# Tillämpning av derivata > **Modul:** M5 · **Ämne:** Envariabelanalys 1 > **Förkunskaper:** Derivering ([[M4 M0065M]]) --- ## Ordlista svenska ↔ engelska | Svenska | Engelska | |---|---| | Extremvärde | Extreme value | | Lokalt maximum | Local maximum | | Lokalt minimum | Local minimum | | Stationär punkt | Stationary point | | Kritisk punkt | Critical point | | Medelvärdessatsen | Mean value theorem | | Rolles sats | Rolle's theorem | | Konvex | Convex | | Konkav | Concave | | Inflexionspunkt | Inflection point | | Asymptot | Asymptote | | Horisontell asymptot | Horizontal asymptote | | Vertikal asymptot | Vertical asymptote | | Sned asymptot | Oblique asymptote | | Kurvskissning | Curve sketching | | Optimering | Optimization | | L'Hôpitals regel | L'Hôpital's rule | | Växande | Increasing | | Avtagande | Decreasing | --- ## 1. Lokala extremvärden ### 1.1 Definitioner > [!abstract] Definition: Lokalt maximum och minimum > En funktion $f$ har ett **lokalt maximum** i $c$ om det finns ett öppet intervall $(c - \delta, c + \delta)$ sådant att > > $f(c) \geq f(x) \quad \text{för alla } x \in (c - \delta, c + \delta)$ > > Analogt har $f$ ett **lokalt minimum** i $c$ om > > $f(c) \leq f(x) \quad \text{för alla } x \in (c - \delta, c + \delta)$ > > Gemensamt kallas dessa **lokala extremvärden**. **Intuition:** Ett lokalt maximum är en "topp" — funktionen är som störst i en omgivning. Ett lokalt minimum är en "dal" — funktionen är som minst i en omgivning. Det behöver inte vara det allra största/minsta värdet globalt. --- ### 1.2 Fermats sats > [!theorem] Fermats sats > Om $f$ har ett lokalt extremvärde i $c$ och $f'(c)$ existerar, då gäller: > > $\boxed{f'(c) = 0}$ **Varför?** Om $f$ har lokalt max i $c$ och $f'(c)$ existerar, så kan derivatan varken vara positiv (då skulle $f$ växa och $c$ vore inget max) eller negativ (då skulle $f$ ha varit större precis innan $c$). Alltså måste $f'(c) = 0$. > [!warning] Fermats sats ger ett nödvändigt villkor — inte tillräckligt! > Att $f'(c) = 0$ garanterar **inte** att $f$ har extremvärde i $c$. Exempelvis har $f(x) = x^3$ derivatan $f'(0) = 0$, men $x = 0$ är **inget** extremvärde (funktionen växer genom origo). > > Dessutom kan extremvärden förekomma där derivatan **inte existerar**, t.ex. $f(x) = |x|$ har minimum i $x = 0$ men $f'(0)$ existerar inte. --- ### 1.3 Kritiska punkter > [!abstract] Definition: Kritisk punkt > En punkt $c$ i definitionsmängden för $f$ kallas en **kritisk punkt** (eller **stationär punkt** om $f'(c) = 0$) om > > $f'(c) = 0 \quad \text{eller} \quad f'(c) \text{ existerar inte}$ $\boxed{\text{Lokalt extremvärde} \implies f'(c) = 0 \text{ (om derivatan existerar)}}$ Fermats sats säger alltså: **alla lokala extremvärden ligger i kritiska punkter**. Men inte alla kritiska punkter ger extremvärden — vi måste undersöka vidare. > [!example]- Exempel: Hitta kritiska punkter > Bestäm de kritiska punkterna för $f(x) = 2x^3 - 3x^2 - 12x + 5$. > > **Lösning:** > > $f'(x) = 6x^2 - 6x - 12 = 6(x^2 - x - 2) = 6(x-2)(x+1)$ > > Sätt $f'(x) = 0$: > > $6(x-2)(x+1) = 0 \implies x = 2 \text{ eller } x = -1$ > > Derivatan existerar överallt (polynom), så de **kritiska punkterna** är $x = -1$ och $x = 2$. --- ## 2. Växande och avtagande funktioner ### 2.1 Derivatans tecken och monotoni Derivatans tecken avgör om funktionen växer eller avtar: | Villkor på intervall $I$ | Slutsats | |---|---| | $f'(x) > 0$ för alla $x \in I$ | $f$ är **strängt växande** på $I$ | | $f'(x) < 0$ för alla $x \in I$ | $f$ är **strängt avtagande** på $I$ | | $f'(x) = 0$ för alla $x \in I$ | $f$ är **konstant** på $I$ | **Varför?** Om $f'(x) > 0$ på $I$ och $a < b$ i $I$, så ger medelvärdessatsen (se avsnitt 3) att $f(b) - f(a) = f'(c)(b-a)$ för något $c \in (a,b)$. Eftersom $f'(c) > 0$ och $b - a > 0$ följer $f(b) > f(a)$, dvs. $f$ växer. --- ### 2.2 Första derivatatests för lokala extremvärden > [!theorem] Första derivatatest > Antag att $c$ är en kritisk punkt till $f$ och att $f$ är kontinuerlig i $c$. > > - Om $f'$ byter tecken från **positivt till negativt** vid $c$ $\implies$ $f$ har **lokalt maximum** i $c$. > - Om $f'$ byter tecken från **negativt till positivt** vid $c$ $\implies$ $f$ har **lokalt minimum** i $c$. > - Om $f'$ **inte byter tecken** vid $c$ $\implies$ $f$ har **inget extremvärde** i $c$. **Intuition:** Om $f$ växer (positiv derivata) till vänster om $c$ och sedan avtar (negativ derivata) till höger, så måste $c$ vara en topp. > [!example]- Exempel: Första derivatatest > Klassificera de kritiska punkterna för $f(x) = 2x^3 - 3x^2 - 12x + 5$. > > **Lösning:** Från avsnitt 1.3 vet vi att $f'(x) = 6(x-2)(x+1)$. Kritiska punkter: $x = -1$ och $x = 2$. > > **Teckentabell för $f'(x)$:** > > | Intervall | $(x-2)$ | $(x+1)$ | $f'(x)$ | $f$ | > |---|---|---|---|---| > | $x < -1$ | $-$ | $-$ | $+$ | Växande | > | $-1 < x < 2$ | $-$ | $+$ | $-$ | Avtagande | > | $x > 2$ | $+$ | $+$ | $+$ | Växande | > > - Vid $x = -1$: $f'$ byter från $+$ till $-$ $\implies$ **lokalt maximum**. > $f(-1) = 2(-1)^3 - 3(-1)^2 - 12(-1) + 5 = -2 - 3 + 12 + 5 = 12$ > > - Vid $x = 2$: $f'$ byter från $-$ till $+$ $\implies$ **lokalt minimum**. > $f(2) = 2(8) - 3(4) - 12(2) + 5 = 16 - 12 - 24 + 5 = -15$ > > **Svar:** Lokalt maximum $f(-1) = 12$, lokalt minimum $f(2) = -15$. --- ## 3. Medelvärdessatsen (Mean Value Theorem) ### 3.1 Rolles sats > [!theorem] Rolles sats > Om $f$ är > 1. kontinuerlig på $[a, b]$, > 2. deriverbar på $(a, b)$, och > 3. $f(a) = f(b)$, > > så finns det minst ett $c \in (a, b)$ sådant att $f'(c) = 0$. **Geometrisk tolkning:** Om en kontinuerlig kurva börjar och slutar på samma höjd, så måste den ha en horisontell tangent någonstans däremellan. --- ### 3.2 Medelvärdessatsen > [!theorem] Medelvärdessatsen (MVT) > Om $f$ är > 1. kontinuerlig på $[a, b]$, och > 2. deriverbar på $(a, b)$, > > så finns det minst ett $c \in (a, b)$ sådant att > > $\boxed{f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}}$ **Geometrisk tolkning:** Det finns minst en punkt $c$ i det öppna intervallet där **tangentens lutning** är lika med **sekantens lutning** mellan $(a, f(a))$ och $(b, f(b))$. > [!note]- Rolles sats som specialfall > Rolles sats