# Grunder: Logik, Mängder, Polynom & Olikheter
> **Modul:** M1 · **Ämne:** Envariabelanalys 1
> **Förkunskaper:** Gymnasiematematik
---
## Ordlista svenska ↔ engelska
| Svenska | Engelska |
|---|---|
| Utsaga | Proposition |
| Bevis | Proof |
| Mängd | Set |
| Delmängd | Subset |
| Union | Union |
| Snitt | Intersection |
| Talmängd | Number set |
| Polynom | Polynomial |
| Faktorisering | Factorization |
| Olikhet | Inequality |
| Absolutbelopp | Absolute value |
| Implikation | Implication |
| Ekvivalens | Equivalence |
| Kontraposition | Contrapositive |
| Negation | Negation |
| Konjunktion | Conjunction |
| Disjunktion | Disjunction |
| Motsägelsebevis | Proof by contradiction |
| Motexempel | Counterexample |
| Teckenschema | Sign chart |
| Kvadratkomplettering | Completing the square |
| Triangelolikheten | Triangle inequality |
---
## 1. Logik & Utsagor
### 1.1 Definition av utsaga
En **utsaga** (proposition) är ett påstående som är antingen **sant** (S) eller **falskt** (F), men aldrig båda samtidigt.
| Påstående | Utsaga? | Sanningsvärde |
|---|---|---|
| "7 är ett primtal" | Ja | S |
| "3 > 5" | Ja | F |
| "Stäng dörren!" | Nej | — |
| "$x > 2
quot; (utan specificerat $x$) | Nej (öppen sats) | — |
> [!note]- Öppen sats vs. utsaga
> Påståendet "$x > 2quot; kallas en **öppen sats** — det blir en utsaga först när vi tilldelar $x$ ett värde. Till exempel: "3 > 2" är en utsaga (sann).
### 1.2 Logiska operatorer
Låt $P$ och $Q$ vara utsagor. Vi definierar följande operationer:
| Symbol | Namn | Läses som | Betydelse |
|---|---|---|---|
| $\lnot P$ | Negation | "icke $Pquot; | Sant precis när $P$ är falskt |
| $P \land Q$ | Konjunktion | "$P$ och $Qquot; | Sant precis när **båda** är sanna |
| $P \lor Q$ | Disjunktion | "$P$ eller $Qquot; | Sant precis när **minst en** är sann |
| $P \to Q$ | Implikation | "om $P$ så $Qquot; | Falskt bara när $P$ är sann och $Q$ är falsk |
| $P \leftrightarrow Q$ | Ekvivalens | "$P$ om och bara om $Qquot; | Sant precis när $P$ och $Q$ har samma sanningsvärde |
> [!warning]- Implikationens sanningstabell
> Den vanligaste felkällan: implikationen $P \to Q$ är **sann** när $P$ är falsk, oavsett $Q$.
>
> Minnesregel: "Av falskt följer allt." Om premissen $P$ är falsk har vi inget att motsäga — implikationen är uppfylld per definition.
### 1.3 Sanningstabell
En **sanningstabell** listar alla möjliga kombinationer av sanningsvärden:
| $P$ | $Q$ | $\lnot P$ | $P \land Q$ | $P \lor Q$ | $P \to Q$ | $P \leftrightarrow Q$ |
|---|---|---|---|---|---|---|
| S | S | F | S | S | S | S |
| S | F | F | F | S | F | F |
| F | S | S | F | S | S | F |
| F | F | S | F | F | S | S |
> [!example]- Exempel: Verifiera att $P \to Q$ och $\lnot P \lor Q$ är logiskt ekvivalenta
> Vi bygger en sanningstabell:
>
> | $P$ | $Q$ | $P \to Q$ | $\lnot P$ | $\lnot P \lor Q$ |
> |---|---|---|---|---|
> | S | S | S | F | S |
> | S | F | F | F | F |
> | F | S | S | S | S |
> | F | F | S | S | S |
>
> Kolumnerna för $P \to Q$ och $\lnot P \lor Q$ är identiska. Alltså:
>
> $\boxed{P \to Q \iff \lnot P \lor Q}$
### 1.4 Symbolerna $\Rightarrow$ och $\Leftrightarrow$
| Symbol | Användning |
|---|---|
| $\to$ / $\rightarrow$ | Logisk operator *inom* en utsaga |
| $\Rightarrow$ | Mellan utsagor: "$P$ medför $Qquot; (metaspråk) |
| $\Leftrightarrow$ | Mellan utsagor: "$P$ är ekvivalent med $Qquot; (metaspråk) |
I praktiken används $\Rightarrow$ och $\to$ ofta synonymt i kursböcker. Det viktiga är att förstå att $P \Rightarrow Q$ betyder "om $P$ är sant, så är $Q$ sant".
