# Summor & Taylorutveckling
> **Modul:** M6 · **Ämne:** Envariabelanalys 1
> **Förkunskaper:** Derivering, gränsvärden ([[M4 M0065M]], [[M3 M0065M]])
---
## Ordlista svenska ↔ engelska
| Svenska | Engelska |
| ------------------- | -------------------- |
| Följd | Sequence |
| Summa | Sum |
| Serie | Series |
| Konvergent | Convergent |
| Divergent | Divergent |
| Induktion | Induction |
| Induktionsantagande | Induction hypothesis |
| Basfall | Base case |
| Induktionssteg | Inductive step |
| Binomialsatsen | Binomial theorem |
| Binomialkoefficient | Binomial coefficient |
| Fakultet | Factorial |
| Taylorpolynom | Taylor polynomial |
| Maclaurinpolynom | Maclaurin polynomial |
| Restterm | Remainder term |
| Taylorutveckling | Taylor expansion |
| Maclaurinserie | Maclaurin series |
| O-notation | Big-O notation |
| Feluppskattning | Error estimate |
---
## 1. Följder
### 1.1 Definition
En **följd** är en ordnad lista av tal, indexerad av naturliga tal:
$\{a_n\}_{n=1}^{\infty} = a_1, a_2, a_3, \dots$
Formellt är en följd en funktion $a : \mathbb{N} \to \mathbb{R}$ som till varje naturligt tal $n$ tilldelar ett reellt tal $a_n$.
> [!example]- Exempel: Enkla följder
> - $a_n = \frac{1}{n}$: ger följden $1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \dots$
> - $a_n = (-1)^n$: ger följden $-1, 1, -1, 1, \dots$
> - $a_n = \frac{n}{n+1}$: ger följden $\frac{1}{2}, \frac{2}{3}, \frac{3}{4}, \frac{4}{5}, \dots$
> - $a_n = 2^n$: ger följden $2, 4, 8, 16, \dots$
### 1.2 Konvergens och divergens
En följd $\{a_n\}$ sägs vara **konvergent** om det finns ett reellt tal $L$ sådant att
$\boxed{\lim_{n \to \infty} a_n = L}$
dvs. termerna $a_n$ kommer godtyckligt nära $L$ när $n$ blir tillräckligt stort.
Om följden inte konvergerar sägs den vara **divergent**. Divergens kan ske på två sätt:
- Termerna växer obegränsat: $a_n \to \pm\infty$
- Termerna oscillerar utan att närma sig ett värde (t.ex. $(-1)^n$)
> [!example]- Exempel: Konvergent eller divergent?
> | Följd | Gränsvärde | Konvergent? |
> |---|---|---|
> | $a_n = \frac{1}{n}$ | $\lim_{n\to\infty} \frac{1}{n} = 0$ | Ja |
> | $a_n = \frac{n}{n+1}$ | $\lim_{n\to\infty} \frac{n}{n+1} = \lim_{n\to\infty} \frac{1}{1+1/n} = 1$ | Ja |
> | $a_n = (-1)^n$ | Gränsvärdet existerar ej (oscillerar) | Nej |
> | $a_n = n^2$ | $\lim_{n\to\infty} n^2 = +\infty$ | Nej |
> | $a_n = \frac{3n^2 + 1}{n^2 - 2}$ | $\lim_{n\to\infty} \frac{3 + 1/n^2}{1 - 2/n^2} = 3$ | Ja |
### 1.3 Räkneregler för gränsvärden av följder
Om $\lim_{n\to\infty} a_n = A$ och $\lim_{n\to\infty} b_n = B$ gäller:
| Regel | Resultat |
|---|---|
| Summa | $\lim_{n\to\infty} (a_n + b_n) = A + B$ |
| Differens | $\lim_{n\to\infty} (a_n - b_n) = A - B$ |
| Produkt | $\lim_{n\to\infty} (a_n \cdot b_n) = A \cdot B$ |
| Kvot | $\lim_{n\to\infty} \frac{a_n}{b_n} = \frac{A}{B}$, om $B \neq 0$ |
| Skalärmultipel | $\lim_{n\to\infty} c \cdot a_n = c \cdot A$ |
> [!tip]- Standardgränsvärden att känna till
> | Följd | Gränsvärde | Villkor |
> |---|---|---|
> | $\frac{1}{n^p}$ | $0$ | $p > 0$ |
> | $x^n$ | $0$ | $\|x\| < 1$ |
> | $\frac{n^k}{a^n}$ | $0$ | $a > 1$, alla $k$ |
> | $\frac{a^n}{n!}$ | $0$ | alla $a$ |
> | $\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n$ | $e$ | |
---
## 2. Summor
### 2.1 Summanotation
**Sigmanotation** ger ett kompakt sätt att skriva summor:
$\sum_{k=1}^{n} a_k = a_1 + a_2 + a_3 + \cdots + a_n$
Här är $k$ **summationsindex** (en "dummyvariabel"), och $n$ är **övre gräns**.
