# Derivering > **Modul:** M4 · **Amne:** Envariabelanalys 1 > **Forkunskaper:** Gransvarden ([[M3 M0065M]]) --- ## Ordlista svenska <-> engelska | Svenska | Engelska | |---|---| | Derivata | Derivative | | Deriverbar | Differentiable | | Tangent | Tangent line | | Sekant | Secant line | | Kedjeregeln | Chain rule | | Produktregeln | Product rule | | Kvotregeln | Quotient rule | | Implicit derivering | Implicit differentiation | | Logaritmisk derivering | Logarithmic differentiation | | Hogre ordningens derivata | Higher-order derivative | | Invers funktion | Inverse function | | Hastighet | Velocity | | Acceleration | Acceleration | --- ## 1. Derivatans definition ### 1.1 Definition Derivatan av $f$ i punkten $a$ definieras som gransvardessatsen: $\boxed{f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}}$ Alternativ formulering (med substitutionen $x = a + h$): $f'(a) = \lim_{x \to a} \frac{f(x) - f(a)}{x - a}$ > [!note]- Notation > Det finns flera likvardiga beteckningar for derivatan: > > | Notation | Las som | > |----------|---------| > | $f'(x)$ | "f prim av x" | > | $\frac{df}{dx}$ | "df dx" (Leibniz notation) | > | $\frac{d}{dx}f(x)$ | "d dx av f av x" | > | $Df(x)$ | "D av f av x" | > | $\dot{y}$ | "y prick" (Newtons notation, vanlig i fysik) | ### 1.2 Geometrisk tolkning Kvoten $\frac{f(a+h) - f(a)}{h}$ ar **sekantlinjens** lutning genom punkterna $(a, f(a))$ och $(a+h, f(a+h))$. Nar $h \to 0$ gar sekantlinjen over till **tangentlinjen** i punkten $(a, f(a))$. **Tangentens ekvation** i punkten $(a, f(a))$: $\boxed{y = f(a) + f'(a)(x - a)}$ > [!example]- Exempel: Tangentens ekvation > Bestam tangentens ekvation till $f(x) = x^2$ i punkten $x = 3$. > > **Losning:** > > Vi har $f(3) = 9$ och $f'(x) = 2x$, sa $f'(3) = 6$. > > Tangentens ekvation: > > $y = f(3) + f'(3)(x - 3) = 9 + 6(x - 3) = 6x - 9$ ### 1.3 Deriverbarhet och kontinuitet > [!theorem] Sats: Deriverbarhet medfor kontinuitet > Om $f$ ar deriverbar i $a$, sa ar $f$ kontinuerlig i $a$. > > $f \text{ deriverbar i } a \implies f \text{ kontinuerlig i } a$ > [!warning]- Omvandningen galler EJ > Kontinuitet medfor **inte** deriverbarhet. Klassiskt motexempel: > > $f(x) = |x|$ ar kontinuerlig i $x = 0$ men **inte** deriverbar dar, eftersom > > $\lim_{h \to 0^+} \frac{|h| - 0}{h} = 1 \neq -1 = \lim_{h \to 0^-} \frac{|h| - 0}{h}$ > > Vanster- och hogerderivatan ar olika, sa derivatan existerar inte. > [!example]- Exempel: Derivata fran definitionen > Berakna $f'(x)$ for $f(x) = x^2$ med hjalp av definitionen. > > **Losning:** > > $f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{(x+h)^2 - x^2}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{x^2 + 2xh + h^2 - x^2}{h}$ > > $= \lim_{h \to 0} \frac{2xh + h^2}{h} = \lim_{h \to 0} (2x + h) = 2x$ > > Alltsa $f'(x) = 2x$. > [!example]- Exempel: Derivata av $\sqrt{x}$ fran definitionen > Berakna $f'(x)$ for $f(x) = \sqrt{x}$, $x > 0$. > > **Losning:** > > $f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{\sqrt{x+h} - \sqrt{x}}{h}$ > > Forlang med konjugatet: > > $= \lim_{h \to 0} \frac{(\sqrt{x+h} - \sqrt{x})(\sqrt{x+h} + \sqrt{x})}{h(\sqrt{x+h} + \sqrt{x})} = \lim_{h \to 0} \frac{(x+h) - x}{h(\sqrt{x+h} + \sqrt{x})}$ > > $= \lim_{h \to 0} \frac{1}{\sqrt{x+h} + \sqrt{x}} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$ --- ## 2. Grundlaggande deriveringsregler | Regel | Formel | |-------|--------| | Konstantregel | $(c)' = 0$ | | Potensregel | $(x^n)' = nx^{n-1}$ | | Konstantmultiplikation | $(cf)' = cf'$ | | Summaregel | $(f + g)' = f' + g'$ | | Differensregel | $(f - g)' = f' - g'$ | | Produktregeln | $(fg)' = f'g + fg'$ | | Kvotregeln | $\left(\dfrac{f}{g}\right)' = \dfrac{f'g - fg'}{g^2}$ | | Kedjeregeln | $(f \circ g)'(x) = f'(g(x)) \cdot g'(x)$ | > [!tip]- Minnesregel for produktregeln > "Derivatan av forsta ganger andra plus forsta ganger derivatan av andra." > > Skriv $(fg)' = f'g + fg'$ — tanka pa att man deriverar en faktor i taget. > [!tip]- Minnesregel for kvotregeln > "Taljaren deriverad ganger namnaren minus taljaren ganger namnaren deriverad, allt dividerat med namnaren i kvadrat." > > $\left(\frac{f}{g}\right)' = \frac{f'g - fg'}{g^2}$ > [!example]- Exempel: Produktregeln > Derivera $h(x) = x^2 \sin x$. > > **Losning:** > > Lat $f(x) = x^2$ och $g(x) = \sin x$. Da $f'(x) = 2x$ och $g'(x) = \cos x$. > > $h'(x) = f'(x)g(x) + f(x)g'(x) = 2x \sin x + x^2 \cos x$ > [!example]- Exempel: Kvotregeln > Derivera $h(x) = \dfrac{e^x}{x^2 + 1}$. > > **Losning:** > > Lat $f(x) = e^x$ och $g(x) = x^2 + 1$. Da $f'(x) = e^x$ och $g'(x) = 2x$. > > $h'(x) = \frac{e^x(x^2 + 1) - e^x \cdot 2x}{(x^2 + 1)^2} = \frac{e^x(x^2 - 2x + 1)}{(x^2 + 1)^2} = \frac{e^x(x-1)^2}{(x^2+1)^2}$ --- ## 3. Derivator av elementara funktioner ### 3.1 Tabell over standardderivator | $f(x)$ | $f'(x)$ | Kommentar | |---------|---------|-----------| | $c$ (konstant) | $0$ | | | $x^n$ | $nx^{n-1}$ | Galler for alla $n \in \mathbb{R}$ | | $e^x$ | $e^x$ | Enda funktionen som ar sin egen derivata | | $a^x$ | $a^x \ln a$ | $a > 0$, $a \neq 1$ | | $\ln x$ | $\dfrac{1}{x}$ | $x > 0$ | | $\log_a x$ | $\dfrac{1}{x \ln a}$ | $a > 0$, $a \neq 1$ | | $\sin x$ | $\cos x$ | | | $\cos x$ | $-\sin x$ | Notera minustecknet | | $\tan x$ | $\dfrac{1}{\cos^2 x} = 1 + \tan^2 x$ | | | $\arcsin x$ | $\dfrac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$ | $\lvert x \rvert < 1$ | | $\arccos x$ | $-\dfrac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$ | $\lvert x \rvert < 1$ | | $\arctan x$ | $\dfrac{1}{1 + x^2}$ | | | $\sinh x$ | $\cosh x$ | | | $\cosh x$ | $\sinh x$ | Notera: inget minustecken (till skillnad fran $\cos$) | | $\tanh x$ | $\dfrac{1}{\cosh^2 x}$ | | > [!note]- Harledning av $(\sin x)' = \cos x$ > Fran definitionen: > > $(\sin x)' = \lim_{h \to 0} \frac{\sin(x+h) - \sin x}{h}$ > > Anvand additionsformeln $\sin(x+h) = \sin x \cos h + \cos x \sin h$: > > $= \lim_{h \to 0} \frac{\sin x \cos h + \cos x \sin h - \sin x}{h}$ > > $= \lim_{h \to 0} \left[\sin x \cdot \frac{\cos h - 1}{h} + \cos x \cdot \frac{\sin h}{h}\right]$ > > Anvand standardgransvarena $\lim_{h \to 0} \frac{\sin h}{h} = 1$ och $\lim_{h \to 0} \frac{\cos h - 1}{h} = 0$: > > $= \sin x \cdot 0 + \cos x \cdot 1 = \cos x$ --- ## 4. Kedjeregeln (Chain Rule) ### 4.1 Formulering Om $y = f(u)$ och $u = g(x)$, sa ar: $\boxed{\frac{d}{dx}f(g(x)) = f'(g(x)) \cdot g'(x)}$ I **Leibniz notation**: $\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$ > [!tip]- Intuition > Man kan tanka pa kedjeregeln som att derivatan "kedjas" igenom funktionerna: den yttre funktionens derivata (utraknad i den inre funktionens varde) ganger den inre funktionens derivata. > > **"Yttre derivata ganger inre derivata."** ### 4.2 Exempel > [!example]- Exempel: Enkel kedjeregel > Derivera $h(x) = (3x + 1)^5$. > > **Losning:** > > Lat $f(u) = u^5$ (yttre) och $g(x) = 3x + 1$ (inre). > > $h'(x) = f'(g(x)) \cdot g'(x) = 5(3x+1)^4 \cdot 3 = 15(3x+1)^4$ > [!example]- Exempel: Kedjeregel med exponentialfunktion > Derivera $h(x) = e^{x^2}$. > > **Losning:** > > Yttre: $f(u) = e^u$, $f'(u) = e^u$. Inre: $g(x) = x^2$, $g'(x) = 2x$. > > $h'(x) = e^{x^2} \cdot 2x = 2xe^{x^2}$ > [!example]- Exempel: Kedjeregel med trigonometrisk funktion > Derivera $h(x) = \sin(x^3 + 2x)$. > > **Losning:** > > Yttre: $f(u) = \sin u$, $f'(u) = \cos u$. Inre: $g(x) = x^3 + 2x$, $g'(x) = 3x^2 + 2$. > > $h'(x) = \cos(x^3 + 2x) \cdot (3x^2 + 2)$ > [!example]- Exempel: Dubbel kedjeregel (nastlad) > Derivera $h(x) = e^{\sin(x^2)}$. > > **Losning:** > > Har har vi tre lager: $e^u$ dar $u = \sin v$ dar $v = x^2$. > > $h'(x) = e^{\sin(x^2)} \cdot \cos(x^2) \cdot 2x = 2x \cos(x^2) \cdot e^{\sin(x^2)}$ > > **Steg for steg:** > 1. Yttersta: $\frac{d}{du}e^u = e^u \implies e^{\sin(x^2)}$ > 2. Mellersta: $\frac{d}{dv}\sin v = \cos v \implies \cos(x^2)$ > 3. Innersta: $\frac{d}{dx}x^2 = 2x$ > > Multiplicera ihop alla tre. > [!example]- Exempel: Kedjeregeln med $\ln$ > Derivera $h(x) = \ln(\cos x)$. > > **Losning:** > > $h'(x) = \frac{1}{\cos x} \cdot (-\sin x) = -\frac{\sin x}{\cos x} = -\tan x$ --- ## 5. Implicit derivering ### 5.1 Nar anvands implicit derivering? Ibland ar $y$ inte givet explicit som en funktion av $x$, utan definieras **implicit** av en ekvation $F(x, y) = 0$. Da kan vi anda berakna $\frac{dy}{dx}$ genom att **derivera bada sidor** av ekvationen med avseende pa $x$ och sedan **losa for $\frac{dy}{dx}$**. ### 5.2 Metod 1. Derivera varje term i ekvationen med avseende pa $x$. 2. Nar du deriverar en term som innehaller $y$, anvand kedjeregeln: $\frac{d}{dx}f(y) = f'(y) \cdot \frac{dy}{dx}$. 