# Funktioner
> **Modul:** M2 · **Ämne:** Envariabelanalys 1
> **Förkunskaper:** Grunder ([[M1 M0065M]])
---
## Ordlista svenska <-> engelska
| Svenska | Engelska |
|---|---|
| Funktion | Function |
| Definitionsmängd | Domain |
| Värdemängd | Range |
| Injektiv (en-till-en) | Injective (one-to-one) |
| Surjektiv (på) | Surjective (onto) |
| Invers funktion | Inverse function |
| Monoton | Monotone |
| Strängt växande | Strictly increasing |
| Strängt avtagande | Strictly decreasing |
| Sammansättning | Composition |
| Exponentialfunktion | Exponential function |
| Logaritm | Logarithm |
| Naturlig logaritm | Natural logarithm |
| Hyperbolisk funktion | Hyperbolic function |
| Arcusfunktion | Inverse trigonometric function |
| Enhetscirkel | Unit circle |
---
## 1. Funktioner --- grundläggande begrepp
### 1.1 Definition
En **funktion** $f: A \to B$ är en regel som till varje element $x \in A$ tilldelar **exakt ett** element $f(x) \in B$.
| Begrepp | Notation | Betydelse |
|---|---|---|
| Definitionsmängd | $D_f$ | Mängden av alla tillåtna $x$-värden (input) |
| Värdemängd | $V_f$ | Mängden av alla $y$-värden som faktiskt antas (output) |
| Målmängd | $B$ | Mängden som funktionen avbildar *till* ($V_f \subseteq B$) |
| Funktionsvärde | $f(x)$ | Det $y$-värde som hör till $x$ |
> [!note]- Skillnad mellan värdemängd och målmängd
> Värdemängden $V_f$ är de värden som **faktiskt** antas av funktionen. Målmängden $B$ är den mängd vi säger att funktionen avbildar till. Det gäller alltid $V_f \subseteq B$, men inte nödvändigtvis $V_f = B$.
>
> Exempel: $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = x^2$. Här är $B = \mathbb{R}$, men $V_f = [0, \infty)$.
### 1.2 Notation och terminologi
$f: A \to B, \quad x \mapsto f(x)$
- $x$ kallas **argument** (eller oberoende variabel)
- $y = f(x)$ kallas **funktionsvärde** (eller beroende variabel)
- "$f$ avbildar $x$ på $f(x)
quot;
### 1.3 Grafen till en funktion
**Grafen** till $f$ är mängden av alla punkter $(x, y)$ i planet sådana att $y = f(x)$:
$\text{graf}(f) = \{(x, f(x)) : x \in D_f\}$
> [!tip]- Vertikalt linjetest
> En kurva i planet är grafen till en funktion om och bara om varje vertikal linje $x = a$ skär kurvan i **högst en punkt**. Detta speglar kravet att varje $x$ har exakt ett funktionsvärde.
> [!example]- Exempel: Bestäm $D_f$ och $V_f$
> Låt $f(x) = \sqrt{4 - x^2}$.
>
> **Definitionsmängd:** Vi kräver $4 - x^2 \geq 0$, dvs. $x^2 \leq 4$, alltså $-2 \leq x \leq 2$.
>
> $D_f = [-2, 2]$
>
> **Värdemängd:** $\sqrt{4 - x^2}$ har minsta värde $0$ (vid $x = \pm 2$) och störst värde $\sqrt{4} = 2$ (vid $x = 0$).
>
> $V_f = [0, 2]$
>
> Geometriskt är grafen den övre halvan av cirkeln $x^2 + y^2 = 4$.
---
## 2. Injektivitet & inversa funktioner
### 2.1 Definition av injektiv funktion
En funktion $f: A \to B$ är **injektiv** (en-till-en) om olika argument ger olika funktionsvärden:
$\boxed{x_1 \neq x_2 \implies f(x_1) \neq f(x_2)}$
Ekvivalent (kontrapositivt): $f(x_1) = f(x_2) \implies x_1 = x_2$.
> [!tip]- Horisontellt linjetest
> En funktion är injektiv om och bara om varje horisontell linje $y = c$ skär grafen i **högst en punkt**.
> [!example]- Exempel: Injektiv eller ej?