> [!example]- Exempel: Tolka summor
> - $\displaystyle\sum_{k=1}^{4} k^2 = 1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 = 1 + 4 + 9 + 16 = 30$
> - $\displaystyle\sum_{k=0}^{3} 2^k = 2^0 + 2^1 + 2^2 + 2^3 = 1 + 2 + 4 + 8 = 15$
> - $\displaystyle\sum_{k=1}^{n} 1 = \underbrace{1 + 1 + \cdots + 1}_{n \text{ st}} = n$
### 2.2 Grundläggande räkneregler
| Regel | Formel |
|---|---|
| Konstantfaktor | $\displaystyle\sum_{k=1}^{n} c \cdot a_k = c \sum_{k=1}^{n} a_k$ |
| Summa/differens | $\displaystyle\sum_{k=1}^{n} (a_k \pm b_k) = \sum_{k=1}^{n} a_k \pm \sum_{k=1}^{n} b_k$ |
| Uppdelning | $\displaystyle\sum_{k=1}^{n} a_k = \sum_{k=1}^{m} a_k + \sum_{k=m+1}^{n} a_k$ |
### 2.3 Aritmetisk summa
Summan av de $n$ första positiva heltalen:
$\boxed{\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}}$
**Gauss trick:** Skriv summan framåt och bakåt:
$S = 1 + 2 + 3 + \cdots + n$
$S = n + (n-1) + (n-2) + \cdots + 1$
Addera termvis: $2S = (n+1) + (n+1) + \cdots + (n+1) = n(n+1)$, alltså $S = \frac{n(n+1)}{2}$.
> [!example]- Exempel: Aritmetisk summa
> $\displaystyle\sum_{k=1}^{100} k = \frac{100 \cdot 101}{2} = 5050$
>
> **Annan variant:** $\displaystyle\sum_{k=1}^{n} (2k - 1) = 2\sum_{k=1}^{n} k - \sum_{k=1}^{n} 1 = 2 \cdot \frac{n(n+1)}{2} - n = n^2$
>
> (summan av de $n$ första udda talen är alltid en perfekt kvadrat!)
### 2.4 Geometrisk summa
Den ändliga geometriska summan:
$\boxed{\sum_{k=0}^{n} x^k = \frac{1 - x^{n+1}}{1 - x}} \quad \text{för } x \neq 1$
**Härledning:** Låt $S = 1 + x + x^2 + \cdots + x^n$. Multiplicera med $x$:
$xS = x + x^2 + x^3 + \cdots + x^{n+1}$
Subtrahera: $S - xS = 1 - x^{n+1}$, alltså $S(1 - x) = 1 - x^{n+1}$ och $S = \frac{1 - x^{n+1}}{1 - x}$.
> [!example]- Exempel: Geometrisk summa
> **Beräkna** $\displaystyle\sum_{k=0}^{5} 3^k = \frac{1 - 3^6}{1 - 3} = \frac{1 - 729}{-2} = \frac{-728}{-2} = 364$
>
> **Kontroll:** $1 + 3 + 9 + 27 + 81 + 243 = 364$ ✓
>
> **Beräkna** $\displaystyle\sum_{k=0}^{4} \left(\frac{1}{2}\right)^k = \frac{1 - (1/2)^5}{1 - 1/2} = \frac{1 - 1/32}{1/2} = \frac{31/32}{1/2} = \frac{31}{16}$
### 2.5 Geometrisk serie (oändlig)
Om $|x| < 1$ konvergerar den oändliga geometriska serien:
$\boxed{\sum_{k=0}^{\infty} x^k = \frac{1}{1 - x}} \quad \text{för } |x| < 1$
Detta följer av att $x^{n+1} \to 0$ när $n \to \infty$ om $|x| < 1$.
> [!warning]- Konvergensvillkor
> Serien $\sum_{k=0}^{\infty} x^k$ konvergerar **enbart** om $|x| < 1$. Om $|x| \geq 1$ divergerar serien.
>
> - $x = 1$: $1 + 1 + 1 + \cdots = \infty$ (divergent)
> - $x = -1$: $1 - 1 + 1 - 1 + \cdots$ (divergent, oscillerar)
> - $x = 2$: $1 + 2 + 4 + 8 + \cdots = \infty$ (divergent)
> [!example]- Exempel: Oändlig geometrisk serie
> $\sum_{k=0}^{\infty} \left(\frac{1}{2}\right)^k = \frac{1}{1 - 1/2} = 2$
>
> $\sum_{k=0}^{\infty} \left(-\frac{1}{3}\right)^k = \frac{1}{1 - (-1/3)} = \frac{1}{4/3} = \frac{3}{4}$
>
> $\sum_{k=1}^{\infty} \left(\frac{1}{2}\right)^k = \sum_{k=0}^{\infty} \left(\frac{1}{2}\right)^k - 1 = 2 - 1 = 1$
>
> (notera att den sista summan börjar vid $k=1$ istället för $k=0$)
### 2.6 Teleskopisk summa
En **teleskopisk summa** (eller teleskopande summa) är en summa där nästan alla termer tar ut varandra:
$\sum_{k=1}^{n} (b_k - b_{k+1}) = b_1 - b_{n+1}$
**Varför?** Expandera:
$(b_1 - b_2) + (b_2 - b_3) + (b_3 - b_4) + \cdots + (b_n - b_{n+1})$
Alla inre termer tar ut varandra — bara den första och sista termen överlever.
> [!example]- Exempel: Teleskopisk summa
> **Beräkna** $\displaystyle\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k(k+1)}$
>
> **Steg 1:** Partialbråksuppdelning:
> $\frac{1}{k(k+1)} = \frac{1}{k} - \frac{1}{k+1}$
>
> **Steg 2:** Summan blir teleskopisk:
> $\sum_{k=1}^{n} \left(\frac{1}{k} - \frac{1}{k+1}\right) = \left(\frac{1}{1} - \frac{1}{2}\right) + \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{3}\right) + \cdots + \left(\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}\right)$
>
> $= 1 - \frac{1}{n+1} = \frac{n}{n+1}$
>
> **Kontroll för $n = 3$:** $\frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 4} = \frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \frac{1}{12} = \frac{6+2+1}{12} = \frac{9}{12} = \frac{3}{4} = \frac{n}{n+1}$ ✓
---
## 3. Matematisk induktion
### 3.1 Principen
Matematisk induktion är en bevismetod för att visa att ett påstående $P(n)$ gäller för alla naturliga tal $n \geq 1$ (eller från något startindex).