3. Los for $\frac{dy}{dx}$. ### 5.3 Exempel > [!example]- Exempel: Cirkelns ekvation > Bestam $\frac{dy}{dx}$ om $x^2 + y^2 = r^2$. > > **Losning:** > > Derivera bada sidor med avseende pa $x$: > > $\frac{d}{dx}(x^2) + \frac{d}{dx}(y^2) = \frac{d}{dx}(r^2)$ > > $2x + 2y \cdot \frac{dy}{dx} = 0$ > > Los for $\frac{dy}{dx}$: > > $\boxed{\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}}$ > > **Geometrisk tolkning:** For cirkeln $x^2 + y^2 = r^2$ ar tangentens lutning i punkten $(x_0, y_0)$ lika med $-x_0/y_0$, vilket ar vinkelratt mot radien genom samma punkt. > [!example]- Exempel: Implicit derivering med blandade termer > Bestam $\frac{dy}{dx}$ om $x^3 + y^3 = 6xy$. > > **Losning:** > > Derivera bada sidor med avseende pa $x$: > > $3x^2 + 3y^2 \cdot \frac{dy}{dx} = 6y + 6x \cdot \frac{dy}{dx}$ > > (Hogra ledet: produktregeln pa $6xy$, dar $y$ beror pa $x$.) > > Samla $\frac{dy}{dx}$-termerna: > > $3y^2 \frac{dy}{dx} - 6x \frac{dy}{dx} = 6y - 3x^2$ > > $(3y^2 - 6x)\frac{dy}{dx} = 6y - 3x^2$ > > $\frac{dy}{dx} = \frac{6y - 3x^2}{3y^2 - 6x} = \frac{2y - x^2}{y^2 - 2x}$ > [!example]- Exempel: Implicit derivering med exponentialfunktion > Bestam $\frac{dy}{dx}$ om $e^y = x + y$. > > **Losning:** > > Derivera: > > $e^y \cdot \frac{dy}{dx} = 1 + \frac{dy}{dx}$ > > $(e^y - 1)\frac{dy}{dx} = 1$ > > $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{e^y - 1}$ --- ## 6. Derivata av invers funktion ### 6.1 Sats Om $f$ ar en inverterbar och deriverbar funktion med $f'(f^{-1}(b)) \neq 0$, sa ar den inversa funktionen $f^{-1}$ deriverbar i $b$ och: $\boxed{(f^{-1})'(b) = \frac{1}{f'(f^{-1}(b))}}$ ### 6.2 Harledning Fran identiteten $f(f^{-1}(x)) = x$ tillampas kedjeregeln: $f'(f^{-1}(x)) \cdot (f^{-1})'(x) = 1$ Delat med $f'(f^{-1}(x))$: $(f^{-1})'(x) = \frac{1}{f'(f^{-1}(x))}$ > [!note]- Geometrisk tolkning > Om grafen till $f$ har lutning $k$ i en punkt, sa har grafen till $f^{-1}$ (som ar spegling i linjen $y = x$) lutning $1/k$ i den speglade punkten. ### 6.3 Tillampning: Harled derivatan av arcusfunktioner > [!example]- Harledning: $(\arcsin x)' = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$ > Lat $f(x) = \sin x$ sa $f^{-1}(x) = \arcsin x$. > > Fran satsen om invers derivata: > > $(\arcsin x)' = \frac{1}{\sin'(\arcsin x)} = \frac{1}{\cos(\arcsin x)}$ > > Vi behover berakna $\cos(\arcsin x)$. Lat $\theta = \arcsin x$, sa $\sin \theta = x$. Fran $\cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1$: > > $\cos \theta = \sqrt{1 - \sin^2 \theta} = \sqrt{1 - x^2}$ > > (positivt tecken eftersom $\theta \in [-\pi/2, \pi/2]$ dar $\cos \theta \geq 0$). > > Alltsa: > > $\boxed{(\arcsin x)' = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}}$ > [!example]- Harledning: $(\arctan x)' = \frac{1}{1 + x^2}$ > Lat $f(x) = \tan x$ sa $f^{-1}(x) = \arctan x$. > > $(\arctan x)' = \frac{1}{\tan'(\arctan