är specialfallet av medelvärdessatsen när $f(a) = f(b)$, ty då: > > $f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a} = \frac{0}{b - a} = 0$ > [!example]- Exempel: Medelvärdessatsen > Verifiera medelvärdessatsen för $f(x) = x^3 - x$ på intervallet $[0, 2]$. > > **Lösning:** > > $f$ är ett polynom, alltså kontinuerligt på $[0, 2]$ och deriverbart på $(0, 2)$. Förutsättningarna är uppfyllda. > > **Beräkna sekantens lutning:** > > $\frac{f(2) - f(0)}{2 - 0} = \frac{(8 - 2) - (0)}{2} = \frac{6}{2} = 3$ > > **Hitta $c$:** Vi söker $c \in (0, 2)$ sådant att $f'(c) = 3$. > > $f'(x) = 3x^2 - 1$ > > $3c^2 - 1 = 3 \implies c^2 = \frac{4}{3} \implies c = \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{3} \approx 1{,}15$ > > Kontroll: $c \approx 1{,}15 \in (0, 2)$ ✓ > [!example]- Exempel: Tillämpa MVT för att visa en olikhet > Visa att $\sin x < x$ för alla $x > 0$. > > **Lösning:** Låt $f(t) = \sin t$ på $[0, x]$ där $x > 0$. > > Enligt medelvärdessatsen finns $c \in (0, x)$ sådant att: > > $\frac{\sin x - \sin 0}{x - 0} = \cos c$ > > Alltså $\sin x = x \cos c$. Eftersom $c \in (0, x)$ och $\cos c < 1$ för $c > 0$ (åtminstone för tillräckligt små $c$), får vi för $0 < x \leq \pi/2$: > > $\sin x = x \cos c < x$ > > (För $x > \pi/2$ gäller $\sin x \leq 1 < \pi/2 < x$.) --- ## 4. Andraderivatatest > [!theorem] Andraderivatatest > Antag att $f''$ är kontinuerlig nära $c$ och att $f'(c) = 0$. > > | Villkor | Slutsats | > |---|---| > | $f'(c) = 0$ och $f''(c) > 0$ | $f$ har **lokalt minimum** i $c$ | > | $f'(c) = 0$ och $f''(c) < 0$ | $f$ har **lokalt maximum** i $c$ | > | $f'(c) = 0$ och $f''(c) = 0$ | Testet ger **inget svar** — undersök vidare! | **Intuition:** Om $f'(c) = 0$ och $f''(c) > 0$ så böjer kurvan uppåt vid $c$, som en "skål" — alltså lokalt minimum. Om $f''(c) < 0$ böjer den nedåt, som en "kulle" — alltså lokalt maximum. > [!warning] När andraderivatatest misslyckas > Om $f'(c) = 0$ och $f''(c) = 0$ kan allt hända: > - $f(x) = x^4$: minimum i $x = 0$ (även om $f''(0) = 0$) > - $f(x) = -x^4$: maximum i $x = 0$ > - $f(x) = x^3$: inget extremvärde i $x = 0$ > > I dessa fall måste man använda första derivatatest (teckentabell) istället. > [!example]- Exempel: Andraderivatatest > Klassificera de kritiska punkterna för $f(x) = 3x^4 - 4x^3 - 12x^2 + 5$. > > **Lösning:** > > $f'(x) = 12x^3 - 12x^2 - 24x = 12x(x^2 - x - 2) = 12x(x-2)(x+1)$ > > Kritiska punkter: $x = 0$, $x = 2$, $x = -1$. > > $f''(x) = 36x^2 - 24x - 24$ > > | Kritisk punkt $c$ | $f''(c)$ | Tecken | Slutsats | > |---|---|---|---| > | $c = -1$ | $36 + 24 - 24 = 36$ | $+$ | Lokalt minimum | > | $c = 0$ | $0 - 0 - 24 = -24$ | $-$ | Lokalt maximum | > | $c = 2$ | $144 - 48 - 24 = 72$ | $+$ | Lokalt minimum | > > Funktionsvärden: > - $f(-1) = 3 + 4 - 12 + 5 = 0$ > - $f(0) = 5$ > - $f(2) = 48 - 32 - 48 + 5 = -27$ > > **Svar:** Lokalt max $f(0) = 5$, lokala min $f(-1) = 0$ och $f(2) = -27$. --- ## 5. Globala (absoluta) extremvärden ### 5.1 Extremvärdessatsen > [!theorem] Extremvärdessatsen > Om $f$ är **kontinuerlig** på ett **slutet, begränsat** intervall $[a, b]$, så antar $f$ sitt **största** och **minsta** värde på $[a, b]$. **Varför krävs slutet intervall?