$\boxed{\text{Induktion: } P(1) \text{ sant} \;\wedge\; [P(k) \implies P(k+1)] \;\implies\; P(n) \text{ sant } \forall\, n \geq 1}$
### 3.2 De två stegen
| Steg | Namn | Vad man gör |
|---|---|---|
| **Steg 1** | Basfall | Visa att $P(1)$ är sant (eller $P(n_0)$ för det minsta relevanta $n_0$) |
| **Steg 2** | Induktionssteg | **Anta** att $P(k)$ gäller (induktionsantagandet) och **visa** att $P(k+1)$ följer |
> [!note]- Varför fungerar induktion?
> Tänk dig en oändlig rad av dominobrickor:
> 1. **Basfall:** Den första brickan välts (P(1) gäller)
> 2. **Induktionssteg:** Om bricka $k$ faller, så faller bricka $k+1$
>
> Tillsammans garanterar detta att **alla** brickor faller: bricka 1 fäller bricka 2, bricka 2 fäller bricka 3, och så vidare i all oändlighet.
### 3.3 Struktur för ett induktionsbevis
Ett korrekt induktionsbevis har alltid denna struktur:
1. **Formulera påståendet:** "Låt $P(n)$ vara påståendet att ..."
2. **Basfall:** "Vi visar att $P(1)$ gäller: VL = ... = HL ✓"
3. **Induktionsantagande:** "Anta att $P(k)$ gäller för något godtyckligt $k \geq 1$, dvs. ..."
4. **Induktionssteg:** "Vi ska visa att $P(k+1)$ gäller, dvs. ..."
5. **Slutsats:** "Enligt induktionsprincipen gäller $P(n)$ för alla $n \geq 1$."
> [!example]- Exempel: Bevisa att $\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$
> **Påstående:** $P(n): \displaystyle\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$
>
> ---
>
> **Basfall ($n = 1$):**
>
> $\text{VL} = \displaystyle\sum_{k=1}^{1} k = 1$
>
> $\text{HL} = \frac{1 \cdot 2}{2} = 1$
>
> $\text{VL} = \text{HL}$ ✓ — basfallet gäller.
>
> ---
>
> **Induktionsantagande:** Anta att $P(k)$ gäller, dvs.
> $\sum_{i=1}^{k} i = \frac{k(k+1)}{2}$
>
> **Induktionssteg:** Vi vill visa att $P(k+1)$ gäller, dvs. att
> $\sum_{i=1}^{k+1} i = \frac{(k+1)(k+2)}{2}$
>
> Vi utgår från vänsterledet och bryter ut den sista termen:
> $\sum_{i=1}^{k+1} i = \underbrace{\sum_{i=1}^{k} i}_{= \frac{k(k+1)}{2} \text{ (ind.ant.)}} + (k+1)$
>
> $= \frac{k(k+1)}{2} + (k+1) = \frac{k(k+1) + 2(k+1)}{2} = \frac{(k+1)(k+2)}{2}$
>
> Detta är precis $P(k+1)$. ✓
>
> ---
>
> **Slutsats:** Enligt induktionsprincipen gäller $\displaystyle\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$ för alla $n \geq 1$. $\blacksquare$
> [!example]- Exempel: Bevisa geometrisk summa $\sum_{k=0}^{n} x^k = \frac{1 - x^{n+1}}{1 - x}$
> **Påstående:** $P(n): \displaystyle\sum_{k=0}^{n} x^k = \frac{1 - x^{n+1}}{1 - x}$ för $x \neq 1$.
>
> ---
>
> **Basfall ($n = 0$):**
>
> $\text{VL} = \displaystyle\sum_{k=0}^{0} x^k = x^0 = 1$
>
> $\text{HL} = \frac{1 - x^{1}}{1 - x} = \frac{1 - x}{1 - x} = 1$
>
> $\text{VL} = \text{HL}$ ✓
>
> ---
>
> **Induktionsantagande:** Anta att $P(n)$ gäller:
> $\sum_{k=0}^{n} x^k = \frac{1 - x^{n+1}}{1 - x}$
>
> **Induktionssteg:** Vi vill visa att $P(n+1)$ gäller:
> $\sum_{k=0}^{n+1} x^k = \frac{1 - x^{n+2}}{1 - x}$
>
> Beräkna:
> $\sum_{k=0}^{n+1} x^k = \underbrace{\sum_{k=0}^{n} x^k}_{= \frac{1-x^{n+1}}{1-x}} + x^{n+1} = \frac{1 - x^{n+1}}{1 - x} + x^{n+1}$
>
> $= \frac{1 - x^{n+1} + x^{n+1}(1 - x)}{1 - x} = \frac{1 - x^{n+1} + x^{n+1} - x^{n+2}}{1 - x} = \frac{1 - x^{n+2}}{1 - x}$
>
> Detta är precis $P(n+1)$. ✓
>
> **Slutsats:** Formeln gäller för alla $n \geq 0$. $\blacksquare$
> [!example]- Exempel: Bevisa att $n! > 2^n$ för $n \geq 4$
> **Påstående:** $P(n): n! > 2^n$ för $n \geq 4$.
>
> ---
>
> **Basfall ($n = 4$):**
>
> $\text{VL} = 4! = 24$, $\text{HL} = 2^4 = 16$. Eftersom $24 > 16$ gäller $P(4)$. ✓
>
> ---
>
> **Induktionsantagande:** Anta att $P(k)$ gäller för något $k \geq 4$, dvs. $k! > 2^k$.
>
> **Induktionssteg:** Vi vill visa att $(k+1)! > 2^{k+1}$.
