [!example]- Ö5.5 > > Medelhastigheten för molekylerna i en ideal gas ges av formeln. Visa att $v=\sqrt{\frac{8RT}{\pi M}}$. > > > > > [!success]- Facit > > > (Bevis) > > > [!example]- Ö5.6 Avgör om följande integraler är konvergenta: > > a) $\int_0^1\frac{1}{x^9+\sqrt[3]{x}}dx$ > > b) $\int_1^{\infty}\frac{1}{x^9+\sqrt[3]{x}}dx$ > > c) $\int_0^1\cos(x^{-2})dx$ > > d) $\int_1^{\infty}\cos(x^{-2})dx$ > > e) $\int_0^2\frac{1}{x-1}dx$ > > f) $\int_0^2\frac{1}{\sqrt[3]{x-1}}dx$ > > g) $\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\tan x\,dx$ > > h) $\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\frac{1}{\tan x}dx$ > > i) $\int_2^{\infty}\frac{x\sqrt{x}}{x^2-1}dx$ > > j) $\int_0^{\infty}\frac{1}{xe^x}dx$ > > k) $\int_1^{\infty}e^{-x^3}dx$ > > l) $\int_0^{\pi}\frac{1}{1-\cos x}dx$ m) $\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\frac{1}{\sin x}dx$ n) $\int_2^{\infty}\left(\frac{1}{\sqrt{x-\sqrt{x}}}-\frac{1}{\sqrt{x+\sqrt{x}}}\right)dx$ > > o) $\int_0^{\infty}\frac{e^x}{x+1}dx$ p) $\int_0^{\infty}\frac{1}{\sqrt{x}(\sqrt{x}-1)^2}dx$ q) $\int_{\pi}^{\infty}\sin(x^2)dx$ > > > > > [!success]- Facit > > > a) konvergent $[f(x)\leq 1/\sqrt[3]{x}]$ > > > b) konvergent $[f(x)\leq 1/x^9]$ > > > c) konvergent $[0\leq f(x)\leq 1]$ > > > d) divergent $[\lim_{x\to\infty}f(x)=1>0]$ > > > e) divergent [Dela upp i två intervall.] > > > f) konvergent > > > g) divergent > > > h) divergent > > > i) divergent [Jämför med $x^{3/2-2}=x^{-1/2}$.] > > > j) divergent [Använd att $xe^x\leq xe^1$ för $0\leq x\leq 1$.] > > > k) konvergent [Använd att $e^{x^3}\geq e^x$ för $x\geq 1$.] l) divergent [Sätt: $x=2v$ och använd formeln för dubbla vinkeln.] > > > m) divergent [Använd t.ex. att $\sin x\leq x$ för $x\geq 0$.] > > > n) divergent [**1.** Gemensamt bråkstreck **2.** Förläng med täljarens konjugat.] > > > o) divergent $\left[\frac{e^x}{x+1}>\frac{e}{x+1}\text{ då }x>1\right]$ p) divergent [Sätt: $t=\sqrt{x}$ och dela upp i två intervall.] > > > q) konvergent [Sätt: $t=x^2$ och integrera sedan partiellt.] > > > [!example]- Ö5.7 > > Integralen $\int_0^1\frac{1}{\sqrt{x-x^3}}dx$ är ogiltig. Överför integralen till en giltig integral. > > > > > [!success]- Facit > > > $\int_0^{\frac{1}{2}}\frac{2}{\sqrt{(1-t^2)}}\left(\frac{1}{\sqrt{1+t^2}}+\frac{1}{\sqrt{2-t^2}}\right)dx$ > > > [!example]- Ö5.8 Överför genom lämpliga substitutioner följande ogiltiga integraler till giltiga integraler: > > a) $\int_0^1\frac{1}{\sqrt[3]{x(1+x)}}dx$ > > b) $\int_{-1}^1\frac{e^x}{\sqrt{1-x}}dx$ > > c) $\int_{-1}^1\frac{e^x}{\sqrt{1-x^2}}dx$ > > > > > [!success]- Facit > > > a) $\int_0^1\frac{3t}{1+t^3}\,dt$ [Sätt: $t=\sqrt[3]{x}$] > > > b) $\int_0^{\sqrt{2}}2e^{1-t^2}\,dt$ [Sätt: $t=\sqrt{1-x}$] > > > c) $\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}e^{\sin v}\,dv$ [Sätt: $x=\sin v$] > > > [!example]- Ö5.9 > > a) Visa att integralerna $\int_1^{\infty}\frac{x^2}{x^5+x+1}dx$ och $\int_1^{\infty}\frac{1}{x^3+\sqrt{x}+1}dx$ är konvergenta. > > b) För att kunna beräkna integralerna numeriskt, kan man genom lämpliga substitutioner överföra integralerna till giltiga integraler. Genomför detta! > > > > > [!success]- Facit > > > a) [Använd t.ex. att $x^2/(x^5+x+1)\leq 1/x^3$ och att $1/(x^3+\sqrt{x}+1)\leq 1/x^3$ för $x\geq 1$.] > > > b) $\int_1^{\infty}\frac{x^2}{x^5+x+1}dx=\int_0^1\frac{t}{t^5+t^4+1}\,dt$ [Sätt: $t=1/x$] > > > $\int_1^{\infty}\frac{1}{x^3+\sqrt{x}+1}dx=\int_0^1\frac{2t^3}{t^6+t^5+1}\,dt$ [Sätt: $t=1/\sqrt{x}$] > > > [!example]- Ö5.10 > > För vilka värden på konstanten $k$ är integralen $\int_0^{\infty}\frac{e^{kx}+1}{e^{kx}+x^2}dx$ konvergent? > > > > > [!success]- Facit > > > $k<0$: konvergent [dela upp i två intervall], $k=0$: konvergent och > > > $k>0$: divergent [integranden går inte mot 0 då $x\to\infty$]. Kapitel 6: Tillämpningar av integraler > > [!example]- Ö6.1 > > Beräkna arean av det område som begränsas av kurvan $y=\tan x$, positiva x-axeln och de vertikala linjerna $x=\frac{\pi}{4}$ och $x=\frac{\pi}{3}$. > > > > > [!success]- Facit > > > $\frac{1}{2}\ln 2$ ae > > > [!example]- Ö6.2 > > Man vet att $A_1=10$, $A_2=2$ och $A_3=3$. Beräkna $\int_1^8 f(x)\,dx$. > > > > > [!success]- Facit > > > $-11$ > > > [!example]- Ö6.3 > > Ett ändligt område i första kvadranten begränsas av kurvorna $y=x$ och $y=2$ samt y-axeln. > > a) Beräkna, med integralräkning, arean av detta område. > > b) Bestäm talet $c$ så att linjen $x=c$ delar området i två delområden med lika stora areor. > > > > > [!success]- Facit > > > a) $2$ ae > > > b) $c=2-\sqrt{2}$ > > > [!example]- Ö6.4 > > Visa att $f(v)=2-\sin^2 v$ är en jämn