** På det öppna intervallet $(0, 1)$ har funktionen $f(x) = x$ varken max eller min (den "närmar sig" 0 och 1 men antar aldrig dessa värden). Det slutna intervallet säkerställer att ändpunkterna ingår. --- ### 5.2 Metod: Hitta globala extremvärden på $[a, b]$ > [!important] Metod: Globala extremvärden på slutet intervall > **Steg 1:** Beräkna $f'(x)$ och hitta alla kritiska punkter i $(a, b)$. > > **Steg 2:** Beräkna $f$ i varje kritisk punkt och i ändpunkterna $a$ och $b$. > > **Steg 3:** Det **största** värdet är det globala maximum, det **minsta** är det globala minimum. > [!example]- Exempel: Globala extremvärden > Bestäm de globala extremvärdena för $f(x) = x^3 - 3x + 1$ på $[-2, 3]$. > > **Lösning:** > > **Steg 1:** $f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x^2 - 1) = 3(x-1)(x+1)$. > > $f'(x) = 0 \implies x = -1$ eller $x = 1$. Båda ligger i $(-2, 3)$. > > **Steg 2:** Beräkna funktionsvärden: > > | Punkt | $f(x)$ | > |---|---| > | $x = -2$ (ändpunkt) | $(-2)^3 - 3(-2) + 1 = -8 + 6 + 1 = -1$ | > | $x = -1$ (kritisk) | $(-1)^3 - 3(-1) + 1 = -1 + 3 + 1 = 3$ | > | $x = 1$ (kritisk) | $1 - 3 + 1 = -1$ | > | $x = 3$ (ändpunkt) | $27 - 9 + 1 = 19$ | > > **Steg 3:** Jämför: > - **Globalt maximum:** $f(3) = 19$ (i ändpunkten $x = 3$) > - **Globalt minimum:** $f(-2) = f(1) = -1$ (antas i både en ändpunkt och en kritisk punkt) --- ## 6. Konvexitet och inflexionspunkter ### 6.1 Konvexitet > [!abstract] Definition: Konvex och konkav > Låt $f$ vara två gånger deriverbar på ett intervall $I$. > > - $f$ är **konvex** (böjer uppåt, "skålformad") på $I$ om $f''(x) > 0$ för alla $x \in I$. > - $f$ är **konkav** (böjer nedåt, "kulleformad") på $I$ om $f''(x) < 0$ för alla $x \in I$. | Egenskap | Konvex ($f'' > 0$) | Konkav ($f'' < 0$) | |---|---|---| | Form | Skål (öppnar uppåt) | Kulle (öppnar nedåt) | | Tangenter | Ligger **under** kurvan | Ligger **ovan** kurvan | | $f'$ | Växande | Avtagande | > [!tip] Minnesregel > **Konvex** = "Con-cave UP" = böjer uppåt. Tänk på en skål som kan hålla vatten. > > **Konkav** = böjer nedåt. Tänk på en kulle — vattnet rinner av. --- ### 6.2 Inflexionspunkter > [!abstract] Definition: Inflexionspunkt > En punkt $(c, f(c))$ är en **inflexionspunkt** om $f$ byter konvexitet vid $c$, dvs. $f''$ byter tecken vid $c$. $\boxed{\text{Inflexionspunkt: } f''(c) = 0 \text{ och teckenbyte i } f''}$ > [!warning] $f''(c) = 0$ räcker inte! > Exempelvis har $f(x) = x^4$ derivatan $f''(x) = 12x^2$, och $f''(0) = 0$, men $f''(x) \geq 0$ överallt — inget teckenbyte! Alltså är $(0, 0)$ **ingen** inflexionspunkt. > [!example]- Exempel: Konvexitet och inflexionspunkter > Bestäm konvexitetsintervall och inflexionspunkter för $f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 1$. > > **Lösning:** > > $f'(x) = 3x^2 - 12x + 9$ > $f''(x) = 6x - 12 = 6(x - 2)$ > > Sätt $f''(x) = 0$: $x = 2$. > > **Teckentabell för $f''(x)$:** > > | Intervall | $f''(x)$ | Konvexitet | > |---|---|---| > | $x < 2$ | $-$ | Konkav | > | $x > 2$ | $+$ | Konvex | > > $f''$ byter tecken vid $x = 2$, alltså är $(2, f(2))$ en inflexionspunkt. > > $f(2) = 8 - 24 + 18 + 1 = 3$. > > **Svar:** Inflexionspunkt i $(2, 3)$. Konkav på $(-\infty, 2)$, konvex på $(2, \infty)$. --- ## 7. Asymptoter ### 7.1 Horisontell asymptot > [!abstract] Definition: Horisontell asymptot > Linjen $y = L$ är en **horisontell asymptot** till grafen av $f$ om > > $\lim_{x \to +\infty} f(x) = L \quad \text{eller} \quad \lim_{x \to -\infty} f(x) = L$ En funktion kan ha 0, 1 eller 2 horisontella asymptoter (en för $x \to +\infty$ och en för $x \to -\infty$). --- ### 7.2 Vertikal asymptot > [!abstract] Definition: Vertikal asymptot > Linjen $x = a$ är en **vertikal asymptot** till grafen av $f$ om > > $\lim_{x \to a^+} f(x) = \pm\infty \quad \text{eller} \quad \lim_{x \to a^-} f(x) = \pm\infty$ Vertikala asymptoter uppstår typiskt där nämnaren i en rationell funktion är noll. --- ### 7.3 Sned (oblique) asymptot > [!abstract] Definition: Sned asymptot > Linjen $y = kx + m$ är en **sned asymptot** till $f$ om > > $\lim_{x \to \pm\infty} [f(x) - (kx + m)] = 0$ > > Koefficienterna bestäms av: > > $k = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{f(x)}{x}, \qquad m = \lim_{x \to \pm\infty} [f(x) - kx]$ > [!note]- Sneda vs horisontella asymptoter > En horisontell asymptot $y = L$ är specialfallet $k = 0$, $m = L$. > > En funktion kan inte ha både en horisontell och en sned asymptot i samma riktning ($x \to +\infty$ eller $x \to -\infty$). > [!example]- Exempel: Bestäm alla asymptoter > Bestäm alla asymptoter till $f(x) = \dfrac{x^2 + 1}{x - 1}$. > > **Lösning:** > > **Vertikal asymptot:** Nämnaren $= 0$ när $x = 1$. > > $\lim_{x \to 1^+} \frac{x^2 + 1}{x - 1} = \frac{2}{0^+} = +\infty, \qquad \lim_{x \to 1^-} \frac{x^2 + 1}{x - 1} = \frac{2}{0^-} = -\infty$ > > Vertikal asymptot: $x = 1$. > > **Horisontell asymptot:** Täljargradenen ($2$) gt;$ nämnargraden ($1$), så ingen horisontell asymptot. > > **Sned asymptot:** Polynomdivision: > > $\frac{x^2 + 1}{x - 1} = x + 1 + \frac{2}{x - 1}$ > > När $x \to \pm\infty$: $\frac{2}{x-1} \to 0$, alltså: > > $f(x) \to x + 1$ > > Sned asymptot: $y = x + 1$. > > Alternativt med formlerna: > - $k = \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to \infty} \frac{x^2 + 1}{x(x-1)} = \lim_{x \to \infty} \frac{x^2 + 1}{x^2 - x} = 1$ > - $m = \lim_{x \to \infty} [f(x) - x] = \lim_{x \to \infty} \left[\frac{x^2 + 1}{x-1} - x\right] = \lim_{x \to \infty} \frac{x^2 + 1 - x(x-1)}{x-1} = \lim_{x \to \infty} \frac{x + 1}{x - 1} = 1$ > > **Svar:** VA: $x = 1$. SA: $y = x + 1$. Ingen HA. --- ## 8. Fullständig kurvskissning > [!important] Systematisk metod för kurvskissning > Följ dessa steg i ordning: > > 1. **Definitionsmängd:** Var är $f$ definierad? > 2. **Symmetri:** Är $f$ jämn ($f(-x) = f(x)$) eller udda ($f(-x) = -f(x)$)? > 3. **Skärning med axlar:** Sätt $x = 0$ (y-skärning) och $f(x) = 0$ (x-skärningar). > 4. **Asymptoter:** Vertikala, horisontella, sneda. > 5. **$f'(x)$:** Kritiska punkter, teckentabell — växande/avtagande, lokala extremvärden. > 