>
> $(k+1)! = (k+1) \cdot k! > (k+1) \cdot 2^k$
>
> Eftersom $k \geq 4$ gäller $k + 1 \geq 5 > 2$, alltså:
>
> $(k+1) \cdot 2^k > 2 \cdot 2^k = 2^{k+1}$
>
> Alltså $(k+1)! > 2^{k+1}$. ✓
>
> **Slutsats:** $n! > 2^n$ gäller för alla $n \geq 4$. $\blacksquare$
---
## 4. Binomialsatsen
### 4.1 Binomialkoefficienter
**Binomialkoefficienten** "$n$ över $k
quot; definieras som:
$\boxed{\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}}$
Den anger antalet sätt att välja $k$ objekt ur $n$ stycken.
> [!note]- Egenskaper hos binomialkoefficienter
> | Egenskap | Formel |
> |---|---|
> | Symmetri | $\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}$ |
> | Ändpunkter | $\binom{n}{0} = \binom{n}{n} = 1$ |
> | Pascals regel | $\binom{n}{k} = \binom{n-1}{k-1} + \binom{n-1}{k}$ |
> | Summa av en rad | $\displaystyle\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} = 2^n$ |
### 4.2 Pascals triangel
Binomialkoefficienterna kan organiseras i **Pascals triangel**, där varje tal är summan av de två ovanför:
```
n=0: 1
n=1: 1 1
n=2: 1 2 1
n=3: 1 3 3 1
n=4: 1 4 6 4 1
n=5: 1 5 10 10 5 1
```
### 4.3 Binomialsatsen
$\boxed{(a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k}$
Explicit:
$(a + b)^n = \binom{n}{0}a^n + \binom{n}{1}a^{n-1}b + \binom{n}{2}a^{n-2}b^2 + \cdots + \binom{n}{n}b^n$
> [!example]- Exempel: Utveckla $(a+b)^4$
> $(a+b)^4 = \sum_{k=0}^{4} \binom{4}{k} a^{4-k} b^k$
>
> $= \binom{4}{0}a^4 + \binom{4}{1}a^3b + \binom{4}{2}a^2b^2 + \binom{4}{3}ab^3 + \binom{4}{4}b^4$
>
> $= a^4 + 4a^3b + 6a^2b^2 + 4ab^3 + b^4$
>
> (koefficienterna $1, 4, 6, 4, 1$ är precis rad $n=4$ i Pascals triangel)
### 4.4 Viktigt specialfall
Med $a = 1$, $b = x$:
$\boxed{(1 + x)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} x^k = 1 + nx + \frac{n(n-1)}{2}x^2 + \cdots + x^n}$
> [!example]- Exempel: Utveckla $(1+x)^5$
> $(1+x)^5 = 1 + 5x + 10x^2 + 10x^3 + 5x^4 + x^5$
>
> **Kontroll:** Sätt $x = 1$: $2^5 = 32$ och $1 + 5 + 10 + 10 + 5 + 1 = 32$ ✓
> [!example]- Exempel: Hitta koefficienten framför $x^3$ i $(2 - x)^6$
> Vi skriver $(2 - x)^6 = (2 + (-x))^6$ och använder binomialsatsen med $a = 2$, $b = -x$:
>
> Termen med $x^3$ fås när $k = 3$:
>
> $\binom{6}{3} \cdot 2^{6-3} \cdot (-x)^3 = 20 \cdot 8 \cdot (-x^3) = -160x^3$
>
> **Svar:** Koefficienten framför $x^3$ är $-160$.
---
## 5. Taylorpolynom — definition
### 5.1 Idé och motivation
Taylorpolynom approximerar en funktion $f(x)$ i närheten av en punkt $x = a$ med ett polynom som **matchar funktionens derivator** i den punkten.
**Grundidé:** Vi söker ett polynom $T_n(x)$ av grad $\leq n$ sådant att
$T_n(a) = f(a), \quad T_n'(a) = f'(a), \quad T_n''(a) = f''(a), \quad \dots, \quad T_n^{(n)}(a) = f^{(n)}(a)$
### 5.2 Definition
$\boxed{T_n(x) = \sum_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x - a)^k}$
Explicit:
$T_n(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \frac{f'''(a)}{3!}(x-a)^3 + \cdots + \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n$
> [!note]- Varför $k!$ i nämnaren?
> Om vi deriverar $T_n(x)$ upprepade gånger och evaluerar i $x = a$ måste vi få tillbaka $f^{(k)}(a)$.
>
> Betrakta termen $\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k$. Om vi deriverar den $k$ gånger:
>
> $\frac{d^k}{dx^k}\left[\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k\right] = \frac{f^{(k)}(a)}{k!} \cdot k! = f^{(k)}(a)$
>
> Faktorn $k!$ i nämnaren "kompenserar" för att $k$ derivator av $(x-a)^k$ ger $k!$.
### 5.3 Maclaurinpolynom
**Maclaurinpolynom** är specialfallet $a = 0$:
$T_n(x) = \sum_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(0)}{k!} x^k = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \cdots$
> [!example]- Exempel: Taylorpolynom för $e^x$ kring $a = 0$
> Vi har $f(x) = e^x$ och alla derivator är $f^{(k)}(x) = e^x$, så $f^{(k)}(0) = 1$ för alla $k$.
>
> $T_n(x) = \sum_{k=0}^{n} \frac{1}{k!} x^k = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots + \frac{x^n}{n!}$
>
> | $n$ | $T_n(x)$ | $T_n(1)$ (approximation av $e$) |
> |---|---|---|
> | 0 | $1$ | $1$ |
> | 1 | $1 + x$ | $2$ |
> | 2 | $1 + x + \frac{x^2}{2}$ | $2.5$ |
> | 3 | $1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6}$ | $2.6\overline{6}$ |
> | 4 | $1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + \frac{x^4}{24}$ | $2.708\overline{3}$ |
>
> Jämför med $e \approx 2.71828\dots$ — approximationen blir bättre med högre $n$.