> - $f(x) = x^3$ är injektiv: om $x_1^3 = x_2^3$ så $x_1 = x_2$.
> - $f(x) = x^2$ (på $\mathbb{R}$) är **inte** injektiv: $f(-2) = f(2) = 4$.
> - $f(x) = x^2$ begränsad till $[0, \infty)$ **är** injektiv.
### 2.2 Invers funktion
Om $f: A \to B$ är injektiv kan vi definiera den **inversa funktionen** $f^{-1}: V_f \to A$ genom:
$\boxed{y = f^{-1}(x) \iff x = f(y)}$
### 2.3 Kancelleringslagar
Om $f$ har en invers $f^{-1}$ gäller:
| Lag | Gäller för |
|---|---|
| $f^{-1}(f(x)) = x$ | alla $x \in D_f$ |
| $f(f^{-1}(y)) = y$ | alla $y \in V_f$ |
> [!warning]- $f^{-1}$ betyder INTE $\frac{1}{f}$
> Notera att $f^{-1}(x)$ betecknar den **inversa funktionen**, inte $\frac{1}{f(x)}$. Exempelvis:
> - $\sin^{-1}(x) = \arcsin(x) \neq \frac{1}{\sin(x)}$
### 2.4 Grafen av inversen
Grafen till $f^{-1}$ fås genom att **spegla** grafen till $f$ i linjen $y = x$.
Geometriskt: byt plats på alla koordinater $(a, b) \to (b, a)$.
> [!example]- Exempel: Hitta $f^{-1}$
> Låt $f(x) = 2x + 3$.
>
> **Steg 1:** Skriv $y = 2x + 3$.
>
> **Steg 2:** Lös ut $x$: $x = \frac{y - 3}{2}$.
>
> **Steg 3:** Byt variabelnamn: $f^{-1}(x) = \frac{x - 3}{2}$.
>
> **Kontroll (kancelleringslagarna):**
> - $f(f^{-1}(x)) = 2 \cdot \frac{x-3}{2} + 3 = (x-3) + 3 = x$ ✓
> - $f^{-1}(f(x)) = \frac{(2x+3)-3}{2} = \frac{2x}{2} = x$ ✓
> [!example]- Exempel: Invers till $f(x) = x^3 + 1$
> **Steg 1:** $y = x^3 + 1$
>
> **Steg 2:** $x^3 = y - 1 \implies x = \sqrt[3]{y - 1}$
>
> **Steg 3:** $f^{-1}(x) = \sqrt[3]{x - 1}$
>
> **Definitionsmängder:** $D_f = \mathbb{R}$, $V_f = \mathbb{R}$, $D_{f^{-1}} = \mathbb{R}$.
---
## 3. Monotona funktioner
### 3.1 Definitioner
Låt $f$ vara definierad på ett intervall $I$.
| Egenskap | Definition |
|---|---|
| **Strängt växande** | $x_1 < x_2 \implies f(x_1) < f(x_2)$ |
| **Strängt avtagande** | $x_1 < x_2 \implies f(x_1) > f(x_2)$ |
| **Växande** (ej strikt) | $x_1 < x_2 \implies f(x_1) \leq f(x_2)$ |
| **Avtagande** (ej strikt) | $x_1 < x_2 \implies f(x_1) \geq f(x_2)$ |
En funktion som är (strängt) växande eller (strängt) avtagande kallas **(strängt) monoton**.
### 3.2 Monotoni och injektivitet
> [!note]- Sats: Strängt monoton innebär injektiv
> Om $f$ är **strängt monoton** (strängt växande eller strängt avtagande) på ett intervall, så är $f$ **injektiv** på det intervallet.
>
> **Bevis:** Antag att $f$ är strängt växande och att $x_1 \neq x_2$. Då är antingen $x_1 < x_2$ (vilket ger $f(x_1) < f(x_2)$) eller $x_1 > x_2$ (vilket ger $f(x_1) > f(x_2)$). I båda fallen: $f(x_1) \neq f(x_2)$. Alltså är $f$ injektiv. $\square$
> [!warning]- Omvändningen gäller ej
> Injektiv innebär **inte** nödvändigtvis monoton. Exempelvis kan en funktion som hoppar vara injektiv utan att vara monoton.