funktion. > > > > > [!success]- Facit > > > $[f(-v)=2-\sin^2(-v)=2-(-\sin v)^2=2-\sin^2 v=f(v)]$ > > > [!example]- Ö6.5 > > Beräkna, med hjälp av egenskaperna hos jämna och udda funktioner, > > $\int_{-1}^1(a+bx+cx^2+dx^3+px^4+qx^5)dx$ > > > > > [!success]- Facit > > > $2a+\frac{2}{3}c+\frac{2}{5}p$ > > > [!example]- Ö6.6 Beräkna, med hjälp av egenskaperna hos jämna och udda funktioner, > > a) $\int_{-1}^1\frac{1-10z^{107}}{z^2+1}dz$ > > b) $\int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}}\frac{v^{12}\tan^{11}v}{1+\sin^4 v}dv$ > > c) $\int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}}\frac{\cos^3 x+\sin^3 x}{\cos^5 x}dx$ > > > > > [!success]- Facit > > > a) $\frac{\pi}{2}$ > > > b) $0$ > > > c) $2$ > > > [!example]- Ö6.7 > > Undersök om funktionen $f(x)=\ln\frac{1+x}{1-x}$ är udda eller jämn. > > > > > [!success]- Facit > > > Udda! $\left[f(-x)=\ln\frac{1-x}{1+x}=\ln\left(\frac{1+x}{1-x}\right)^{-1}=-\ln\frac{1+x}{1-x}=-f(x)\right]$ > > > [!example]- Ö6.8 > > Beräkna arean av det ändliga område som begränsas av parabeln $y=x^2-1$ och > > a) x-axeln > > b) parabeln $y=2x^2-5$ > > > > > > > [!success]- Facit > > > a) $\frac{4}{3}$ ae > > > b) $\frac{32}{3}$ ae > > > ![[Pasted image 20260111104347.png]] > > > [!example]- Ö6.9 > > Beräkna arean av de ändliga områden som begränsas av parabeln $y=x^2$ och kurvorna > > a) $y=4$ > > b) $y=|x|$ > > c) $y=2x+3$ > > d) $y=2x+3$, $x=-3$ och $x=6$ > > > > > [!success]- Facit > > > a) $\frac{32}{3}$ ae > > > b) $\frac{1}{3}$ ae > > > c) $\frac{32}{3}$ ae > > > d) $\frac{145}{3}=48\frac{1}{3}$ ae > > > [!example]- Ö6.10 Beräkna arean av området mellan x-axeln och kurvan > > a) $\begin{cases}x=t^5+t^3\\y=t^2\end{cases}$, $t\in[0,1]$ > > b) $\begin{cases}x=at-a\sin t\\y=a-a\cos t\end{cases}$, $t\in[0,2\pi]$ > > > > > [!success]- Facit > > > a) $\frac{46}{35}$ ae > > > b) $3\pi a^2$ ae > > > [!example]- Ö6.11 Beräkna arean av det område som omsluts av kurvan > > a) $\begin{cases}x=3t^3-3t\\y=2t^2-1\end{cases}$, $t\in[-1,1]$ > > b) $\begin{cases}x=\sin t\\y=\sin 2t\end{cases}$, $t\in[0,\pi]$ > > > > > [!success]- Facit > > > a) $\frac{16}{5}$ ae > > > b) $\frac{4}{3}$ ae > > > [!example]- Ö6.12 > > Ett område med arean $A$ begränsas av kurvan $y=x^3$, positiva x-axeln och linjen $x=a$, $a>0$. Då området roterar kring x-axeln bildas en rotationskropp med volymen $V_x$. Bestäm talet $a$ så att $V_x=2A$. > > > > > [!success]- Facit > > > $a=\sqrt[3]{\frac{7}{2\pi}}$ > > > [!example]- Ö6.13 > > Bevisa med integralräkning att en rät cirkulär kon har volymen $V=\frac{1}{3}\pi R^2 h$. > > > > > [!success]- Facit > > > (Bevis) > > > [!example]- Ö6.14 > > Bestäm $A(z)$ och $V(z)$. Existerar gränsvärdena $\lim_{z\to\infty}A(z)$ och $\lim_{z\to\infty}V(z)$? > > > > > [!success]- Facit > > > $A(z)=\ln z$ ae, $V(z)=\pi(1-\frac{1}{z})$ ve > > > $\lim_{z\to\infty}A(z)$ existerar ej, $\lim_{z\to\infty}V(z)=\pi$ > > > [!example]- Ö6.15 > > a) Lös ut $y$ ur ekvationen för ellipsen. > > b) Beräkna rotationsellipsoidens volym. > > c) Beräkna arean av det ändliga område som begränsas av kurvan och x-axeln. > > > > > [!success]- Facit > > > a) $y=\pm\frac{b}{a}\sqrt{a^2-x^2}$ > > > b) $\frac{4\pi}{3}ab^2$ ve > > > c) $\frac{\pi}{2}ab$ ae > > > [!example]- Ö6.16 > > Beräkna volymerna av de kroppar som alstras då området roterar kring > > a) x-axeln > > b) y-axeln > > > > > [!success]- Facit > > > $V_x=\frac{\pi}{6}$ ve, $V_y=4\pi(\frac{1}{2}+\ln\frac{2}{3})$ ve > > > [!example]- Ö6.17 > > Beräkna volymerna av de kroppar som genereras då området roterar kring > > a) x-axeln > > b) y-axeln > > > > > [!success]- Facit > > > a) $V_x=\frac{1}{2}\pi^2$ ve > > > b) $V_y=2\pi^2$ ve > > > [!example]- Ö6.18 Beräkna längden av kurvorna > > a) $y=\frac{x^3}{6}+\frac{1}{2x}$, $1\leq x\leq 2$ > > b) $\begin{cases}x=e^{-t}\cos(\omega t)\\y=e^{-t}\sin(\omega t)\end{cases}$, $0\leq t\leq t_{\max}$ > > > > > [!success]- Facit > > > a) $\frac{17}{12}$ le > > > b) $\sqrt{\omega^2+1}(1-e^{-t_{\max}})$ le $\left[\lim_{t_{\max}\to\infty}\ell=\sqrt{\omega^2+1}\right]$ > > > [!example]- Ö6.19 > > Beräkna längden av kurvorna och arean av de rotationsytor som genereras då kurvorna roterar kring x-axeln. > > a) $y=\cosh x$, $0\leq x\leq\ln 2$ > > b) $\begin{cases}x=e^t\cos t\\y=e^t\sin t\end{cases}$, $0\leq t\leq\frac{\pi}{2}$ > > > > > [!success]- Facit > > > a) $\ell=\frac{3}{4}$ le, $A_x=\pi(\frac{15}{16}+\ln 2)$ ae > > > b) $\ell=\sqrt{2}(e^{\frac{\pi}{2}}-1)$ le, $A_x=\frac{2\pi\sqrt{2}}{5}(2e^{\pi}+1)$ ae > > > [!example]- Ö6.20 Var ligger masscentrum för en homogen skiva belägen i området > > a) $D=\{(x,y):0\leq x\leq\pi; 0\leq y\leq\sin x\}$ > > b) $E=\{(x,y):0\leq x\leq b; 0\leq y\leq e^{-x}\}$ Vad händer då $b$ blir stort? > > c) $F=\{(x,y):0\leq x\leq\ln 2; e^{-2x}\leq y\leq e^{-x}\}$? > > > > > [!success]- Facit > > > a) $\bar{x}=\frac{1}{2}\pi$, $\bar{y}=\frac{1}{8}\pi$ > > > b) $\bar{x}=\frac{1-(b+1)e^{-b}}{1-e^{-b}}$, $\bar{y}=\frac{1-e^{-2b}}{4(1-e^{-b})}$ [För stora $b$ gäller att: $\bar{x}\approx 1$; $\bar{y}\approx\frac{1}{4}$.] > > > c) $\bar{x}=\frac{5}{2}-3\ln 2$, $\bar{y}=\frac{9}{16}$ > > > [!example]- Ö6.21 > > En homogen skiva har formen av ett parallelltrapets med hörn i punkterna $(0;0)$, $(3;0)$, $(2;2)$, $(0;2)$. Var ligger skivans masscentrum? > > > > > [!success]- Facit > > > $\bar{x}=\frac{19}{15}$, $\bar{y}=\frac{14}{15}$ > > > [!example]- Ö6.22 > > En homogen skiva begränsas av kurvorna $y=x\sqrt{x}$ och $y=x$. > > Bestäm tröghetsmoment med avseende på > > a) y-axeln > > b) x-axeln > > > > > [!success]- Facit > > > a) $J_y=\frac{1}{36}$ > > > b) $J_x=\frac{1}{44}$ > > > [!example]- Ö6.23 > > Bestäm tröghetsmoment med avseende på > > a) y-axeln > > b) x-axeln > > c) axeln $x=3$ > > för en homogen skiva som har massan $M$ och är belägen i området > > $D=\{(x,y):-3\leq x\leq 3; 0\leq y\leq 9-x^2\}$. > > > > > [!success]- Facit > > > a) $J_y=\frac{9M}{5}$ > > > b) $J_x=\frac{648M}{35}$ > > > c) $J_{x=3}=\frac{54M}{5}$ > > > [!example]- Ö6.24 > > a) Verifiera att $f$ är en frekvensfunktion. > > b) Bestäm fördelningsfunktionen $F(x)$ för Weibullfördelningen. > > > > > [!success]- Facit > > > a) [Sätt $t=(\lambda x)^\beta$ i integralen $\int\beta\lambda(\lambda x)^{\beta-1}e^{-(\lambda x)^\beta}\,dx$.] > > > b) $F(x)=\begin{cases}1-e^{-(\lambda x)^\beta} & \text{då } x\geq 0\\0 & \text{då } x<0\end{cases}$ [Sätt: $u=(\lambda t)^\beta$ i $\int\beta\lambda(\lambda t)^{\beta-1}e^{-(\lambda t)^\beta}\,dt$] > > > [!example]- Ö6.25 > > Hur stor är sannolikheten för att ett lager skall ha en livslängd på minst 3 år? > > > > > [!success]- Facit > > > $P(\xi\geq 3)\approx 0{,}05\quad[P(\xi\geq 3)=1-P(\xi<3)=1-F(3)=e^{-\frac{3^2}{3}}=e^{-3}]$ ## Kapitel 7: Komplexa tal > > [!example]- Ö7.1 > > Antag att $z_1=-4+i3$ och $z_2=1-i$. Beräkna > > a) $z_1+z_2$ > > b) $z_1-z_2$ > > c) $z_1\cdot z_2$ > > d) $\frac{z_1}{z_2}$ > > e) $z_1\cdot\bar{z}_1$ > > f) $\text{Re}\,z_1$ > > g) $\text{Im}\,z_1$ > > h) $\text{Im}\,z_2$ > > i) $i^4 z_2$ > > j) $(z_2)^3$ > > k) $\text{Re}\left(\frac{1}{z_1}+\frac{1}{z_2}\right)$ > > > > > [!success]- Facit > > > a) $-3+i2$ > > > b) $-5+i4$ > > > c) $-1+i7$ > > > d) $-\frac{7}{2}-i\frac{1}{2}$ > > > e) $25$ > > > f) $-4$ > > > g) $3$ > > > h) $-1$ > > > i) $1-i$ > > > j) $-2-i2$ > > > k) $\frac{17}{50}$ > > > [!example]- Ö7.2 Beräkna > > a) $(2-i)(1+i4)(-1+i2)$ > > b) $\frac{(2-i)(1+i4)}{-1+i2}$ > > c) $(1+i)^3$ > > d) $(1+i)^4$ > > > > > [!success]- Facit > > > a) $-20+i5$ > > > b) $\frac{8}{5}-i\frac{19}{5}$ > > > c) $-2+i2$ > > > d) $-4$ > > > [!example]- Ö7.3 Beräkna > > a) $\text{Im}\frac{1}{x+iy}$ > > b) $\text{Re}\frac{x-iy}{x+iy}$ > > c) $\text{Im}\frac{x-iy}{x+iy}$ > > > > > [!success]- Facit > > > a) $-\frac{y}{x^2+y^2}$ > > > b) $\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}$ > > > c) $-\frac{2xy}{x^2+y^2}$ > > > [!example]- Ö7.4 Visa att > > a) $\frac{z+\bar{z}}{2}=\text{Re}\,z$ > > b) $\frac{z-\bar{z}}{2i}=\text{Im}\,z$ > > > > > [!success]- Facit > > > (Bevis) > > > [!example]- Ö7.5 > > Låt $z=\frac{4-ir}{r-i}$ där $r$ är ett reellt tal. > > a) Bestäm $r$ så att $z$ blir reellt och ange värdet på $z$ för detta $r$-värde. > > b) Bestäm $r$ så att $\text{Im}\,z=3$ och ange värdet på $z$ för detta $r$-värde. > > > > > [!success]- Facit > > > a) $r=\pm 2$, $z=\pm 2$ > > > b) $r=\pm\frac{1}{2}$, $z=\pm 2+i3$ > > > [!example]- Ö7.6 Lös de komplexa förstagradsekvationerna > > a) $5+i-z=1-i2\bar{z}$ > > b) $z+2-i=(3-i4)\bar{z}$ > > > > > [!success]- Facit > > > a) $z=-2-i3$ > > > b) $z=\frac{1}{2}-i\frac{1}{4}$ [Sätt $z=x+iy$.] > > > [!example]- Ö7.7 Lös de komplexa andragradsekvationerna > > a) $z^2+1=0$ > > b) $z^2+2z+2=0$ > > c) $z^2+i=0$ > > d) $z^2+4z+1+i4=0$ > > e) $iz^2+(1+i)z-7+i4=0$ > > > > > [!success]- Facit > > > a) $z_{1,2}=\pm i$ > > > b) $z_{1,2}=-1\pm i$ > > > c) $z_1=\frac{1}{\sqrt{2}}-i\frac{1}{\sqrt{2}}$, $z_2=-\frac{1}{\sqrt{2}}+i\frac{1}{\sqrt{2}}$ > > > d) $z_1=-i$, $z_2=-4+i$ > > > e) $z_1=1-i2$, $z_2=-2+i3$ > > > [!example]- Ö7.8 > > Bestäm de komplexa talen $w_1$ och $w_2$ så att ekvationen $z^2+w_1 z+w_2=0$ får rötterna $1+i2$ och $2-i3$. > > > > > [!success]- Facit > > > $w_1=-3+i$, $w_2=8+i$ $[(z-z_1)(z-z_2)=z^2-(z_1+z_2)z-z_1 z_2]$ > > > [!example]- Ö7.9 Lös följande komplexa högregradsekvationer: > > a) $z^3-z^2+3z+5=0$ [Ekvationen har en heltalsrot.] > > b) $z^4-2z^3+3z^2-8z-4=0$ [Ekvationen har en rent imaginär rot.] > > c) $z^4-6z^3+18z^2-30z+25=0$ [Ekvationen har en rot med realdelen 1.] > > > > > [!success]- Facit > > > a) $z_1=-1$, $z_{2,3}=1\pm i2$ [Möjliga heltalsrötter: $\pm 1, \pm 5$] > > > b) $z_{1,2}=\pm i2$, $z_{3,4}=1\pm\sqrt{2}$ > > > c) $z_{1,2}=1\pm i2$, $z_{3,4}=2\pm i$ > > > [!example]- Ö7.10 Uppdela i komplexa och reella faktorer > > a) $z^3-z^2+3z+5$ > > b) $z^4-2z^3+3z^2-8z-4$ > > c) $z^4-6z^3+18z^2-30z+25$ > > > > > [!success]- Facit > > > a) $(z+1)(z-1-i2)(z-1+i2)$, $(z+1)(z^2-2z+5)$ > > > b) $(z-i2)(z+i2)(z-1-\sqrt{2})(z-1+\sqrt{2})$, $(z^2+4)(z-1-\sqrt{2})(z-1+\sqrt{2})$ > > > c) $(z-1-i2)(z-1+i2)(z-2-i)(z-2+i)$, $(z^2-2z+5)(z^2-4z+5)$ > > > [!example]- Ö7.11 > > Ekvationen $z^4+az^3+35z^2-46z+b=0$ har roten $3+i$. > > Bestäm de reella konstanterna $a$ och $b$ och lös ekvationen. > > > > > [!success]- Facit > > > $z_{1,2}=3\pm i$, $z_{3,4}=2\pm\sqrt{3}$, $a=-10$, $b=10$ > > > [!example]- Ö7.12 > > Ekvationen $z^4-4z^3-z^2+24z-30=0$ har en rot med imaginärdelen 1. Lös ekvationen. > > > > > [!success]- Facit > > > $z_{1,2}=2\pm i$, $z_{3,4}=\pm\sqrt{6}$ > > > [!example]- Ö7.13 > > Bestäm konstanten $k$ så att ekvationen $z^3+3z^2-z+k=0$ får roten 1 och lös sedan ekvationen för detta värde på $k$. > > > > > [!success]- Facit > > > $k=-3$, $z_1=1$, $z_2=-1$, $z_3=-3$ > > > [!example]- Ö7.14 > > Lös ekvationen $1+\sqrt{3}+2x-2x^3=x$. > > > > > [!success]- Facit > > > $x=\sqrt{2}$ $[x-1=\sqrt{3+2x-2x^3}\geq 0\Rightarrow x\geq 1]$ > > > [!example]- Ö7.15 > > Lös ekvationen $\frac{z^2+1}{z+1}=\frac{z^2+4z-2}{z^2+2}$. > > > > > [!success]- Facit > > > $z_1=1$, $z_2=2$, $z_{3,4}=-1\pm i$ > > > [!example]- Ö7.16 > > Polynomet $2z^5+5z^4+14z^3+10z^2+12z+5$ har det komplexa nollstället $-1+i2$. > > a) Ange de komplexa rötterna till ekvationen. > > b) Uppdela polynomet i reella faktorer. > > > > > [!success]- Facit > > > a) $z_1=-\frac{1}{2}$, $z_{2,3}=\pm i$, $z_{4,5}=-1\pm i2$ > > > b) $(2z+1)(z^2+1)(z^2+2z+5)$ > > > [!example]- Ö7.17 > > Låt $z_1=3-i2$ och $z_2=-2+i$ vara givna. Beräkna > > a) $|z_2|$ > > b) $|z_1|^2$ > > c) $|z_1\cdot z_2|$ > > d) $|z_1|\cdot|z_2|$ > > e) $\left|\frac{z_2}{z_1}\right|$ > > f) $\frac{|z_2|}{|z_1|}$ > > > > > [!success]- Facit > > > a) $\sqrt{5}$ > > > b) $13$ > > > c) $\sqrt{65}$ > > > d) $\sqrt{65}$ > > > e) $\sqrt{\frac{5}{13}}$ > > > f) $\sqrt{\frac{5}{13}}$ > > > [!example]- Ö7.18 > > Visa att $\text{Re}\left(\frac{1}{z}\right)=\frac{1}{4}\Rightarrow|z-2|=2$. > > > > > [!success]- Facit > > > $\left[\text{Re}\left(\frac{1}{z}\right)=\frac{1}{4}\text{ ger att }x^2+y^2=4x.\right]$ > > > [!example]- Ö7.19 Skriv följande komplexa tal på polär form: > > a) $i2$ > > b) $-3$ > > c) $-i4$ > > d) $1+i$ > > e) $-1+i$ > > f) $-1-i$ > > g) $-1+i\sqrt{3}$ > > h) $\frac{-1+i\sqrt{3}}{2}$ > > i) $2+i3$ > > > > > [!success]- Facit > > > a) $2e^{i\frac{\pi}{2}}$ > > > b) $3e^{i\pi}$ > > > c) $4e^{-i\frac{\pi}{2}}$ > > > d) $\sqrt{2}e^{i\frac{\pi}{4}}$ > > > e) $\sqrt{2}e^{i\frac{3\pi}{4}}$ > > > f) $\sqrt{2}e^{i\frac{5\pi}{4}}$ > > > g) $2e^{i\frac{2\pi}{3}}$ > > > h) $e^{i\frac{2\pi}{3}}$ > > > i) $\sqrt{13}e^{i\arctan\frac{3}{2}}$ > > > [!example]- Ö7.20 > > Lös ekvationen $e^{i\frac{\pi}{4}}z=e^{i\frac{\pi}{3}}-e^{i\frac{3\pi}{4}}z$. > > > > > [!success]- Facit > > > $z=\frac{\sqrt{6}}{4}-i\frac{\sqrt{2}}{4}$ $\left[z=\frac{e^{\frac{i\pi}{3}}}{e^{\frac{i\pi}{4}}+e^{\frac{i3\pi}{4}}}\right]$ > > > [!example]- Ö7.21 > > Förenkla uttrycket $\left(e^{i\frac{7\pi}{20}}\right)^{100}\left(e^{i\frac{11\pi}{30}}\right)^{-60}$. > > > > > [!success]- Facit > > > $-1$ > > > [!example]- Ö7.22 Skriv på formen $x+iy$ > > a) $e^{i\pi}$ > > b) $2e^{-i\frac{\pi}{4}}$ > > c) $\sqrt{3}e^{-i\frac{\pi}{3}}$ > > d) $4e^{-i\frac{25\pi}{6}}$ > > > > > [!success]- Facit > > > a) $-1$ > > > b) $\sqrt{2}-i\sqrt{2}$ > > > c) $\frac{\sqrt{3}}{2}-i\frac{3}{2}$ > > > d) $2\sqrt{3}-i2$ > > > [!example]- Ö7.23 Beräkna > > a) $\frac{(1+i)^6(1-i\sqrt{3})^8}{(i-\sqrt{3})^{10}}$ > > b) $\frac{(-3+i\sqrt{27})^{87}}{(3+i3)^{86}(i2)^{42}}$ > > > > > [!success]- Facit > > > a) $i2$ > > > b) $-i12$ > > > [!example]- Ö7.24 Uttryck med hjälp av Moivres formel > > a) $\cos 4\theta$ som ett polynom i $\cos\theta$ > > b) $\tan 4\theta$ i $\tan\theta$ > > > > > [!success]- Facit > > > a) $\cos 4\theta=8\cos^4\theta-8\cos^2\theta+1$ > > > b) $\tan 4\theta=\frac{4\tan\theta-4\tan^3\theta}{1-6\tan^2\theta+\tan^4\theta}$ > > > [!example]- Ö7.25 Visa, med hjälp av Eulers formler, att > > a) $\cos^2 v=\frac{\cos 2v+1}{2}$ > > b) $\sin^5 v=\frac{\sin 5v}{16}-\frac{5\sin 3v}{16}+\frac{5\sin v}{8}$ > > > > > [!success]- Facit > > > (Bevis) > > > [!example]- Ö7.26 Lös följande ekvationer: > > a) $3z^2+i12=0$ > > b) $z^6=-\sqrt{3}+i3$ > > c) $z^4=-8+i8\sqrt{3}$ > > > > > [!success]- Facit > > > a) $\begin{cases}z_0=-\sqrt{2}+i\sqrt{2}\\z_1=\sqrt{2}-i\sqrt{2}\end{cases}$ > > > b) $z_k=\sqrt[12]{12}e^{i\frac{3k+1}{9}\pi}$, $k=0,1,2,3,4,5$ > > > c) $z_0=\sqrt{3}+i$, $z_1=-1+i\sqrt{3}$, $z_2=-\sqrt{3}-i$, $z_3=1-i\sqrt{3}$ > > > [!example]- Ö7.27 > > Lös ekvationen $z^3-1=0$, dels genom att gå över till polär form och dels genom att utnyttja att ekvationen har en heltalsrot. > > > > > [!success]- Facit > > > $z_0=1$, $z_{1,2}=-\frac{1}{2}\pm i\frac{\sqrt{3}}{2}$ > > > [!example]- Ö7.28 > > Lös ekvationen $z^6+(8-i)z^3-i8=0$. > > > > > [!success]- Facit > > > $z_0=-2$, $z_{1,2}=1\pm i\sqrt{3}$, $z_{3,4}=\pm\frac{\sqrt{3}}{2}+i\frac{1}{2}$, $z_5=-i$ [Sätt: $z^3=w$] > > > [!example]- Ö7.29 > > Antag att polynomet $P(z)$ har en nollställe $r$ med multiplicitet $k$. > > a) Visa att om $k>1$, har även derivatan $P'(z)$ nollstället $r$ men med multiplicitet $k-1$. > > b) Visa att om $k=1$, är $r$ inte ett nollställe till derivatan $P'(z)$. > > c) Ekvationen $x^3-5x^2+8x-4=0$ har en dubbelrot. Lös ekvationen! > > d) Bestäm polynomets nollställen om $z^3-(1-4i)z^2-(5+2i)z+1-2i$ har ett nollställe av multiplicitet 2. > > > > > [!success]- Facit > > > a) [Sätt: $P(z)=(z-r)^k Q(z)$, där $Q(r)\neq 0$.] > > > b) [Sätt: $P(z)=(z-r)Q(z)$, där $Q(r)\neq 0$.] > > > c) $x_{1,2}=2$, $x_3=1$ > > > d) $z_{1,2}=-i$, $z_3=1-2i$ > > > [!example]- Ö7.30 Beräkna logaritmen av > > a) $-e$ > > b) $-i$ > > c) $3$ > > d) $-2-2i$ > > e) $3+4i$ > > > > > [!success]- Facit > > > a) $1+i(2n+1)\pi$ > > > b) $i(4n-1)\frac{\pi}{2}$ > > > c) $\ln 3+i2n\pi$ > > > d) $\frac{3}{2}\ln 2+i(8n+5)\frac{\pi}{4}$ > > > e) $\ln 5+i(\arctan\frac{4}{3}+2n\pi)$ > > > [!example]- Ö7.31 Lös ekvationerna > > a) $e^z=1$ > > b) $e^z=0$ > > c) $e^z=-1$ > > d) $e^z=3+4i$ > > > > > [!success]- Facit > > > a) $z=\log 1=i2n\pi$ > > > b) Saknar lösning! > > > c) $z=\log(-1)=i(2n+1)\pi$ > > > d) $\ln 5+i((2n+1)\pi-\arctan\frac{4}{3})$ > > > [!example]- Ö7.32 Beräkna alla värden av följande potenser: > > a) $2^i$ > > b) $1^i$ > > c) $i^i$ > > d) $(-1)^{\frac{1}{2}}$ > > e) $i^{\frac{1}{i}}$ > > f) $4^{\frac{1}{i}}$ > > g) $3^{1+i}$ > > > > > [!success]- Facit > > > a) $4$ > > > b) $e^{-2n\pi}$ > > > c) $e^{-\frac{\pi}{2}-2n\pi}$ > > > d) $\pm i$ > > > e) $\pm\frac{1}{\sqrt{2}}(1+i)$ > > > f) $\pm\sqrt{2}\pm i\sqrt{2}$ > > > g) $3[\cos(\ln 3)+i\sin(\ln 3)]e^{-2n\pi}$ > > > [!example]- Ö7.33 > > a) Beräkna $\sin(3i)$. > > b) Beräkna $\cos(\frac{\pi}{2}+i)$. > > c) Lös ekvationen $\cos z=2$. > > > > > [!success]- Facit > > > a) $i\frac{e^3-e^{-3}}{2}=i\sinh 3$ > > > b) $-i\frac{e^1-e^{-1}}{2}=-i\sinh 1$ > > > c) $z=n2\pi-i\ln(2\pm\sqrt{3})=n2\pi\mp i\ln(2+\sqrt{3})$ > > > [!example]- Ö7.34 > > a) Uppdela $1/(x^2+2x+5)$ i komplexa partialbråk. > > b) Använd resultatet i a till att beräkna $\int 1/(x^2+2x+5)\,dx$. > > > > > [!success]- Facit > > > a) $\frac{1}{x^2+2x+5}=\frac{i}{4}\cdot\frac{1}{x+1+2i}-\frac{i}{4}\cdot\frac{1}{x+1-2i}$ > > > b) $\frac{1}{2}\arctan\frac{x+1}{2}+C$ $\left[\arctan\frac{x+1}{2}=\pm\frac{\pi}{2}-\arctan\frac{x+1}{2}\right]$ > > > [!example]- Ö7.35 Ange värdemängden i det komplexa talplanet till funktionen $f(x)=$ > > a) $(1+i)x+2-i$ > > b) $x+i(x^2+1)$ > > c) $\frac{x}{x+i}$ > > > > > [!success]- Facit > > > a) linjen $v=u-3$ > > > b) parabeln $v=u^2+1$ > > > c) cirkeln $(u-\frac{1}{2})^2+v^2=(\frac{1}{2})^2$ utom $(u,v)=(1,0)$ > > > [!example]- Ö7.36 > > Bestäm för avbildningen $w=iz^2$ bilden i w-planet av följande kurvor i z-planet: > > a) $x=1$ > > b) $x=0$ (y-axeln) > > c) $y=0$ (x-axeln) > > d) $y=x+2$ > > e) $\arg z=\frac{\pi}{4}$ > > f) $|z|=1$, $-\frac{3\pi}{4}<\arg z\leq\frac{\pi}{4}$ > > > > > [!success]- Facit > > > a) parabeln $v=1-\frac{1}{4}u^2$ > > > b) negativa imaginäraxeln > > > c) positiva imaginäraxeln > > > d) parabeln $u=2-\frac{1}{8}v^2$ > > > e) negativa realaxeln $[y=x]$ > > > f) $|w|=1$, $-\pi<\arg w\leq\pi$ $[|w|=|z|^2, \arg w=\frac{\pi}{2}+2\arg z]$ > > > [!example]- Ö7.37 > > Bestäm den bild i w-planet, som funktionen $w=f(z)$ ger av cirkeln $|z|=1$ i det komplexa planet, då > > a) $f(z)=\frac{z}{z+1}$ > > b) $f(z)=(1-i)\frac{z-1}{z+1}$ > > > > > [!success]- Facit > > > a) Linjen $v=u$ > > > b) Linjen $v=u$ ## Kapitel 8: Differentialekvationer > > [!example]- Ö8.1 Lös differentialekvationerna > > a) $\frac{1}{y}y'=1$ > > b) $\frac{1}{y^2}y'=x$ > > c) $y'=\frac{x^2}{y^2}$ > > d) $y'=\sqrt{\frac{x}{y}}$ > > e) $y'=\sqrt{xy}$ > > > > > [!success]- Facit > > > a) $y=Ce^x$ > > > b) $y=0$ > > > c) $y=\sqrt[3]{x^3+C}$ > > > d) $y=\left(x^{3/2}+C\right)^{2/3}$ > > > e) $y=(\frac{1}{3}x\sqrt{x}+C)^2$, $y=0$ > > > [!example]- Ö8.2 Lös följande differentialekvationer: > > a) $y'=\frac{x}{y}$, $y(0)=-2$ > > b) $y'=xy$, $y(0)=2$ > > c) $y'=y^2$, $y(1)=1$ > > d) $y'=(y^2-1)x$, $y(0)=0$ > > e) $y'=(y^2-1)x$, $y(0)=-1$ > > > > > [!success]- Facit > > > a) $y=-\sqrt{x^2+4}$ > > > b) $y=2e^{\frac{x^2}{2}}$ > > > c) $y=\frac{1}{2-x}$ > > > d) $y=\frac{1-e^{x^2}}{1+e^{x^2}}$ > > > e) $y=-1$ > > > [!example]- Ö8.3 > > Man vet att $2yy'=(y^2+1)\cos x$ och att $y(0)=2$. Beräkna $y(\frac{\pi}{2})$. > > > > > [!success]- Facit > > > $y(\frac{\pi}{2})=\sqrt{5e-1}$ > > > [!example]- Ö8.4 Lös differentialekvationerna > > a) $2(x-1)y'=y+2$, $y(2)=1$ > > b) $(x^2-x)y'=(x-3)(y^2+y)$ > > > > > [!success]- Facit > > > a) $y=3\sqrt{x-1}-2$ > > > b) $y=\frac{Cx^3}{x^2-2x+1-Cx^3}$ samt $y=-1$ > > > [!example]- Ö8.5 > > Lös differentialekvationen $y'-y^2=1$ där $y(0)=0$. > > > > > [!success]- Facit > > > $y=\tan x$ > > > [!example]- Ö8.6 > > Lös differentialekvationen $x^2 y\cdot y'=y^2-4$, $x>0$ med > > a) $y(1)=1$ > > b) $y(1)=2$ > > c) $\lim_{x\to\infty}y(x)=3$ > > > > > [!success]- Facit > > > a) $y=\sqrt{4-3e^{\frac{2}{x}}}$ > > > b) $y=2$ > > > c) $y=\sqrt{4+5e^{-\frac{2}{x}}}$ > > > [!example]- Ö8.7 > > a) Bestäm värdet på konstanten $k$. > > b) På vilket djup är intensiteten hälften av intensiteten vid vattenytan? > > > > > [!success]- Facit > > > a) $k=-\frac{1}{2}\ln 0{,}0625=\ln 4$ > > > b) $0{,}5$ m > > > [!example]- Ö8.8 > > Efter hur många minuter är kärlet tomt? > > > > > [!success]- Facit > > > $50$ min $[h(t)=(At+B)^2$ där $B=-50A]$ > > > [!example]- Ö8.9 > > Bestäm kurvans ekvation. > > > > > [!success]- Facit > > > $y=\sqrt{3(x^2-1)}$ > > > [!example]- Ö8.10 > > Beräkna > > a) $[Z]=z(t)$ > > b) $\lim_{t\to\infty}z(t)$ > > > > > [!success]- Facit > > > a) $[Z]=z(t)=ab\frac{1-e^{k(a-b)t}}{b-ae^{k(a-b)t}}$ > > > b) $\lim_{t\to\infty}z(t)=b$ > > > [!example]- Ö8.11 > > a) Bestäm kulans hastighet $v$ som funktion av sträckan $x$. > > b) Vilken höjd över gevärsmynningen når kulan som högst? > > c) Efter hur lång tid når kulan som högst? > > > > > [!success]- Facit > > > a) $v=\sqrt{(v_0^2+\beta^2)e^{-2\alpha x}-\beta^2}$ där $\alpha=\frac{k}{m}$ och $\beta^2=\frac{mg}{k}$ > > > b) $x_{\max}=\frac{1}{2\alpha}\ln((\frac{v_0}{\beta})^2+1)$ $[x_{\max}$ inträffar då $v=0$.] > > > c) $t=\frac{1}{\alpha\beta}\arctan\frac{v_0}{\beta}$ > > > [!example]- Ö8.12 Lös begynnelsevärdesproblemen > > a) $y'=\frac{y}{x}+\frac{y^2}{x^2}$, $y(1)=1$ > > b) $y'=\frac{x^3}{y^3}+\frac{y}{x}$, $y(1)=2$ > > c) $xy'=y(\ln y-\ln x)$, $y(1)=e^2$ > > d) $y+3x+(y-5x)y'=0$, $y(1)=2$ > > > > > [!success]- Facit > > > a) $y=\frac{x}{1-\ln|x|}$ > > > b) $y=x\sqrt[4]{\ln x^4+16}$ $[y-3x=-(y-x)^2]$ [Sätt: $z=\frac{y}{x}$.] > > > c) $y=xe^{x+1}$ > > > d) $y=x^{-\frac{1}{2}}+\sqrt{2x+\frac{1}{4}}$ $[y-3x=-(y-x)^2]$ [Sätt: $z=\frac{y}{x}$.] > > > [!example]- Ö8.13 > > Bestäm den kurva, som går genom punkten $(1;2)$, och för vilken normalen i en godtycklig punkt $(x;y)$ skär x-axeln i punkten $(2y^2/x;0)$. > > > > > [!success]- Facit > > > $y=x\sqrt{3x^2+1}$, $x\neq 0$ > > > [!example]- Ö8.14 Lös följande differentialekvationer: > > a) $y'=\sqrt{x+y-1}$ > > b) $y'=\frac{5y-x-5}{5x-y+1}$ > > c) $4x^2y'=(2y+x+2)^2$ > > > > > [!success]- Facit > > > a) $y=\frac{1}{4}x^2+(C-1)x+C^2$, $y=1-x$ [Sätt: $z=x+y$.] > > > b) $(y-x-1)^2=C(y+x-1)^3$, $y=-x$ [Sätt: $z=x+y$.] > > > c) $y=-1+\frac{1}{2}x\tan(\frac{1}{2}\ln|x|+C)$ [Sätt: $z=\frac{y+1}{x}$.] > > > [!example]- Ö8.15 Lös följande differentialekvationer: > > a) $y'+2y=e^x$ > > b) $y'=2xy+x$ > > c) $xy'+2y=\sin x$ > > d) $\cos^2 x\cdot y'=1-y$ > > > > > [!success]- Facit > > > a) $y=\frac{1}{3}e^x+Ce^{-2x}$ > > > b) $y=\frac{Cx^3}{x^2-2x+1-Cx^3}$ samt $y=-1$ > > > c) $y=-\frac{x\cos x+\sin x+C}{x^2}$ > > > d) $y=1+Ce^{-\tan x}$ > > > [!example]- Ö8.16 Lös följande differentialekvationer med begynnelsevillkor: > > a) $y'-y=e^x$, $y(0)=1$ > > b) $x^3 z'=1-xz$ $(x>0)$, $z(1)=3$ > > c) $(x^2-1)y'+2xy=x$, $y(2)=0$ $(x>1)$ > > d) $(x^3+2x^2)y'+(x^2+2x)y=x$, $y(1)=0$ $(x>0)$ > > > > > [!success]- Facit > > > a) $y=(x+1)e^x$ > > > b) $z=\frac{x+1}{x}+e^{x^{-1}}$ > > > c) $y=-\frac{x\cos x+\sin x+C}{x^2}$ > > > d) $y=-\ln\frac{x+2}{3}$ > > > [!example]- Ö8.17 > > Man vet att $z'(x)=\frac{1}{x}(2z(x)+x^3)$ och att $z(x)$ har ett lokalt minimum för $x=1$. Beräkna $z(2)$. > > > > > [!success]- Facit > > > $z(2)=2$ $[z(x)=x^3-\frac{3}{2}x^2]$ > > > [!example]- Ö8.18 > > a) Bestäm strömstyrkan $i(t)$ A som funktion av tiden $t$. > > b) Beräkna $\lim_{t\to\infty}i(t)$. > > > > > [!success]- Facit > > > a) $i(t)=10(1-e^{-100t})$ A > > > b) $\lim_{t\to\infty}i(t)=10$ A > > > [!example]- Ö8.19 > > Hur mycket salt finns kvar i tanken efter 4 h om > > a) tanken fylls på med rent vatten? > > b) tanken fylls på med en saltlösning som innehåller 5 kg salt per m³ vatten? > > c) Hur mycket salt innehåller tanken efter lång tid? > > > > > [!success]- Facit > > > a) $100e^{-0{,}48}\approx 62$ kg [(DE) $\frac{dy(t)}{dt}=1{,}2\cdot 0-1{,}2\frac{y(t)}{10}$, $y(0)=100$] > > > b) $50(1+e^{-0{,}48})\approx 81$ kg [(DE) $\frac{dy(t)}{dt}=1{,}2\cdot 5-1{,}2\frac{y(t)}{10}$, $y(0)=100$] > > > c) 0 kg för **a** respektive 50 kg för **b**. > > > [!example]- Ö8.20 > > Hur varmt är teet efter 8 min? > > > > > [!success]- Facit > > > $65$ °C. [(DE) $\frac{dT}{dt}=k(T-20)$, $T(0)=100$] > > > [!example]- Ö8.21 > > a) Visa att man genom substitutionen $z=y^{1-p}$ kan överföra Bernoullis differentialekvation till en linjär differentialekvation av första ordningen. > > b) Lös (DE) $y'+4y=4x\sqrt[4]{y^3}$, $y(0)=0$. > > c) Hur många lösningskurvor till (DE) $xy'=3y+3y^{2/3}$ går genom punkterna $(1;1)$, $(0;-1)$ respektive $(1;0)$? > > > > > [!success]- Facit > > > a) $z'+(1-p)f(x)z=(1-p)g(x)$ $[y^{-p}y'=\frac{1}{1-p}z']$ > > > b) $y=(x-1+e^{-x})^4$ > > > c) $(1;1)$: En. $(0;-1)$: Oändligt många. $[y=(Cx-1)^3]$ > > > $(1;0)$: Fyra. $[y=(x-1)^3$, $y=0$ och två skarvningar i punkten $(1;0)$ > > > av $y=(x-1)^3$ och $y=0$.] > > > [!example]- Ö8.22 Lös följande homogena differentialekvationer: > > a) $y''-4y'-5y=0$ > > b) $y''-4y'+4y=0$ > > c) $4y''+12y'=0$ > > > > > [!success]- Facit > > > a) $y=C_1 e^{5x}+C_2 e^{-x}$ > > > b) $y=(C_1 x+C_2)e^{2x}$ > > > c) $y=C_1+C_2 e^{-3x}$ > > > [!example]- Ö8.23 Lös följande homogena begynnelsevärdesproblem: > > a) $y''-4y'-5y=0$, $\begin{cases}y(0)=0\\y'(0)=1\end{cases}$ > > b) $y'=y''$, $\begin{cases}y(0)=1\\y'(0)=2\end{cases}$ > > c) $3y''+6y'+3y=0$, $\begin{cases}y(0)=0\\y'(0)=1\end{cases}$ > > d) $2(y''-y')=12y$, $\begin{cases}y(0)=1\\\lim_{x\to\infty}y(x)=0\end{cases}$ > > > > > [!success]- Facit > > > a) $y=\frac{1}{6}(e^{5x}-e^{-x})$ > > > b) $y=2e^x-1$ > > > c) $y=xe^{-x}$ > > > d) $y=e^{-2x}$ > > > [!example]- Ö8.24 Lös följande homogena differentialekvationer: > > a) $y''-4y'+5y=0$ > > b) $y''+9y=0$ > > c) $2y''+4y'+12y=0$ > > > > > [!success]- Facit > > > a) $y=e^{2x}(A\cos x+B\sin x)$ > > > b) $y(x)=A\cos(3x)+B\sin(3x)$ > > > c) $y=e^{-x}(A\cos(\sqrt{5}x)+B\sin(\sqrt{5}x))$ > > > [!example]- Ö8.25 Lös följande homogena begynnelsevärdesproblem: > > a) $y''+4y=0$, $\begin{cases}y(\frac{\pi}{2})=0\\y'(\frac{\pi}{2})=1\end{cases}$ > > b) $y''+4y'+5y=0$, $\begin{cases}y(0)=0\\y'(0)=1\end{cases}$ > > > > > [!success]- Facit > > > a) $y=-\frac{1}{2}\sin(2x)$ > > > b) $y=e^{-2x}\sin x$ > > > [!example]- Ö8.26 > > Bestäm strömstyrkan $i(t)$ ampere i kretsen. > > > > > [!success]- Facit > > > $i(t)=\frac{2}{7}\sin(350t)$ > > > [!example]- Ö8.27 Lös följande homogena differentialekvationer: > > a) $2y'''+8y''=0$ > > b) $y'''+y'=0$ > > c) $y'''-2y''+4y'-8y=0$ > > d) $y'''-6y''+11y'-6y=0$, $y(0)=0$, $y'(0)=0$, $y''(0)=2$ > > > > > [!success]- Facit > > > a) $y=C_1 x+C_2+C_3 e^{-4x}$ > > > b) $y=C_1+A\cos x+B\sin x$ > > > c) $y=C_1 e^{2x}+A\cos(2x)+B\sin(2x)$ > > > d) $y=e^x-2e^{2x}+e^{3x}$ > > > [!example]- Ö8.28 Lös följande inhomogena differentialekvationer: > > a) $y''+2y'+y=2$ > > b) $y''-2y'-3y=x+1$ > > c) $y''+2y'=x+1$ > > d) $4y''+4y'+5y=x^2+2x-4$ > > e) $y''+2y''=x-2$ > > f) $y''+2y'+y=\frac{1}{2}(x+|x|)$, $y(0)=0$, $y'(0)=1$ > > g) $y''+2y'+y=e^{-|x|}$ > > > > > [!success]- Facit > > > a) $y=C_1 x+C_2+C_3 e^{-2x}+\frac{1}{5}x^2+\frac{1}{5}x^3-\frac{5}{8}x^2$ > > > e) $y=C_1 x+C_2+C_3 e^{-2x}+\frac{1}{12}x^3-\frac{5}{8}x^2$ > > > f) $y=\begin{cases}\frac{1}{4}(2x^2+2x+1)e^{-x}+x-2 & \text{då } x\geq 0\\\frac{1}{4}e^{-x} & \text{då } x\leq 0\end{cases}$ > > > $\left[\frac{1}{4}(2x^2+2x+1)e^{-x}=\frac{2(x+1)e^{-x}+x-2}{xe^{-x}}\right]$ > > > g) $y=\begin{cases}(C_1 x+C_2+C_3 e^{-2x}+\frac{1}{12}x^3-\frac{148}{125} & \text{då } x\geq 0\\(C_1 x+C_2)e^{-x}+\frac{1}{4}x^2 e^x & \text{då } x\leq 0\end{cases}$ > > > [!example]- Ö8.29 Lös följande inhomogena differentialekvationer: > > a) $y''+6y'+5y=17\sin(3x)$ > > b) $y''-3y'=2\cos x-5\sin x$ > > c) $y''+4y=\sin