> [!example]- Exempel: Taylorpolynom för $\sin x$ kring $a = 0$
> Derivatorna av $\sin x$:
>
> | $k$ | $f^{(k)}(x)$ | $f^{(k)}(0)$ |
> |---|---|---|
> | 0 | $\sin x$ | $0$ |
> | 1 | $\cos x$ | $1$ |
> | 2 | $-\sin x$ | $0$ |
> | 3 | $-\cos x$ | $-1$ |
> | 4 | $\sin x$ | $0$ |
> | 5 | $\cos x$ | $1$ |
>
> Mönstret cyklar med period 4. Bara udda termer är nollskilda:
>
> $T_5(x) = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} = x - \frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{120}$
> [!example]- Exempel: Taylorpolynom för $\ln x$ kring $a = 1$
> Här utvecklar vi kring $a = 1$ (inte $a = 0$, eftersom $\ln 0$ ej existerar).
>
> | $k$ | $f^{(k)}(x)$ | $f^{(k)}(1)$ |
> |---|---|---|
> | 0 | $\ln x$ | $0$ |
> | 1 | $x^{-1}$ | $1$ |
> | 2 | $-x^{-2}$ | $-1$ |
> | 3 | $2x^{-3}$ | $2$ |
> | 4 | $-6x^{-4}$ | $-6$ |
>
> Allmänt: $f^{(k)}(1) = (-1)^{k+1}(k-1)!$ för $k \geq 1$.
>
> $T_n(x) = (x-1) - \frac{(x-1)^2}{2} + \frac{(x-1)^3}{3} - \frac{(x-1)^4}{4} + \cdots$
>
> $= \sum_{k=1}^{n} \frac{(-1)^{k+1}}{k}(x - 1)^k$
>
> (Substituerar man $t = x - 1$, dvs. $x = 1 + t$, får man Maclaurinutvecklingen av $\ln(1+t)$.)
---
## 6. Restterm (Lagranges form)
### 6.1 Taylors formel
Taylorpolynomet är bara en approximation. Den exakta skillnaden kallas **resttermen**:
$f(x) = T_n(x) + R_n(x)$
### 6.2 Lagranges restterm
$\boxed{R_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x - a)^{n+1}}$
för något $\xi$ mellan $a$ och $x$ (vi vet att $\xi$ existerar, men vi vet i regel inte dess exakta värde).
> [!warning]- Viktigt om $\xi$
> Vi vet **inte** exakt vad $\xi$ är — bara att det finns ett sådant $\xi$ i intervallet mellan $a$ och $x$. Därför kan vi inte beräkna $R_n(x)$ exakt, men vi kan **uppskatta** det genom att hitta en övre gräns.
### 6.3 Feluppskattning
Om $|f^{(n+1)}(t)| \leq M$ för alla $t$ mellan $a$ och $x$, så gäller:
$\boxed{|R_n(x)| \leq \frac{M}{(n+1)!}|x - a|^{n+1}}$
> [!example]- Exempel: Feluppskattning för $e^x$
> **Fråga:** Hur stort fel gör vi om vi approximerar $e^{0.5}$ med $T_3(0.5)$?
>
> Taylorpolynomet kring $a = 0$: $T_3(x) = 1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6}$
>
> $T_3(0.5) = 1 + 0.5 + 0.125 + 0.0208\overline{3} = 1.6458\overline{3}$
>
> Felet ges av Lagranges restterm med $n = 3$:
>
> $|R_3(0.5)| = \left|\frac{f^{(4)}(\xi)}{4!}(0.5)^4\right| = \frac{e^\xi}{24} \cdot \frac{1}{16}$
>
> Eftersom $\xi \in [0, 0.5]$ gäller $e^\xi \leq e^{0.5} < e < 3$. Alltså:
>
> $|R_3(0.5)| \leq \frac{3}{24 \cdot 16} = \frac{3}{384} = \frac{1}{128} \approx 0.0078$
>
> **Verkligt fel:** $e^{0.5} \approx 1.6487$ och $T_3(0.5) \approx 1.6458$, så $|e^{0.5} - T_3(0.5)| \approx 0.0029 < 0.0078$ ✓
> [!example]- Exempel: Hur många termer behövs?
> **Fråga:** Hur stort $n$ behövs för att $T_n(1)$ ska approximera $e$ med ett fel lt; 10^{-6}$?
>
> Vi behöver $|R_n(1)| \leq \frac{M}{(n+1)!} \cdot 1^{n+1} < 10^{-6}$.
>
> Här är $M \leq e < 3$, så vi behöver $\frac{3}{(n+1)!} < 10^{-6}$, dvs. $(n+1)! > 3 \times 10^6$.
>
> | $n+1$ | $(n+1)!$ |
> |---|---|
> | 8 | $40\,320$ |
> | 9 | $362\,880$ |
> | 10 | $3\,628\,800$ |
>
> Med $n = 9$ (alltså 10 termer, $T_9$) fås $(n+1)! = 10! = 3\,628\,800 > 3\,000\,000$. **Svar:** $n = 9$ räcker.