> [!example]- Exempel: Monotoni
> - $f(x) = e^x$ är **strängt växande** på $\mathbb{R}$ (och därmed injektiv).
> - $f(x) = -x^3$ är **strängt avtagande** på $\mathbb{R}$ (och därmed injektiv).
> - $f(x) = x^2$ är **strängt avtagande** på $(-\infty, 0]$ och **strängt växande** på $[0, \infty)$, men **inte monoton** på hela $\mathbb{R}$.
---
## 4. Sammansättning av funktioner
### 4.1 Definition
Givet två funktioner $f$ och $g$ definieras **sammansättningen** (kompositionen) som:
$\boxed{(f \circ g)(x) = f(g(x))}$
Läses "$f$ boll $gquot; eller "$f$ sammansatt med $gquot;. Funktionen $g$ appliceras **först**, sedan $f$.
### 4.2 Definitionsmängd
Definitionsmängden för $f \circ g$ är:
$D_{f \circ g} = \{x \in D_g : g(x) \in D_f\}$
Alltså: $x$ måste ligga i $D_g$, **och** $g(x)$ måste ligga i $D_f$.
### 4.3 Egenskaper
| Egenskap | Gäller? |
|---|---|
| Kommutativitet: $f \circ g = g \circ f$ | **Nej** i allmänhet |
| Associativitet: $f \circ (g \circ h) = (f \circ g) \circ h$ | **Ja** |
| Identitet: $f \circ \text{id} = \text{id} \circ f = f$ | **Ja** |
> [!example]- Exempel: Sammansättning
> Låt $f(x) = x^2$ och $g(x) = \sin x$.
>
> - $(f \circ g)(x) = f(g(x)) = f(\sin x) = (\sin x)^2 = \sin^2 x$
> - $(g \circ f)(x) = g(f(x)) = g(x^2) = \sin(x^2)$
>
> Alltså $f \circ g \neq g \circ f$ --- sammansättning är **inte kommutativ**.
> [!example]- Exempel: Definitionsmängd för sammansättning
> Låt $f(x) = \sqrt{x}$ (med $D_f = [0, \infty)$) och $g(x) = 1 - x^2$ (med $D_g = \mathbb{R}$).
>
> $(f \circ g)(x) = \sqrt{1 - x^2}$
>
> Vi kräver:
> 1. $x \in D_g = \mathbb{R}$ ✓ (alltid uppfyllt)
> 2. $g(x) \in D_f$, dvs. $1 - x^2 \geq 0 \implies x^2 \leq 1 \implies -1 \leq x \leq 1$
>
> Alltså $D_{f \circ g} = [-1, 1]$.
---
## 5. Exponentialfunktioner
### 5.1 Definition och grundbegrepp
För en bas $a > 0$, $a \neq 1$ definieras **exponentialfunktionen** $f(x) = a^x$.
Det viktigaste specialfallet är $a = e \approx 2{,}71828\ldots$ (Eulers tal), som ger den **naturliga exponentialfunktionen**:
$f(x) = e^x$
### 5.2 Eulers tal
$\boxed{e = \lim_{n \to \infty}\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n \approx 2{,}71828}$
### 5.3 Räkneregler
Låt $a > 0$ och $x, y \in \mathbb{R}$:
| Regel | Formel |
|---|---|
| Produktregel | $a^{x+y} = a^x \cdot a^y$ |
| Kvotregeln | $a^{x-y} = \dfrac{a^x}{a^y}$ |
| Potensregel | $(a^x)^y = a^{xy}$ |
| Produktbas | $(ab)^x = a^x \cdot b^x$ |
| Nollexponent | $a^0 = 1$ |
| Negativ exponent | $a^{-x} = \dfrac{1}{a^x}$ |
### 5.4 Grafens egenskaper
| Egenskap | $a > 1$ (t.ex. $e^x$) | $0 < a < 1$ (t.ex. $(1/2)^x$) |
|---|---|---|
| Monotoni | Strängt växande | Strängt avtagande |
| $D_f$ | $\mathbb{R}$ | $\mathbb{R}$ |
| $V_f$ | $(0, \infty)$ | $(0, \infty)$ |
| Passerar genom | $(0, 1)$ | $(0, 1)$ |
| Beteende $x \to \infty$ | $\to \infty$ | $\to 0^+$ |
| Beteende $x \to -\infty$ | $\to 0^+$ | $\to \infty$ |
| Horisontell asymptot | $y = 0$ (underifrån, vänster) | $y = 0$ (ovanifrån, höger) |
| Injektiv | Ja | Ja |
> [!example]- Exempel: Förenkla exponentialuttryck
> Förenkla $\dfrac{e^{3x} \cdot e^{-x}}{(e^x)^2}$.