### 1.5 De Morgans lagar
$\boxed{\lnot(P \land Q) \iff (\lnot P) \lor (\lnot Q)}$
$\boxed{\lnot(P \lor Q) \iff (\lnot P) \land (\lnot Q)}$
**Tolkning i ord:**
- Negationen av "båda gäller" = "minst en gäller inte"
- Negationen av "minst en gäller" = "ingen gäller"
> [!example]- Exempel: De Morgans lagar med konkreta utsagor
> Låt $P$: "det regnar" och $Q$: "det blåser".
>
> - $\lnot(P \land Q)$: "Det är inte så att det både regnar och blåser"
> - $(\lnot P) \lor (\lnot Q)$: "Det regnar inte, eller det blåser inte (eller inget av dem)"
>
> Dessa är exakt samma påstående.
### 1.6 Kontraposition
$\boxed{(P \to Q) \iff (\lnot Q \to \lnot P)}$
Det vill säga: "om $P$ så $Qquot; är logiskt ekvivalent med "om icke $Q$ så icke $Pquot;.
> [!example]- Exempel: Kontraposition
> **Utsaga:** "Om det regnar, så är marken våt."
>
> **Kontraposition:** "Om marken inte är våt, så regnar det inte."
>
> Båda påståendena har exakt samma sanningsvärde.
> [!tip]- Viktiga ekvivalenser att minnas
> | Ekvivalens | Namn |
> |---|---|
> | $P \to Q \iff \lnot P \lor Q$ | Implikation som disjunktion |
> | $P \to Q \iff \lnot Q \to \lnot P$ | Kontraposition |
> | $P \leftrightarrow Q \iff (P \to Q) \land (Q \to P)$ | Ekvivalens som dubbel implikation |
> | $\lnot(\lnot P) \iff P$ | Dubbel negation |
---
## 2. Bevismetoder
### 2.1 Direkt bevis
Vid ett **direkt bevis** utgår man från att premissen $P$ är sann och visar steg för steg att slutsatsen $Q$ måste vara sann.
**Struktur:**
1. Antag att $P$ gäller.
2. Härleder genom logiska steg...
3. Alltså gäller $Q$. $\square$
> [!example]- Exempel: Direkt bevis — "summan av två jämna tal är jämn"
> **Sats:** Om $a$ och $b$ är jämna heltal, så är $a + b$ jämnt.
>
> **Bevis:** Antag att $a$ och $b$ är jämna. Då finns heltal $m, n$ sådana att $a = 2m$ och $b = 2n$.
>
> $a + b = 2m + 2n = 2(m + n)$
>
> Eftersom $m + n$ är ett heltal, är $a + b = 2(m+n)$ jämnt. $\square$
### 2.2 Motbevis (motexempel)
Ett **motexempel** räcker för att motbevisa en universell utsaga. Om påståendet säger "för alla $x$ gäller $P(x)quot;, behöver vi bara hitta **ett** $x$ sådant att $P(x)$ är falskt.
> [!example]- Exempel: Motbevis — "alla primtal är udda"
> **Påstående:** Alla primtal är udda.
>
> **Motexempel:** $2$ är ett primtal och $2$ är jämnt.
>
> Alltså är påståendet falskt. $\square$
### 2.3 Kontrapositivt bevis
Istället för att bevisa $P \to Q$ direkt kan vi bevisa den logiskt ekvivalenta **kontrapositionen** $\lnot Q \to \lnot P$.
$\boxed{(P \to Q) \iff (\lnot Q \to \lnot P)}$
**Struktur:**
1. Antag att $Q$ **inte** gäller (dvs. $\lnot Q$).
2. Härleder genom logiska steg...
3. Alltså gäller $P$ **inte** (dvs. $\lnot P$). $\square$
> [!example]- Exempel: Kontrapositivt bevis — "om $n^2$ är jämnt, så är $n$ jämnt"
> **Sats:** Om $n^2$ är jämnt, så är $n$ jämnt.
>
> **Kontraposition:** Om $n$ är udda, så är $n^2$ udda.
>
> **Bevis:** Antag att $n$ är udda, dvs. $n = 2k + 1$ för något heltal $k$.