6. **$f''(x)$:** Konvexitet, inflexionspunkter. > 7. **Skissa kurvan** med all insamlad information. > [!example]- Exempel: Fullständig kurvskissning > Skissa $f(x) = \dfrac{x^2}{x^2 - 1}$. > > **1. Definitionsmängd:** $D_f = \mathbb{R} \setminus \{-1, 1\}$ (nämnaren $\neq 0$). > > **2. Symmetri:** $f(-x) = \frac{(-x)^2}{(-x)^2 - 1} = \frac{x^2}{x^2 - 1} = f(x)$. Funktionen är **jämn** — symmetrisk kring y-axeln. > > **3. Skärning med axlar:** > - y-skärning: $f(0) = 0/(0-1) = 0$. Punkten $(0, 0)$. > - x-skärning: $f(x) = 0 \implies x^2 = 0 \implies x = 0$. Enda x-skärning. > > **4. Asymptoter:** > - VA: $x = -1$ och $x = 1$ (nämnaren $= 0$, täljaren $\neq 0$). > - HA: $\lim_{x \to \pm\infty} \frac{x^2}{x^2 - 1} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{1}{1 - 1/x^2} = 1$. Horisontell asymptot $y = 1$. > - SA: Ingen (HA finns redan). > > **5. $f'(x)$:** Kvotregeln ger: > > $f'(x) = \frac{2x(x^2-1) - x^2 \cdot 2x}{(x^2-1)^2} = \frac{2x^3 - 2x - 2x^3}{(x^2-1)^2} = \frac{-2x}{(x^2-1)^2}$ > > $f'(x) = 0 \implies x = 0$. Teckentabell (notera att $(x^2-1)^2 > 0$ alltid): > > | Intervall | $-2x$ | $f'(x)$ | $f$ | > |---|---|---|---| > | $x < -1$ | $+$ | $+$ | Växande | > | $-1 < x < 0$ | $+$ | $+$ | Växande | > | $0 < x < 1$ | $-$ | $-$ | Avtagande | > | $x > 1$ | $-$ | $-$ | Avtagande | > > Lokalt maximum i $x = 0$: $f(0) = 0$. > > **6. $f''(x)$:** (vi noterar konvexiteten kvalitativt) > > Genom beräkning (utelämnas): $f$ är konvex på $(-1, 1)$ och konkav på $(-\infty, -1)$ och $(1, \infty)$... men mer precist behövs en fullständig beräkning av $f''$. Ingen inflexionspunkt (ingen punkt där $f''$ byter tecken inom ett sammanhängande intervall i $D_f$). > > **7. Skissen:** Kurvan > - passerar genom origo (lokalt max) med $f(0) = 0$, > - har vertikala asymptoter $x = \pm 1$ (kurvan $\to +\infty$ utanför, $\to -\infty$ innanför), > - närmar sig $y = 1$ från ovan/underifrån när $x \to \pm\infty$, > - är symmetrisk kring y-axeln. --- ## 9. Optimering (tillämpade extremvärdesproblem) ### 9.1 Metod > [!important] Strategi för optimeringsproblem > **Steg 1:** Identifiera den storhet som ska **maximeras eller minimeras**. Tilldela en variabel. > > **Steg 2:** Uttryck storheten som en funktion $f$ av **en enda variabel** (använd eventuella bivillkor för att eliminera andra variabler). > > **Steg 3:** Bestäm definitionsmängden (ett intervall, ofta slutet). > > **Steg 4:** Hitta extremvärdet med derivata (kritiska punkter, ändpunkter). > > **Steg 5:** Kontrollera att det verkligen är ett max/min (andraderivatatest, eller ändpunktsjämförelse, eller fysikaliskt resonemang). --- ### 9.2 Klassiska exempel > [!example]- Exempel: Rektangel med maximal area > En bonde har 200 meter stängsel och vill inhägna en rektangulär fålla mot en befintlig vägg. Vilka dimensioner ger **maximal area**? > > **Lösning:** > > Låt $x$ = sidan vinkelrätt mot väggen, $y$ = sidan parallellt med väggen. > > **Bivillkor (stängsel):** $2x + y = 200 \implies y = 200 - 2x$. > > **Målfunktion:** $A(x) = xy = x(200 - 2x) = 200x - 2x^2$. > > **Definitionsmängd:** $x > 0$ och $y > 0$, dvs. $0 < x < 100$, alltså $x \in (0, 100)$. > > **Derivata:** > > $A'(x) = 200 - 4x$ > > Sätt $A'(x) = 0$: $200 - 4x = 0 \implies x = 50$. > > **Kontroll:** $A''(x) = -4 < 0$, alltså **lokalt maximum** ✓. > > Dimensioner: $x = 50$ m, $y = 200 - 2(50) = 100$ m. > > $\boxed{A_{\max} = 50 \cdot 100 = 5000 \text{ m}^2}$ > [!example]- Exempel: Cylinder med maximal volym > En cylinder ska ha en total ytarea på $6\pi$ cm$^2$. Vilka dimensioner ger **maximal volym**? > > **Lösning:** > > Låt $r$ = radie, $h$ = höjd. > > **Bivillkor (ytarea):** $2\pi r^2 + 2\pi rh = 6\pi \implies r^2 + rh = 3 \implies h = \frac{3 - r^2}{r}$. > > **Målfunktion:** > > $V(r) = \pi r^2 h = \pi r^2 \cdot \frac{3 - r^2}{r} = \pi r(3 - r^2) = \pi(3r - r^3)$ > > **Definitionsmängd:** $r > 0$ och $h > 0$, dvs. $3 - r^2 > 0 \implies r < \sqrt{3}$, alltså $r \in (0, \sqrt{3})$. > > **Derivata:** > > $V'(r) = \pi(3 - 3r^2) = 3\pi(1 - r^2)$ > > Sätt $V'(r) = 0$: $1 - r^2 = 0 \implies r = 1$ (positiv rot). > > **Kontroll:** $V''(r) = -6\pi r$. Vid $r = 1$: $V''(1) = -6\pi < 0 \implies$ maximum ✓. > > Dimensioner: $r = 1$ cm, $h = \frac{3 - 1}{1} = 2$ cm. > > $\boxed{V_{\max} = \pi \cdot 1^2 \cdot 2 = 2\pi \text{ cm}^3}$ --- ## 10. L'Hôpitals regel ### 10.1 Satsen > [!theorem] L'Hôpitals regel > Antag att $\lim_{x \to a} f(x) = 0$ och $\lim_{x \to a} g(x) = 0$ (formen $\frac{0}{0}$), eller att båda gränsvärdena är $\pm\infty$ (formen $\frac{\infty}{\infty}$). > > Om $\lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}$ existerar (eller är $\pm\infty$), då gäller: > > $\boxed{\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}}$ > > Regeln gäller även för $a = \pm\infty$. > [!warning] Kontrollera förutsättningarna! > - **Innan** du tillämpar regeln: verifiera att kvoten verkligen är av obestämd form ($\frac{0}{0}$ eller $\frac{\infty}{\infty}$). > - Regeln säger **inte** att man deriverar kvoten (dvs. **inte** kvotregeln). Man deriverar täljare och nämnare **separat**. > - Om $\lim \frac{f'}{g'}$ inte existerar, säger regeln ingenting — men det ursprungliga gränsvärdet kan ändå existera. --- ### 10.2 Upprepat användande L'Hôpitals regel kan tillämpas **upprepade gånger** om resultatet fortfarande är en obestämd form. > [!example]- Exempel: Formen $\frac{0}{0}$ > Beräkna $\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{\sin x - x}{x^3}$. > > **Lösning:** > > Kontroll: $\frac{\sin 0 - 0}{0^3} = \frac{0}{0}$ ✓ — obestämd form. > > **Första tillämpningen:** > > $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x - x}{x^3} = \lim_{x \to 0} \frac{\cos x - 1}{3x^2}$ > > Kontroll: $\frac{\cos 0 - 1}{0} = \frac{0}{0}$ ✓ — tillämpa igen. > > **Andra tillämpningen:** > > $= \lim_{x \to 0} \frac{-\sin x}{6x}$ > > Kontroll: $\frac{0}{0}$ ✓ — tillämpa en tredje gång. > > **Tredje tillämpningen:** > > $= \lim_{x \to 0} \frac{-\cos x}{6} = \frac{-1}{6}$ > > $\boxed{\lim_{x \to 0} \frac{\sin x - x}{x^3} = -\frac{1}{6}}$ > [!example]- Exempel: Formen $\frac{\infty}{\infty}$ > Beräkna $\displaystyle\lim_{x \to \infty} \frac{x^2}{e^x}$. > > **Lösning:** > > Kontroll: $\frac{\infty}{\infty}$ ✓. > > $\lim_{x \to \infty} \frac{x^2}{e^x} = \lim_{x \to \infty} \frac{2x}{e^x} = \lim_{x \to \infty} \frac{2}{e^x} = 0$ > > $\boxed{\lim_{x \to \infty} \frac{x^2}{e^x} = 0}$ > > **Slutsats:** Exponentialfunktionen $e^x$ växer snabbare än varje polynom. --- ### 10.3 Andra obestämda former > [!tip] Omskrivning av andra obestämda former > L'Hôpitals regel gäller direkt bara för $\frac{0}{0}$ och $\frac{\infty}{\infty}$. Andra obestämda former skrivs om: > > | Obestämd form | Omskrivning | > |---|---| > | $0 \cdot \infty$ | Skriv om till $\frac{0}{1/\infty} = \frac{0}{0}$ eller $\frac{\infty}{1/0} = \frac{\infty}{\infty}$ | > | $\infty - \infty$ | Förläng/förenkla till gemensam bråkform | > | $1^\infty$ | Använd $\ln$: om $y = f^g$, beräkna $\lim \ln y = \lim g \ln f$ | > | $0^0$ | Använd $\ln$: samma teknik | > | $\infty^0$ | Använd $\ln$: samma teknik | > [!example]- Exempel: Formen $0 \cdot \infty$ > Beräkna $\displaystyle\lim_{x \to 0^+} x \ln x$. > > **Lösning:** > > Formen $0 \cdot (-\infty)$. Skriv om till $\frac{\infty}{\infty}$: > > $\lim_{x \to 0^+} x \ln x = \lim_{x \to 0^+} \frac{\ln x}{1/x} = \lim_{x \to 0^+} \frac{\ln x}{x^{-1}}$ > > Kontroll: $\frac{-\infty}{\infty}$ ✓. L'Hôpital: > > $= \lim_{x \to 0^+} \frac{1/x}{-x^{-2}} = \lim_{x \to 0^+} \frac{1/x}{-1/x^2} = \lim_{x \to 0^+} (-x) = 0$ > > $\boxed{\lim_{x \to 0^+} x \ln x = 0}$ > [!example]- Exempel: Formen $1^\infty$ > Beräkna $\displaystyle\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x$. > > **Lösning:** > > Formen $1^\infty$. Sätt $y = \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x$ och beräkna $\lim \ln y$: > > $\ln y = x \ln\left(1 + \frac{1}{x}\right) = \frac{\ln\left(1 + \frac{1}{x}\right)}{1/x}$ > > Kontroll: $\frac{0}{0}$ ✓ (när $x \to \infty$). L'Hôpital (med $t = 1/x$, $t \to 0^+$): > > $= \lim_{t \to 0^+} \frac{\ln(1+t)}{t} = \lim_{t \to 0^+} \frac{1/(1+t)}{1} = 1$ > > Alltså $\lim \ln y = 1$, och därmed: > > $\boxed{\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x = e^1 = e}$ --- ## Resurser ### Videor - [3Blue1Brown: Essence of Calculus (hela serien)](https://youtube.com/playlist?list=PLZHQObOWTQDMsr9K-rj53DwVRMYO3t5Yr) — visuell introduktion till all analys - [3Blue1Brown: The paradox of the derivative (kap 2)](https://youtu.be/9vKqVkMQHKk) — derivatans grundidé - [3Blue1Brown: L'Hôpital's rule](https://youtu.be/kfF40MiS7zA) — L'Hôpitals regel visuellt förklarad ### Wikipedia - [Extreme value theorem](https://en.wikipedia.org/wiki/Extreme_value_theorem) - [Mean value theorem](https://en.wikipedia.org/wiki/Mean_value_theorem) - [Rolle's theorem](https://en.wikipedia.org/wiki/Rolle%27s_theorem) - [Inflection point](https://en.wikipedia.org/wiki/Inflection_point) - [Convex function](https://en.wikipedia.org/wiki/Convex_function) - [Asymptote](https://en.wikipedia.org/wiki/Asymptote) - [L'Hôpital's rule](https://en.wikipedia.org/wiki/L%27H%C3%B4pital%27s_rule) - [Curve sketching](https://en.wikipedia.org/wiki/Curve_sketching) - [Optimization (mathematics)](https://en.wikipedia.org/wiki/Mathematical_optimization)