>
> **Lösning:**
> $\frac{e^{3x} \cdot e^{-x}}{(e^x)^2} = \frac{e^{3x + (-x)}}{e^{2x}} = \frac{e^{2x}}{e^{2x}} = e^0 = 1$
---
## 6. Logaritmfunktioner
### 6.1 Definition
Den **naturliga logaritmen** $\ln x$ definieras som den inversa funktionen till $e^x$:
$y = \ln x \iff x = e^y$
Mer allmänt definieras **logaritmen med bas** $a$ ($a > 0$, $a \neq 1$):
$y = \log_a x \iff x = a^y$
### 6.2 Grundläggande identiteter
$\boxed{\ln(e^x) = x \quad \text{för alla } x \in \mathbb{R}, \qquad e^{\ln x} = x \quad \text{för alla } x > 0}$
Dessa är kancelleringslagarna för $e^x$ och dess invers $\ln x$.
### 6.3 Räkneregler
Låt $a, b > 0$ och $r \in \mathbb{R}$:
| Regel | Formel |
|---|---|
| Logaritm av produkt | $\ln(ab) = \ln a + \ln b$ |
| Logaritm av kvot | $\ln\!\left(\dfrac{a}{b}\right) = \ln a - \ln b$ |
| Logaritm av potens | $\ln(a^r) = r \ln a$ |
| $\ln 1$ | $\ln 1 = 0$ |
| $\ln e$ | $\ln e = 1$ |
> [!warning]- Vanliga felsteg
> - $\ln(a + b) \neq \ln a + \ln b$ (logaritmen av en **summa** kan inte förenklas!)
> - $\ln(a - b) \neq \ln a - \ln b$
> - $(\ln a)^2 \neq \ln(a^2) = 2\ln a$
### 6.4 Basbyte
$\boxed{\log_a x = \frac{\ln x}{\ln a}}$
> [!example]- Härledning av basbytet
> Låt $y = \log_a x$. Då $a^y = x$ per definition. Ta naturlig logaritm av båda led:
>
> $\ln(a^y) = \ln x \implies y \ln a = \ln x \implies y = \frac{\ln x}{\ln a}$
### 6.5 Grafens egenskaper
| Egenskap | $\ln x$ |
|---|---|
| $D_f$ | $(0, \infty)$ |
| $V_f$ | $\mathbb{R}$ |
| Monotoni | Strängt växande |
| Passerar genom | $(1, 0)$ |
| Vertikal asymptot | $x = 0$ |
| Beteende $x \to \infty$ | $\to \infty$ (men långsamt) |
| Beteende $x \to 0^+$ | $\to -\infty$ |
Grafen till $\ln x$ är **speglingen** av $e^x$ i linjen $y = x$.
> [!example]- Exempel: Lös ekvationen $e^{2x} - 3e^x + 2 = 0$
> **Substitution:** Sätt $t = e^x > 0$. Då:
>
> $t^2 - 3t + 2 = 0 \implies (t - 1)(t - 2) = 0$
>
> $t = 1 \quad \text{eller} \quad t = 2$
>
> Tillbaka till $x$:
> - $e^x = 1 \implies x = \ln 1 = 0$
> - $e^x = 2 \implies x = \ln 2$
>
> **Svar:** $x = 0$ eller $x = \ln 2$.
> [!example]- Exempel: Lös $\log_2(x) + \log_2(x-2) = 3$
> Använd logaritmlagen $\ln a + \ln b = \ln(ab)$ (gäller för alla baser):
>
> $\log_2(x(x-2)) = 3 \implies x(x-2) = 2^3 = 8$
>
> $x^2 - 2x - 8 = 0 \implies (x-4)(x+2) = 0$
>
> $x = 4$ eller $x = -2$.