>
> $n^2 = (2k+1)^2 = 4k^2 + 4k + 1 = 2(2k^2 + 2k) + 1$
>
> Eftersom $2k^2 + 2k$ är ett heltal, har $n^2$ formen $2m + 1$, alltså är $n^2$ udda. $\square$
### 2.4 Motsägelsebevis (proof by contradiction)
Vid ett **motsägelsebevis** antar vi att det vi vill bevisa är **falskt** och visar att detta leder till en **motsägelse** (logisk omöjlighet).
**Struktur:**
1. Antag att påståendet **inte** gäller (negationen).
2. Härleder genom logiska steg...
3. Anländer vid en motsägelse (t.ex. $a = b$ och $a \neq b$).
4. Antagandet måste vara falskt, alltså gäller det ursprungliga påståendet. $\square$
> [!example]- Exempel: Motsägelsebevis — "$\sqrt{2}$ är irrationell"
> **Sats:** $\sqrt{2} \notin \mathbb{Q}$.
>
> **Bevis:** Antag för motsägelse att $\sqrt{2} \in \mathbb{Q}$. Då kan vi skriva $\sqrt{2} = \frac{p}{q}$ där $p, q \in \mathbb{Z}$, $q \neq 0$, och bråket är maximalt förkortat (dvs. $\gcd(p,q) = 1$).
>
> Då: $2 = \frac{p^2}{q^2} \implies p^2 = 2q^2$.
>
> Alltså är $p^2$ jämnt, vilket medför att $p$ är jämnt (se kontrapositivt bevis ovan). Skriv $p = 2k$.
>
> $4k^2 = 2q^2 \implies q^2 = 2k^2$
>
> Alltså är $q^2$ jämnt, vilket medför att $q$ är jämnt.
>
> Men nu är **båda** $p$ och $q$ jämna, vilket motsäger att $\gcd(p,q) = 1$. **Motsägelse!**
>
> Alltså är $\sqrt{2}$ irrationell. $\square$
> [!tip]- Sammanfattning: Val av bevismetod
> | Metod | Använd när... |
> |---|---|
> | Direkt bevis | Den naturliga vägen framåt är tydlig |
> | Motexempel | Du vill visa att en universell utsaga är **falsk** |
> | Kontrapositivt bevis | Det är lättare att börja från $\lnot Q$ än från $P$ |
> | Motsägelsebevis | Ingen direkt väg syns; negationen ger starkare antaganden |
---
## 3. Mängdlära & Talmängder
### 3.1 Grundläggande mängdnotation
En **mängd** är en samling av väldefinierade objekt, kallade **element**.
| Notation | Betydelse |
|---|---|
| $a \in A$ | $a$ tillhör mängden $A$ |
| $a \notin A$ | $a$ tillhör inte mängden $A$ |
| $A \subset B$ (eller $A \subseteq B$) | $A$ är en delmängd av $B$ |
| $A \cup B$ | Union: alla element i $A$ **eller** $B$ (eller båda) |
| $A \cap B$ | Snitt: alla element i **både** $A$ och $B$ |
| $A \setminus B$ | Differens: alla element i $A$ som **inte** är i $B$ |
| $\emptyset$ | Tomma mängden (mängden utan element) |
| $\{x \in A : P(x)\}$ | Mängdbyggarnotation: alla $x$ i $A$ sådana att $P(x)$ gäller |
> [!example]- Exempel: Mängdoperationer
> Låt $A = \{1, 2, 3, 4, 5\}$ och $B = \{3, 4, 5, 6, 7\}$.
>
> | Operation | Resultat |
> |---|---|
> | $A \cup B$ | $\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\}$ |
> | $A \cap B$ | $\{3, 4, 5\}$ |
> | $A \setminus B$ | $\{1, 2\}$ |
> | $B \setminus A$ | $\{6, 7\}$ |
### 3.2 De Morgans lagar för mängder
Analogt med de logiska lagarna gäller för mängder (med komplement relativt en universalmängd $U$):
$\boxed{(A \cup B)^c = A^c \cap B^c}$
$\boxed{(A \cap B)^c = A^c \cup B^c}$
### 3.3 Talmängder
De klassiska talmängderna bildar en kedja av delmängder:
$\boxed{\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}}$
| Mängd | Namn | Beskrivning | Exempel |
|---|---|---|---|
| $\mathbb{N}$ | Naturliga tal | $\{0, 1, 2, 3, \dots\}$ (ibland $\{1, 2, 3, \dots\}$) | $0, 5, 42$ |
| $\mathbb{Z}$ | Heltal | $\{\dots, -2, -1, 0, 1, 2, \dots\}$ | $-3, 0, 7$ |
| $\mathbb{Q}$ | Rationella tal | $\left\{\frac{p}{q} : p \in \mathbb{Z},\, q \in \mathbb{Z} \setminus \{0\}\right\}$ | $\frac{1}{2}, -\frac{7}{3}, 4$ |
| $\mathbb{R}$ | Reella tal | Alla tal på tallinjen | $\sqrt{2}, \pi, -3.7$ |
> [!note]- Om $\mathbb{N}$ och nollan
> Konventionen varierar: i vissa böcker ingår $0 \in \mathbb{N}$, i andra inte. I denna kurs följer vi bokens konvention. Notationen $\mathbb{N}_0 = \{0, 1, 2, \dots\}$ och $\mathbb{N}^+ = \{1, 2, 3, \dots\}$ kan användas för tydlighet.