---
## 7. Standardutvecklingar (Maclaurinserier)
Följande utvecklingar bör man **kunna utantill**. De är utgångspunkten för nästan alla beräkningar med Taylorserier.
| Funktion | Maclaurinserie | Konvergensområde |
|---|---|---|
| $e^x$ | $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots$ | $(-\infty, \infty)$ |
| $\sin x$ | $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!} = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots$ | $(-\infty, \infty)$ |
| $\cos x$ | $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!} = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots$ | $(-\infty, \infty)$ |
| $\ln(1+x)$ | $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1} x^n}{n} = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \cdots$ | $(-1, 1]$ |
| $\frac{1}{1-x}$ | $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} x^n = 1 + x + x^2 + x^3 + \cdots$ | $(-1, 1)$ |
| $(1+x)^\alpha$ | $\displaystyle 1 + \alpha x + \frac{\alpha(\alpha-1)}{2!}x^2 + \frac{\alpha(\alpha-1)(\alpha-2)}{3!}x^3 + \cdots$ | $(-1, 1)$ |
> [!warning]- Obs: $\ln(1+x)$ har $n$ i nämnaren — inte $n!$
> Detta är ett vanligt misstag. Jämför:
> - $e^x$: varje term har $n!$ i nämnaren
> - $\ln(1+x)$: varje term har bara $n$ i nämnaren
>
> Skillnaden har stor effekt. T.ex. konvergerar $\sum \frac{x^n}{n!}$ för alla $x$, men $\sum \frac{x^n}{n}$ konvergerar bara för $|x| \leq 1$.
> [!example]- Exempel: Verifiera $e^x$-utvecklingen
> $f(x) = e^x$: Alla derivator i $x = 0$ ger $f^{(n)}(0) = 1$.
>
> $T_n(x) = \sum_{k=0}^{n} \frac{1}{k!}x^k = 1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + \frac{x^4}{24} + \cdots$
> [!example]- Exempel: Verifiera $\cos x$-utvecklingen
> Derivatorna av $\cos x$:
>
> | $k$ | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
> |---|---|---|---|---|---|---|---|
> | $f^{(k)}(x)$ | $\cos x$ | $-\sin x$ | $-\cos x$ | $\sin x$ | $\cos x$ | $-\sin x$ | $-\cos x$ |
> | $f^{(k)}(0)$ | $1$ | $0$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $0$ | $-1$ |
>
> Bara jämna termer överlever med alternerande tecken:
>
> $\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \cdots$
---
## 8. Tekniker med Taylorutvecklingar
### 8.1 Substitution i kända serier
**Metod:** Byt ut $x$ mot ett uttryck i en känd Maclaurinserie.
> [!example]- Exempel: Maclaurinutveckling av $e^{-x^2}$
> Vi vet att $e^u = 1 + u + \frac{u^2}{2!} + \frac{u^3}{3!} + \cdots$
>
> Substituera $u = -x^2$:
>
> $e^{-x^2} = 1 + (-x^2) + \frac{(-x^2)^2}{2!} + \frac{(-x^2)^3}{3!} + \cdots$
>
> $= 1 - x^2 + \frac{x^4}{2} - \frac{x^6}{6} + \cdots$
> [!example]- Exempel: Maclaurinutveckling av $\sin(x^2)$
> Vi vet att $\sin u = u - \frac{u^3}{3!} + \frac{u^5}{5!} - \cdots$
>
> Substituera $u = x^2$:
>
> $\sin(x^2) = x^2 - \frac{(x^2)^3}{3!} + \frac{(x^2)^5}{5!} - \cdots = x^2 - \frac{x^6}{6} + \frac{x^{10}}{120} - \cdots$
> [!example]- Exempel: Maclaurinutveckling av $\ln(1 + 2x)$
> Vi vet att $\ln(1+u) = u - \frac{u^2}{2} + \frac{u^3}{3} - \cdots$ för $|u| < 1$.
>
> Substituera $u = 2x$:
>
> $\ln(1+2x) = 2x - \frac{(2x)^2}{2} + \frac{(2x)^3}{3} - \cdots = 2x - 2x^2 + \frac{8x^3}{3} - \cdots$
>
> Gäller för $|2x| < 1$, dvs. $|x| < \frac{1}{2}$.
### 8.2 Addition och subtraktion
> [!example]- Exempel: Maclaurinutveckling av $\cosh x = \frac{e^x + e^{-x}}{2}$
> $e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + \cdots$
>
> $e^{-x} = 1 - x + \frac{x^2}{2!} - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots$
>
> Addera:
>
> $e^x + e^{-x} = 2 + 2\frac{x^2}{2!} + 2\frac{x^4}{4!} + \cdots$
>
> (alla udda termer tar ut varandra)
>
> $\cosh x = \frac{e^x + e^{-x}}{2} = 1 + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} + \cdots$
### 8.3 Multiplikation
> [!example]- Exempel: Maclaurinutveckling av $e^x \sin x$ till och med $x^4$
> $e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + \frac{x^4}{24} + \cdots$
>
> $\sin x = x - \frac{x^3}{6} + \cdots$
>
> Multiplicera (och behåll termer upp till $x^4$):
>
> $e^x \sin x = \left(1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + \cdots\right)\left(x - \frac{x^3}{6} + \cdots\right)$
>
> | Bidrag | Resultat |
> |---|---|
> | $1 \cdot x$ | $x$ |
> | $x \cdot x = x^2$ | $x^2$ |
> | $\frac{x^2}{2} \cdot x = \frac{x^3}{2}$ | $\frac{x^3}{2}$ |
> | $1 \cdot \left(-\frac{x^3}{6}\right)$ | $-\frac{x^3}{6}$ |
> | $\frac{x^3}{6} \cdot x = \frac{x^4}{6}$ | $\frac{x^4}{6}$ |
> | $x \cdot \left(-\frac{x^3}{6}\right) = -\frac{x^4}{6}$ | $-\frac{x^4}{6}$ |
> | $\frac{x^2}{2} \cdot x^2 = \frac{x^4}{2}$ — nej, $\sin x$ har ej $x^2$-term | — |
> | $\frac{x^4}{24} \cdot x^0$ — nej, $\sin x$ har ej konstant term | — |
>
> Samla termer:
>
> $e^x \sin x = x + x^2 + \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{6}\right)x^3 + \left(\frac{1}{6} - \frac{1}{6}\right)x^4 + \cdots$
>
> $= x + x^2 + \frac{1}{3}x^3 + O(x^5)$
### 8.4 O-notation (stora ordo)
Vi skriver $f(x) = T_n(x) + O((x-a)^{n+1})$ för att ange att resttermen är av ordning $(x-a)^{n+1}$ nära $a$. Formellt:
$f(x) = g(x) + O(x^m) \quad \text{betyder att} \quad \frac{f(x) - g(x)}{x^m} \text{ är begränsad nära } x = 0$