>
> **Kontroll:** Vi kräver $x > 0$ och $x - 2 > 0$, alltså $x > 2$. Därmed $x = -2$ bortfaller.
>
> **Svar:** $x = 4$.
---
## 7. Hyperboliska funktioner
### 7.1 Definitioner
De hyperboliska funktionerna definieras med hjälp av exponentialfunktionen:
$\boxed{\sinh x = \frac{e^x - e^{-x}}{2}, \qquad \cosh x = \frac{e^x + e^{-x}}{2}}$
$\boxed{\tanh x = \frac{\sinh x}{\cosh x} = \frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}}}$
### 7.2 Grundläggande identitet
$\boxed{\cosh^2 x - \sinh^2 x = 1}$
> [!example]- Bevis av identiteten
> $\cosh^2 x - \sinh^2 x = \left(\frac{e^x + e^{-x}}{2}\right)^2 - \left(\frac{e^x - e^{-x}}{2}\right)^2$
>
> $= \frac{e^{2x} + 2 + e^{-2x}}{4} - \frac{e^{2x} - 2 + e^{-2x}}{4} = \frac{4}{4} = 1 \quad \square$
### 7.3 Egenskaper
| Funktion | $D_f$ | $V_f$ | Paritet | Monotoni |
|---|---|---|---|---|
| $\sinh x$ | $\mathbb{R}$ | $\mathbb{R}$ | Udda | Strängt växande |
| $\cosh x$ | $\mathbb{R}$ | $[1, \infty)$ | Jämn | Avtagande $(-\infty,0]$, växande $[0,\infty)$ |
| $\tanh x$ | $\mathbb{R}$ | $(-1, 1)$ | Udda | Strängt växande |
### 7.4 Fler identiteter
| Identitet | Formel |
|---|---|
| Additionsformler | $\sinh(x \pm y) = \sinh x \cosh y \pm \cosh x \sinh y$ |
| | $\cosh(x \pm y) = \cosh x \cosh y \pm \sinh x \sinh y$ |
| Dubbla argumentet | $\sinh(2x) = 2\sinh x \cosh x$ |
| | $\cosh(2x) = \cosh^2 x + \sinh^2 x$ |
### 7.5 Jämförelse med trigonometriska funktioner
Det finns en slående parallell mellan hyperboliska och trigonometriska funktioner:
| Trigonometrisk | Hyperbolisk |
|---|---|
| $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ | $\cosh^2 x - \sinh^2 x = 1$ |
| $\sin(-x) = -\sin x$ | $\sinh(-x) = -\sinh x$ |
| $\cos(-x) = \cos x$ | $\cosh(-x) = \cosh x$ |
| Enhetscirkeln $x^2 + y^2 = 1$ | Enhets**hyperbeln** $x^2 - y^2 = 1$ |
> [!note]- Varför heter de "hyperboliska"?
> Precis som $(\cos t, \sin t)$ parametriserar enhetscirkeln $x^2 + y^2 = 1$, parametriserar $(\cosh t, \sinh t)$ den högra grenen av enhetshyperbeln $x^2 - y^2 = 1$. Verifiering: $\cosh^2 t - \sinh^2 t = 1$.
### 7.6 Inversa hyperboliska funktioner
De inversa hyperboliska funktionerna kan uttryckas med logaritmer:
| Funktion | Formel |
|---|---|
| $\text{arsinh}\, x$ | $\ln(x + \sqrt{x^2 + 1})$, $D = \mathbb{R}$ |
| $\text{arcosh}\, x$ | $\ln(x + \sqrt{x^2 - 1})$, $D = [1, \infty)$ |
| $\text{artanh}\, x$ | $\frac{1}{2}\ln\!\left(\frac{1+x}{1-x}\right)$, $D = (-1, 1)$ |
> [!example]- Härledning: $\text{arsinh}\, x$
> Lös $y = \sinh x = \frac{e^x - e^{-x}}{2}$ för $x$.