x)} = \frac{1}{1/\cos^2(\arctan x)} = \cos^2(\arctan x)$ > > Lat $\theta = \arctan x$, sa $\tan \theta = x$. Fran $1 + \tan^2 \theta = 1/\cos^2 \theta$: > > $\cos^2 \theta = \frac{1}{1 + \tan^2 \theta} = \frac{1}{1 + x^2}$ > > Alltsa: > > $\boxed{(\arctan x)' = \frac{1}{1 + x^2}}$ > [!example]- Harledning: $(\arccos x)' = -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$ > Lat $f(x) = \cos x$ sa $f^{-1}(x) = \arccos x$. > > $(\arccos x)' = \frac{1}{\cos'(\arccos x)} = \frac{1}{-\sin(\arccos x)}$ > > Lat $\theta = \arccos x$, sa $\cos \theta = x$. Da $\sin \theta = \sqrt{1 - x^2}$ (positivt for $\theta \in [0, \pi]$). > > $\boxed{(\arccos x)' = -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}}$ > > **Observation:** $(\arcsin x)' + (\arccos x)' = 0$. Detta foljer av att $\arcsin x + \arccos x = \frac{\pi}{2}$, vars derivata ar noll. --- ## 7. Logaritmisk derivering ### 7.1 Metod For funktioner pa formen $f(x) = g(x)^{h(x)}$ (dvs. bade basen och exponenten beror pa $x$) ar logaritmisk derivering ett kraftfullt verktyg. **Tillvagagangssatt:** 1. Tag den naturliga logaritmen av bada sidor: $\ln f(x) = h(x) \ln g(x)$. 2. Derivera bada sidor med avseende pa $x$ (anvand kedjeregeln till vanster, produktregeln till hoger). 3. Los for $f'(x)$. ### 7.2 Allman formel For $f(x) = g(x)^{h(x)}$ med $g(x) > 0$: $\boxed{f'(x) = g(x)^{h(x)} \left[ h'(x) \ln g(x) + h(x) \cdot \frac{g'(x)}{g(x)} \right]}$ > [!example]- Exempel: $f(x) = x^x$ > Derivera $f(x) = x^x$ for $x > 0$. > > **Losning:** > > Tag $\ln$ av bada sidor: > > $\ln f(x) = x \ln x$ > > Derivera bada sidor: > > $\frac{f'(x)}{f(x)} = 1 \cdot \ln x + x \cdot \frac{1}{x} = \ln x + 1$ > > Los for $f'(x)$: > > $f'(x) = f(x)(\ln x + 1) = x^x(\ln x + 1)$ > [!example]- Exempel: $f(x) = (\sin x)^{x^2}$ > Derivera $f(x) = (\sin x)^{x^2}$ for $\sin x > 0$. > > **Losning:** > > Tag $\ln$ av bada sidor: > > $\ln f(x) = x^2 \ln(\sin x)$ > > Derivera (produktregeln pa hogerledet): > > $\frac{f'(x)}{f(x)} = 2x \ln(\sin x) + x^2 \cdot \frac{\cos x}{\sin x}$ > > Los for $f'(x)$: > > $f'(x) = (\sin x)^{x^2} \left[ 2x \ln(\sin x) + x^2 \cot x \right]$ > [!example]- Exempel: Logaritmisk derivering for produkter > Derivera $f(x) = \dfrac{x^3 \sqrt{x+1}}{(2x-1)^4}$ med logaritmisk derivering. > > **Losning:** > > Tag $\ln$ av bada sidor: > > $\ln f(x) = 3\ln x + \frac{1}{2}\ln(x+1) - 4\ln(2x-1)$ > > Derivera: > > $\frac{f'(x)}{f(x)} = \frac{3}{x} + \frac{1}{2(x+1)} - \frac{8}{2x-1}$ > > Los for $f'(x)$: > > $f'(x) = \frac{x^3 \sqrt{x+1}}{(2x-1)^4} \left[ \frac{3}{x} + \frac{1}{2(x+1)} - \frac{8}{2x-1} \right]$ > > **Fordel:** Logaritmisk derivering gor det mojligt att undvika komplicerad kvot- och produktregel for manga faktorer. --- ## 8. Hogre ordningens derivator ### 8.1 Definition Den **andra derivatan** ar derivatan av derivatan: $f''(x) = (f'(x))' = \frac{d^2f}{dx^2}$ Allman notation for den $n$:te derivatan: $f^{(n)}(x) = \frac{d^n f}{dx^n}$ dar $f^{(0)}(x) = f(x)$, $f^{(1)}(x) = f'(x)$, $f^{(2)}(x) = f''(x)$, osv. ### 8.2 Fysikalisk tolkning | Funktion | Storhet | Enhet (SI) | |----------|---------|------------| | $s(t)$ | Position | m | | $s'(t) = v(t)$ | Hastighet | m/s | | $s''(t) = v'(t) = a(t)$ | Acceleration | m/s$^2$ | | $s'''(t) = a'(t)$ | Ryck (jerk) | m/s$^3$ | > [!example]- Exempel: Position, hastighet och acceleration > En partikels position ges av $s(t) = t^3 - 6t^2 + 9t + 2$ (meter), dar $t$ ar tid i sekunder. > > **Losning:** > > - Hastighet: $v(t) = s'(t) = 3t^2 - 12t + 9 = 3(t-1)(t-3)$ > - Acceleration: $a(t) = v'(t) = 6t - 12 = 6(t-2)$ > > Partikeln ar stilla ($v = 0$) vid $t = 1$ och $t = 3$. > > Accelerationen ar noll vid $t = 2$. > [!example]- Exempel: Hogre derivator av $e^{ax}$ > For $f(x) = e^{ax}$ galler: > > - $f'(x) = ae^{ax}$ > - $f''(x) = a^2 e^{ax}$ > - $f'''(x) = a^3 e^{ax}$ > > Allman formel: > > $\boxed{f^{(n)}(x) = a^n e^{ax}}$ > [!example]- Exempel: Hogre derivator av trigonometriska funktioner > For $f(x) = \sin x$: > > | $n$ | $f^{(n)}(x)$ | > |-----|---------------| > | 0 | $\sin x$ | > | 1 | $\cos x$ | > | 2 | $-\sin x$ | > | 3 | $-\cos x$ | > | 4 | $\sin x$ | > > Derivatan ar periodisk med period 4: > > $f^{(n)}(x) = \sin\left(x + \frac{n\pi}{2}\right)$ --- ## Resurser ### Videor - [3Blue1Brown: The paradox of the derivative (Essence of Calculus, kap 2)](https://youtu.be/9vKqVkMQHKk) -- vad ar en derivata egentligen? - [3Blue1Brown: Derivative formulas through geometry (kap 3)](https://youtu.be/S0_qX4VJhMQ) -- geometriska harledningar av deriveringsregler - [3Blue1Brown: Visualizing the chain rule and product rule (kap 4)](https://youtu.be/YG15m2VwSjA) -- kedjeregeln och produktregeln visuellt - [3Blue1Brown: Derivatives of exponentials (kap 5)](https://youtu.be/m2MIpDrF7Es) -- varfor $e^x$ ar sin egen derivata - [3Blue1Brown: Implicit differentiation (kap 6)](https://youtu.be/qb40J4N1fa4) -- implicit derivering visuellt - [3Blue1Brown: Limits, L'Hopital's rule, and epsilon-delta (kap 7)](https://youtu.be/kfF40MiS7zA) -- gransvarden och derivatans definition ### Wikipedia - [Derivative](https://en.wikipedia.org/wiki/Derivative) - [Differentiation rules](https://en.wikipedia.org/wiki/Differentiation_rules) - [Chain rule](https://en.wikipedia.org/wiki/Chain_rule) - [Implicit function](https://en.wikipedia.org/wiki/Implicit_function) - [Inverse function theorem](https://en.wikipedia.org/wiki/Inverse_function_theorem) - [Logarithmic differentiation](https://en.wikipedia.org/wiki/Logarithmic_differentiation) ### Fordjupning - [Paul's Online Math Notes: Derivatives](https://tutorial.math.lamar.edu/Classes/CalcI/DerivativeIntro.aspx) - [Khan Academy: Differential Calculus](https://www.khanacademy.org/math/differential-calculus)