**Praktisk tolkning:** $O(x^m)$ representerar "termer av grad $\geq m$ som vi inte bryr oss om".
> [!tip]- Räkneregler för O-notation
> | Regel | Exempel |
> |---|---|
> | $x^k \cdot O(x^m) = O(x^{k+m})$ | $x^2 \cdot O(x^3) = O(x^5)$ |
> | $O(x^m) + O(x^m) = O(x^m)$ | $O(x^3) + O(x^3) = O(x^3)$ |
> | $O(x^m) + O(x^k) = O(x^{\min(m,k)})$ | $O(x^3) + O(x^5) = O(x^3)$ |
> | $c \cdot O(x^m) = O(x^m)$ | $5 \cdot O(x^4) = O(x^4)$ |
> [!example]- Exempel: O-notation i praktiken
> $\sin x = x - \frac{x^3}{6} + O(x^5)$
>
> $e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2} + O(x^3)$
>
> $\ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + O(x^3)$
>
> Dessa uttryck säger att vi har med alla termer upp till och med en viss grad, och resten ("felet") är av nästa ordning.
---
## 9. Gränsvärdesberäkning med Taylor
### 9.1 Strategi
Taylorutvecklingar är ett kraftfullt alternativ till L'Hopitals regel för att beräkna gränsvärden av typen $\frac{0}{0}$.
**Metod:**
1. Identifiera vilka funktioner som behöver utvecklas
2. Bestäm hur många termer som behövs (tillräckligt för att bryta $\frac{0}{0}$)
3. Ersätt funktionerna med Taylorutvecklingar
4. Förenkla och beräkna gränsvärdet
> [!tip]- Hur många termer behövs?
> **Tumregel:** Utveckla tillräckligt många termer så att täljare och nämnare inte båda blir noll. Ofta räcker det att gå en grad längre än den "trivials" utslackningen.
### 9.2 Genomarbetade exempel
> [!example]- Exempel: $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x - x}{x^3}$
> **Taylorutveckling:**
>
> $\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots = x - \frac{x^3}{6} + O(x^5)$
>
> **Insättning:**
>
> $\frac{\sin x - x}{x^3} = \frac{\left(x - \frac{x^3}{6} + O(x^5)\right) - x}{x^3} = \frac{-\frac{x^3}{6} + O(x^5)}{x^3}$
>
> $= -\frac{1}{6} + O(x^2)$
>
> **Gränsvärde:**
>
> $\boxed{\lim_{x \to 0} \frac{\sin x - x}{x^3} = -\frac{1}{6}}$
>
> **Jämförelse med L'Hopital:** Samma gränsvärde kräver tre tillämpningar av L'Hopitals regel, vilket är betydligt mer arbete.
> [!example]- Exempel: $\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1 - x}{x^2}$
> **Taylorutveckling:**
>
> $e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + \cdots$
>
> **Insättning:**
>
> $\frac{e^x - 1 - x}{x^2} = \frac{\left(1 + x + \frac{x^2}{2} + O(x^3)\right) - 1 - x}{x^2} = \frac{\frac{x^2}{2} + O(x^3)}{x^2} = \frac{1}{2} + O(x)$
>
> **Gränsvärde:**
>
> $\boxed{\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1 - x}{x^2} = \frac{1}{2}}$
> [!example]- Exempel: $\lim_{x \to 0} \frac{\cos x - 1 + \frac{x^2}{2}}{x^4}$
> **Taylorutveckling av $\cos x$ till ordning 4:**
>
> $\cos x = 1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} + O(x^6)$
>
> **Insättning:**
>
> $\frac{\cos x - 1 + \frac{x^2}{2}}{x^4} = \frac{\left(1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} + O(x^6)\right) - 1 + \frac{x^2}{2}}{x^4} = \frac{\frac{x^4}{24} + O(x^6)}{x^4}$
>
> $= \frac{1}{24} + O(x^2)$
>
> **Gränsvärde:**
>
> $\boxed{\lim_{x \to 0} \frac{\cos x - 1 + \frac{x^2}{2}}{x^4} = \frac{1}{24}}$
> [!example]- Exempel: $\lim_{x \to 0} \frac{\tan x - \sin x}{x^3}$
> **Taylorutvecklingar:**
>
> $\sin x = x - \frac{x^3}{6} + O(x^5)$
>
> $\cos x = 1 - \frac{x^2}{2} + O(x^4)$
>
> $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$
>
> Vi beräknar $\tan x$ genom att utveckla $\frac{\sin x}{\cos x}$ med polynomdivision, eller enklare — använd den kända utvecklingen:
>
> $\tan x = x + \frac{x^3}{3} + O(x^5)$
>
> **Insättning:**
>
> $\frac{\tan x - \sin x}{x^3} = \frac{\left(x + \frac{x^3}{3} + O(x^5)\right) - \left(x - \frac{x^3}{6} + O(x^5)\right)}{x^3}$
>
> $= \frac{\frac{x^3}{3} + \frac{x^3}{6} + O(x^5)}{x^3} = \frac{\frac{x^3}{2} + O(x^5)}{x^3} = \frac{1}{2} + O(x^2)$