>
> Multiplicera med $2e^x$: $2ye^x = e^{2x} - 1$
>
> Omskrivning: $e^{2x} - 2ye^x - 1 = 0$
>
> Substitution $t = e^x > 0$: $t^2 - 2yt - 1 = 0$
>
> pq-formeln: $t = y \pm \sqrt{y^2 + 1}$
>
> Eftersom $t = e^x > 0$ och $\sqrt{y^2+1} > |y|$ väljer vi plustecknet:
>
> $e^x = y + \sqrt{y^2 + 1} \implies x = \ln(y + \sqrt{y^2 + 1})$
>
> Alltså $\text{arsinh}\, x = \ln(x + \sqrt{x^2 + 1})$.
---
## 8. Trigonometriska funktioner (kortöversikt)
### 8.1 Enhetscirkeln
De trigonometriska funktionerna definieras med hjälp av **enhetscirkeln** $x^2 + y^2 = 1$. En punkt på cirkeln motsvarande vinkeln $\theta$ har koordinaterna:
$(\cos\theta, \sin\theta)$
### 8.2 Standardvinklar
| $\theta$ | $0$ | $\frac{\pi}{6}$ | $\frac{\pi}{4}$ | $\frac{\pi}{3}$ | $\frac{\pi}{2}$ |
|---|---|---|---|---|---|
| $\sin\theta$ | $0$ | $\frac{1}{2}$ | $\frac{\sqrt{2}}{2}$ | $\frac{\sqrt{3}}{2}$ | $1$ |
| $\cos\theta$ | $1$ | $\frac{\sqrt{3}}{2}$ | $\frac{\sqrt{2}}{2}$ | $\frac{1}{2}$ | $0$ |
| $\tan\theta$ | $0$ | $\frac{1}{\sqrt{3}}$ | $1$ | $\sqrt{3}$ | --- |
### 8.3 Grundläggande identiteter
$\boxed{\sin^2 x + \cos^2 x = 1}$
| Identitet | Formel |
|---|---|
| Pythagoraisk (grund) | $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ |
| Pythagoraisk (variant) | $1 + \tan^2 x = \frac{1}{\cos^2 x}$ |
| Paritet | $\sin(-x) = -\sin x$, $\cos(-x) = \cos x$ |
| Periodicitet | $\sin(x + 2\pi) = \sin x$, $\cos(x + 2\pi) = \cos x$ |
### 8.4 Additionsformler
$\boxed{\sin(x \pm y) = \sin x \cos y \pm \cos x \sin y}$
$\boxed{\cos(x \pm y) = \cos x \cos y \mp \sin x \sin y}$
| Formel | Uttryck |
|---|---|
| Dubbla vinkeln | $\sin(2x) = 2\sin x \cos x$ |
| Dubbla vinkeln | $\cos(2x) = \cos^2 x - \sin^2 x = 2\cos^2 x - 1 = 1 - 2\sin^2 x$ |
| Halva vinkeln | $\sin^2 x = \frac{1 - \cos(2x)}{2}$ |
| Halva vinkeln | $\cos^2 x = \frac{1 + \cos(2x)}{2}$ |
---
## 9. Arcusfunktioner (inversa trigonometriska)
Eftersom $\sin$, $\cos$ och $\tan$ **inte** är injektiva på hela $\mathbb{R}$ (de är periodiska), begränsar vi deras definitionsmängder för att kunna bilda inverser.
### 9.1 Definitioner
| Funktion | Definition | $D$ | $V$ |
|---|---|---|---|
| $\arcsin x$ | Invers till $\sin x$ på $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$ | $[-1, 1]$ | $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$ |
| $\arccos x$ | Invers till $\cos x$ på $[0, \pi]$ | $[-1, 1]$ | $[0, \pi]$ |
| $\arctan x$ | Invers till $\tan x$ på $\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$ | $\mathbb{R}$ | $\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$ |
### 9.2 Kancelleringslagar
| Lag | Gäller för |
|---|---|
| $\sin(\arcsin x) = x$ | $x \in [-1, 1]$ |
| $\arcsin(\sin x) = x$ | $x \in \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$ |
| $\cos(\arccos x) = x$ | $x \in [-1, 1]$ |
| $\arccos(\cos x) = x$ | $x \in [0, \pi]$ |
| $\tan(\arctan x) = x$ | $x \in \mathbb{R}$ |
| $\arctan(\tan x) = x$ | $x \in \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$ |
> [!warning]- Kancelleringslagarna gäller bara på rätt intervall!