### 3.4 Intervallnotation
Intervall är delmängder av $\mathbb{R}$. Låt $a < b$:
| Notation | Typ | Mängd |
|---|---|---|
| $(a, b)$ | Öppet | $\{x \in \mathbb{R} : a < x < b\}$ |
| $[a, b]$ | Slutet | $\{x \in \mathbb{R} : a \leq x \leq b\}$ |
| $[a, b)$ | Halvöppet | $\{x \in \mathbb{R} : a \leq x < b\}$ |
| $(a, b]$ | Halvöppet | $\{x \in \mathbb{R} : a < x \leq b\}$ |
| $(-\infty, b)$ | Obegränsat | $\{x \in \mathbb{R} : x < b\}$ |
| $(a, \infty)$ | Obegränsat | $\{x \in \mathbb{R} : x > a\}$ |
| $(-\infty, \infty)$ | Hela $\mathbb{R}$ | $\mathbb{R}$ |
> [!warning]- $\infty$ är inte ett tal
> Vi skriver aldrig $[\,a, \infty\,]$ med hakparentes vid $\infty$. Oändligheten är inte ett reellt tal och kan aldrig "ingå" i mängden — det markerar bara att intervallet sträcker sig obegränsat.
### 3.5 Absolutbelopp
**Definition:**
$\boxed{|x| = \begin{cases} x & \text{om } x \geq 0 \\ -x & \text{om } x < 0 \end{cases}}$
**Geometrisk tolkning:** $|x|$ är **avståndet** från $x$ till $0$ på tallinjen. Mer generellt är $|x - a|$ avståndet mellan $x$ och $a$.
**Viktiga egenskaper:**
| Egenskap | Formel |
|---|---|
| Icke-negativitet | $|x| \geq 0$, med likhet precis då $x = 0$ |
| Symmetri | $|-x| = |x|$ |
| Multiplikation | $|xy| = |x| \cdot |y|$ |
| Division | $\left|\frac{x}{y}\right| = \frac{|x|}{|y|}$, om $y \neq 0$ |
| Kvadrat | $|x|^2 = x^2$ |
### 3.6 Triangelolikheten
$\boxed{|x + y| \leq |x| + |y|}$
Detta är en av de mest använda olikheterna i analys. Den generaliseras till:
$\boxed{\big||x| - |y|\big| \leq |x - y|}$
> [!example]- Exempel: Triangelolikheten
> Låt $x = 3$ och $y = -5$.
>
> $|x + y| = |3 + (-5)| = |-2| = 2$
> $|x| + |y| = |3| + |-5| = 3 + 5 = 8$
>
> Kontroll: $2 \leq 8$ ✓
>
> Låt $x = 3$ och $y = 5$:
>
> $|x + y| = 8, \quad |x| + |y| = 8$
>
> Här gäller likhet eftersom $x$ och $y$ har samma tecken.
> [!note]- Geometrisk tolkning
> Triangelolikheten säger att den "direkta vägen" (längden $|x + y|$) aldrig kan vara längre än att gå via nollan (längden $|x| + |y|$). Likhet gäller precis då $x$ och $y$ har samma tecken (eller ett av dem är noll).
---
## 4. Polynom & Faktorisering
### 4.1 Definition av polynom
Ett **polynom** av grad $n$ i variabeln $x$ är ett uttryck av formen:
$\boxed{P(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_1 x + a_0}$
där $a_n \neq 0$ och koefficienterna $a_0, a_1, \dots, a_n \in \mathbb{R}$.