>
> **Gränsvärde:**
>
> $\boxed{\lim_{x \to 0} \frac{\tan x - \sin x}{x^3} = \frac{1}{2}}$
> [!example]- Exempel: $\lim_{x \to 0} \frac{e^x - e^{-x} - 2x}{x - \sin x}$
> **Taylorutvecklingar:**
>
> $e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + O(x^4)$
>
> $e^{-x} = 1 - x + \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{6} + O(x^4)$
>
> **Täljare:**
>
> $e^x - e^{-x} - 2x = \left(2x + \frac{2x^3}{6} + O(x^5)\right) - 2x = \frac{x^3}{3} + O(x^5)$
>
> **Nämnare:**
>
> $x - \sin x = x - \left(x - \frac{x^3}{6} + O(x^5)\right) = \frac{x^3}{6} + O(x^5)$
>
> **Kvot:**
>
> $\frac{\frac{x^3}{3} + O(x^5)}{\frac{x^3}{6} + O(x^5)} = \frac{\frac{1}{3} + O(x^2)}{\frac{1}{6} + O(x^2)} \to \frac{1/3}{1/6} = 2$
>
> **Gränsvärde:**
>
> $\boxed{\lim_{x \to 0} \frac{e^x - e^{-x} - 2x}{x - \sin x} = 2}$
---
## 10. Minnesregler
### 10.1 Översikt
| Funktion | Vilka termer? | Tecken | Nämnare | Konvergensområde |
|---|---|---|---|---|
| $e^x$ | Alla ($x^0, x^1, x^2, \dots$) | Alla **positiva** | $n!$ | Alla $x$ |
| $\sin x$ | Bara **udda** ($x, x^3, x^5, \dots$) | **Alternerande** ($+, -, +, -$) | $(2n+1)!$ | Alla $x$ |
| $\cos x$ | Bara **jämna** ($1, x^2, x^4, \dots$) | **Alternerande** ($+, -, +, -$) | $(2n)!$ | Alla $x$ |
| $\ln(1+x)$ | Alla ($x, x^2, x^3, \dots$) | **Alternerande** ($+, -, +, -$) | $n$ **(EJ $n!$)** | $(-1, 1]$ |
| $\frac{1}{1-x}$ | Alla ($1, x, x^2, \dots$) | Alla **positiva** | $1$ (inga nämnare) | $(-1, 1)$ |
### 10.2 Mnemoniska knep
> [!tip]- Kom ihåg: sin och cos
> **sin** = "**s**amtliga **u**dda **n**aturtals-exponenter" — tänk "**s.u.n.**" = $x, x^3, x^5, \dots$
>
> **cos** = "börjar med **1** och har **j**ämna exponenter" — tänk att **c**os börjar på **c** = **c**onstant term
>
> Bägge har **alternerande tecken** och **fakultet** i nämnaren.
> [!tip]- Kom ihåg: $\ln(1+x)$ vs $e^x$
> - $e^x$: Allt positivt, delar med $n!$ — den "snällaste" serien
> - $\ln(1+x)$: Alternerande tecken, delar med bara $n$ — den "långsammaste" serien
>
> **Varning:** Förväxla aldrig $n!$ med $n$ i nämnaren!
> [!tip]- Derivata-koppling
> Notera att:
> - $(\sin x)' = \cos x$: om du deriverar $\sin x$-serien termvis får du precis $\cos x$-serien
> - $(\cos x)' = -\sin x$: om du deriverar $\cos x$-serien termvis får du $-\sin x$-serien
> - $(e^x)' = e^x$: $e^x$-serien är sin egen derivata
> - $(\ln(1+x))' = \frac{1}{1+x} = \frac{1}{1-(-x)}$: derivatan av $\ln(1+x)$-serien ger den geometriska serien med $-x$
---
## Resurser
### Videor
- [3Blue1Brown: Taylor series (kap 11)](https://youtu.be/3d6DsjIBzJ4) — visuell förklaring av Taylorserier och varför de fungerar
- [3Blue1Brown: What is Euler's formula actually saying?](https://youtu.be/v0YEaeIClKY) — koppling mellan $e^x$, $\sin x$ och $\cos x$ via Taylorserier
### Wikipedia
- [Talföljd](https://sv.wikipedia.org/wiki/Talf%C3%B6ljd) / [Sequence](https://en.wikipedia.org/wiki/Sequence)
- [Serie (matematik)](https://sv.wikipedia.org/wiki/Serie_(matematik)) / [Series (mathematics)](https://en.wikipedia.org/wiki/Series_(mathematics))
- [Geometrisk serie](https://sv.wikipedia.org/wiki/Geometrisk_serie) / [Geometric series](https://en.wikipedia.org/wiki/Geometric_series)
- [Matematisk induktion](https://sv.wikipedia.org/wiki/Matematisk_induktion) / [Mathematical induction](https://en.wikipedia.org/wiki/Mathematical_induction)
- [Binomialsatsen](https://sv.wikipedia.org/wiki/Binomialsatsen) / [Binomial theorem](https://en.wikipedia.org/wiki/Binomial_theorem)
- [Taylorserie](https://sv.wikipedia.org/wiki/Taylorserie) / [Taylor series](https://en.wikipedia.org/wiki/Taylor_series)
- [Pascals triangel](https://sv.wikipedia.org/wiki/Pascals_triangel) / [Pascal's triangle](https://en.wikipedia.org/wiki/Pascal%27s_triangle)