> $\arcsin(\sin x) = x$ gäller **bara** om $x \in [-\pi/2, \pi/2]$.
>
> Exempelvis: $\arcsin(\sin(\pi)) = \arcsin(0) = 0 \neq \pi$.
### 9.3 Viktigt samband
$\boxed{\arcsin x + \arccos x = \frac{\pi}{2} \quad \text{för alla } x \in [-1, 1]}$
> [!example]- Bevis av sambandet
> Låt $\alpha = \arcsin x$, dvs. $\sin\alpha = x$ med $\alpha \in [-\pi/2, \pi/2]$.
>
> Då $\cos(\pi/2 - \alpha) = \sin\alpha = x$.
>
> Eftersom $\alpha \in [-\pi/2, \pi/2]$ gäller $\pi/2 - \alpha \in [0, \pi]$, vilket är precis intervallet för $\arccos$.
>
> Alltså $\arccos x = \pi/2 - \alpha = \pi/2 - \arcsin x$, dvs. $\arcsin x + \arccos x = \pi/2$. $\square$
> [!example]- Exempel: Beräkna exakta värden
> Beräkna $\arctan(1)$, $\arcsin\!\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$ och $\arccos\!\left(-\frac{1}{2}\right)$.
>
> - $\arctan(1)$: Vi söker $\theta \in (-\pi/2, \pi/2)$ med $\tan\theta = 1$. Svar: $\theta = \frac{\pi}{4}$.
>
> - $\arcsin\!\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$: Vi söker $\theta \in [-\pi/2, \pi/2]$ med $\sin\theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Svar: $\theta = \frac{\pi}{3}$.
>
> - $\arccos\!\left(-\frac{1}{2}\right)$: Vi söker $\theta \in [0, \pi]$ med $\cos\theta = -\frac{1}{2}$. Svar: $\theta = \frac{2\pi}{3}$.
> [!example]- Exempel: Förenkla $\sin(\arccos x)$
> Låt $\theta = \arccos x$. Då $\cos\theta = x$ med $\theta \in [0, \pi]$.
>
> Från $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$:
>
> $\sin\theta = \sqrt{1 - \cos^2\theta} = \sqrt{1 - x^2}$
>
> (Positivt rottecken eftersom $\sin\theta \geq 0$ för $\theta \in [0, \pi]$.)
>
> $\boxed{\sin(\arccos x) = \sqrt{1 - x^2}}$
---
## Resurser
### Videor
- [3Blue1Brown: Euler's number ($e$)](https://youtu.be/m2MIpDrF7Es) --- varför $e$ dyker upp överallt
- [3Blue1Brown: What makes the natural logarithm "natural"? (Footnote)](https://youtu.be/4PDoT7jtxmw) --- intuitionen bakom $\ln$
- [3Blue1Brown: Essence of Trigonometry (Lockdown math)](https://youtu.be/yBw67Fb31Cs) --- trigonometri och enhetscirkeln
- [Khan Academy: Intro to inverse functions](https://youtu.be/2X0YfSMuWQk) --- bra genomgång av inversa funktioner
- [Khan Academy: Introduction to logarithms](https://youtu.be/Z5myJ8dg_rM) --- grundläggande logaritmregler
### Wikipedia
- [Function (mathematics)](https://en.wikipedia.org/wiki/Function_(mathematics))
- [Inverse function](https://en.wikipedia.org/wiki/Inverse_function)
- [Monotonic function](https://en.wikipedia.org/wiki/Monotonic_function)
- [Function composition](https://en.wikipedia.org/wiki/Function_composition)
- [Exponential function](https://en.wikipedia.org/wiki/Exponential_function)
- [Logarithm](https://en.wikipedia.org/wiki/Logarithm)
- [Hyperbolic functions](https://en.wikipedia.org/wiki/Hyperbolic_functions)
- [Inverse trigonometric functions](https://en.wikipedia.org/wiki/Inverse_trigonometric_functions)