x$, $\begin{cases}y(\frac{\pi}{2})=0\\y'(\frac{\pi}{2})=1\end{cases}$ > > d) $y''+2y'+y=x-1+\sin(2x)$ > > > > > [!success]- Facit > > > a) $y=C_1 e^{-5x}+C_2 e^{-x}-\frac{9}{10}\cos(3x)-\frac{17}{10}\cos x-\frac{1}{10}\sin x$ > > > b) $y=C_1+C_2 e^{3x}-\frac{17}{10}\cos x-\frac{1}{10}\sin x$ > > > c) $y=\frac{1}{3}\cos(2x)-\frac{1}{2}\sin(2x)+\frac{1}{3}\sin x$ > > > d) $y=(C_1 x+C_2)e^{-x}+x-3-\frac{4}{25}\cos(2x)-\frac{3}{25}\sin(2x)$ > > > [!example]- Ö8.30 > > Sök ett uttryck för kroppens rörelse, dvs. bestäm $y(t)$. > > > > > [!success]- Facit > > > $y(t)=\frac{5}{12}[\cos(100t)-\cos(500t)]$ > > > [!example]- Ö8.31 > > Bestäm strömstyrkan $i(t)$ A i kretsen. > > > > > [!success]- Facit > > > $i(t)=\frac{5}{12}[\cos(100t)-\cos(500t)]$ A > > > [!example]- Ö8.32 Lös följande inhomogena differentialekvationer: > > a) $y''+4y'+4y=8e^{2x}$ > > b) $y''+4y'+4y=8e^{-2x}$ > > c) $y''+4y'+4y=8e^{2x}+8e^{-2x}$ > > d) $y''+4y'+4y=8xe^{2x}$ > > e) $y'''+3y''+3y'+y=e^{-2x}+2e^{-x}+(x-1)e^{-3x}$ > > f) $y''+y=x\cos x$ > > g) $y''+y=x^2\sin x$ > > h) $y''+y=xe^x\cos x$ > > > > > [!success]- Facit > > > a) $y=(4x^2+C_1 x+C_2)e^{-2x}+\frac{1}{2}e^{2x}$ > > > b) $y=(4x^2+C_1 x+C_2)e^{-2x}$ > > > c) $y=(4x^2+C_1 x+C_2)e^{-2x}+\frac{1}{2}e^{2x}$ > > > d) $y=(C_1 x+C_2)e^{-2x}+(\frac{1}{2}x-\frac{1}{4})e^{2x}$ > > > e) $y=(C_1 x^2+C_2 x+C_3)e^{-x}-e^{-2x}+\frac{1}{3}x^3 e^{-x}-\frac{1}{16}(2x+1)e^{-3x}$ > > > f) $A\cos x+B\sin x+\frac{1}{4}(x^2-\frac{1}{2})x\cos x$ > > > g) $A\cos x+B\sin x+\frac{1}{4}x^2\sin x-(\frac{1}{4}x^2-\frac{1}{2})x\cos x$ > > > h) $A\cos x+B\sin x+\frac{1}{25}e^x[(10x-14)\sin x+(5x-2)x\cos x]$ (ingår i $y_h$) > > > [!example]- Ö8.33 > > Lös, i specialfallet $\ell=1$, Legendres differentialekvation. > > > > > [!success]- Facit > > > $y=C_1 x-C_2+C_2 x\frac{1}{2}\ln\frac{|1+x|}{|1-x|}$ $[y_p=ax.$ Välj t.ex. $y_p=x.]$ > > > [!example]- Ö8.34 Lös följande differentialekvationer genom faktorisering av operatorn: > > a) $y''-y=\tanh x$ > > b) $y''-2y'+y=e^x/x$ > > > > > [!success]- Facit > > > a) $y=C_1 e^{-x}+C_2 e^x+e^{-x}\arctan e^x-e^x\arctan e^{-x}$ > > > b) $y=(Ax+B+x\ln|x|)e^x$ > > > [!example]- Ö8.35 > > Visa att $(D-x)(D+x)\neq(D+x)(D-x)$. > > > > > [!success]- Facit > > > $[(D-x)(D+x)=D^2-x^2-1\neq(D+x)(D-x)=D^2-x^2+1]$ > > > [!example]- Ö8.36 > > Lös begynnelsevärdesproblemen $y''-(x^2+1)y=x$, $y(0)=0$, $y'(0)=1$. > > > > > [!success]- Facit > > > $\sqrt{\frac{\pi}{2}}e^{\frac{x^2}{2}}\text{Erf}(\frac{x}{\sqrt{2}})$ > > > $\left[\int_0^x g(t)\,dt=-\int_x^0 g(t)\,dt\right.\left.\left[\int_0^x(x-t)f(t)\,dt=x\int_0^x f(t)\,dt-\int_0^x tf(t)\,dt\right]\right]$ > > > [!example]- Ö8.37 Bestäm den kontinuerliga funktionen $f(x)$, som satisfierar > > a) $f(x)=(x+1)^2+2\int_x^0\frac{f(t)}{t+1}dt$ > > b) $x-\ln(x+1)=\int_0^x(x-t)f(t)\,dt$ > > c) $\int_1^x(x+2t)y(t)\,dt=\ln x$ > > d) $f(x)=x\int_0^1 f(xz)\tan(xz)\,dz+\sin x$ $(|x|<\frac{\pi}{2})$ > > > > > [!success]- Facit > > > a) $f(x)=\frac{(x+1)^2}{2(x+1)^2}$ $\left[\int_0^x g(t)\,dt=-\int_x^0 g(t)\,dt\right]$ > > > b) $f(x)=\frac{1}{(x+1)^2}$ $\left[\int_0^x(x-t)f(t)\,dt=x\int_0^x f(t)\,dt-\int_0^x tf(t)\,dt\right]$ > > > c) $f(x)=\frac{1}{2(x+1)^2}$ $\left[(x+1)^2+\frac{1}{2(x+1)^2}=\frac{1}{2(x+1)^2}\right]$ [Sätt: $y'=P$] > > > d) $f(x)=\frac{x+\sin x\cos x}{2\cos x}$ [Substituera: $u=xz$] > > > [!example]- Ö8.38 Lös differentialekvationerna > > a) $yy''=2(y')^2$ > > b) $y''=yy'$, $y(0)=0$, $y'(0)=\frac{1}{2}$ > > > > > [!success]- Facit > > > a) $y=-\frac{1}{C_1 x+C_2}=-\frac{1}{Ax+B}$, $y=C$ > > > b) $y=\tan\frac{x}{2}$ [Sätt: $y'=P$] > > > [!example]- Ö8.39 > > Bestäm $D_f$. > > > > > [!success]- Facit > > > $D_f=\{x:-1\leq x\leq 3\}$ $[f(x)=\frac{1}{2}\sqrt{3+2x-x^2}=\frac{1}{2}\sqrt{(3-x)(1+x)}]$ > > > [!example]- Ö8.40 Lös, för $x>0$, differentialekvationerna [Eulers DE] > > a) $x^2y''+5xy'+4y=0$ > > b) $x^3y''+x^2y''-2xy'+2y=0$ > > c) $x^3y'''+5x^2y''+2xy'-2y=x+\frac{1}{x}$ > > d) $x^2y''-3xy'+3y=x\ln x$ > > > > > [!success]- Facit > > > a) $y=C_1\frac{\ln x}{x^2}+C_2\frac{1}{x^2}$ > > > b) $y=C_1 x^3+C_2 x-\frac{x}{4}(\ln^2 x+\ln x)$ > > > c) $y=C_1 x+C_2\frac{1}{x^2}+C_3\frac{x^2-3}{6x}+\frac{\ln x}{x}$ > > > d) $y=C_1 x^3+C_2 x+C_3\frac{1}{x^2}+\frac{1}{4}x\ln x$ (ingår i $y_h$) > > > [!example]- Ö8.41 Lös följande differentialekvationer: > > a) $y''+y=2/\cos^3 x$ > > b) $y''+4y=2\tan x$ [se exempel 8.36, sid. 249] > > > > > [!success]- Facit > > > a) $y=A\cos x+B\sin x+1/\cos x$ > > > b) $y=A\cos 2x+B\sin 2x+\sin 2x\ln|\cos x|$ > > > $[-\sin 2x\cos^2 x+\sin 2x+\frac{1}{2}\cos 2x\sin 2x=\frac{1}{2}\sin 2x$ (ingår i $y_h$)]