| Begrepp | Notation / Förklaring |
|---|---|
| Grad | $\deg(P) = n$ (högsta exponenten) |
| Ledande koefficient | $a_n$ (koefficienten framför $x^n$) |
| Konstantterm | $a_0$ (termen utan $x$) |
| Nollställe (rot) | Ett tal $r$ sådant att $P(r) = 0$ |
### 4.2 Algebraiska identiteter
Dessa regler bör sitta i ryggmärgen:
| Regel | Formel |
|---|---|
| Konjugatregeln | $\boxed{(a+b)(a-b) = a^2 - b^2}$ |
| Första kvadreringsregeln | $\boxed{(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2}$ |
| Andra kvadreringsregeln | $\boxed{(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2}$ |
| Kubexpansion | $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$ |
### 4.3 Kvadratkomplettering
Metoden att skriva om $ax^2 + bx + c$ på formen $a(x-d)^2 + e$:
$\boxed{ax^2 + bx + c = a\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 + c - \frac{b^2}{4a}}$
> [!example]- Exempel: Kvadratkomplettera $2x^2 + 12x + 7$
> **Steg 1:** Bryt ut koefficienten framför $x^2$:
>
> $2x^2 + 12x + 7 = 2(x^2 + 6x) + 7$
>
> **Steg 2:** Komplettera kvadraten inuti parentesen. Halva koefficienten för $x$ är $\frac{6}{2} = 3$:
>
> $= 2(x^2 + 6x + 9 - 9) + 7 = 2((x+3)^2 - 9) + 7$
>
> **Steg 3:** Förenkla:
>
> $= 2(x+3)^2 - 18 + 7 = 2(x+3)^2 - 11$
>
> **Resultat:** $2x^2 + 12x + 7 = 2(x+3)^2 - 11$
>
> Minimum uppnås vid $x = -3$ med minvärde $-11$.
### 4.4 Faktorsatsen
$\boxed{P(a) = 0 \iff (x - a) \mid P(x)}$
Det vill säga: $a$ är ett **nollställe** till $P(x)$ om och bara om $(x - a)$ är en **faktor** i $P(x)$.
Notation: $(x - a) \mid P(x)$ betyder att $(x - a)$ delar $P(x)$ jämnt, dvs. $P(x) = (x - a) \cdot Q(x)$ för något polynom $Q(x)$.
### 4.5 Polynomdivision
Om $P(x)$ divideras med $D(x)$ (divisorn) får vi:
$\boxed{P(x) = D(x) \cdot Q(x) + R(x)}$
där $Q(x)$ är **kvoten** och $R(x)$ är **resten** med $\deg(R) < \deg(D)$.
> [!example]- Exempel: Polynomdivision
> Dividera $P(x) = x^3 - 3x^2 + 4$ med $D(x) = (x - 2)$.
>
> Vi vet att $P(2) = 8 - 12 + 4 = 0$, så $(x-2)$ är en faktor (faktorsatsen).
>
> Utför divisionen (eller använd Horners metod):
>
> $x^3 - 3x^2 + 4 = (x - 2)(x^2 - x - 2)$
>
> Faktorisera vidare:
>
> $x^2 - x - 2 = (x-2)(x+1)$
>
> **Slutresultat:**
>
> $x^3 - 3x^2 + 4 = (x-2)^2(x+1)$
### 4.6 Faktorisering — sammanfattning av strategier
| Strategi | När den används | Exempel |
|---|---|---|
| Bryt ut gemensam faktor | Alla termer delar en faktor | $3x^2 + 6x = 3x(x+2)$ |
| Konjugatregeln | Skillnad av kvadrater | $x^2 - 9 = (x-3)(x+3)$ |
| Kvadreringsreglerna | Perfekta kvadrater | $x^2 + 6x + 9 = (x+3)^2$ |
| Faktorsatsen + division | Hitta nollställen, bryt ut | Se exempel ovan |
| Pq-formeln / abc-formeln | Andragradspolynom | $x^2 + bx + c = 0$ |
**Pq-formeln** för $x^2 + px + q = 0$:
$\boxed{x = -\frac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2 - q}}$
---
## 5. Olikheter
### 5.1 Grundläggande räkneregler för olikheter
| Regel | Villkor |
|---|---|
| $a < b \implies a + c < b + c$ | Addition med samma tal |
| $a < b \implies a \cdot c < b \cdot c$ | Multiplikation med $c > 0$ |
| $a < b \implies a \cdot c > b \cdot c$ | Multiplikation med $c < 0$ (**byter tecken!**) |
> [!warning]- Klassiskt misstag
> Vid multiplikation eller division med ett **negativt** tal måste olikhetstecknet **vändas**.
>
> Exempel: $-2x > 6 \implies x < -3$ (tecknet vänds!)
### 5.2 Teckenschemametoden
Teckenschemametoden används för att lösa **polynomiska olikheter** av typen $P(x) > 0$, $P(x) \leq 0$ etc.
**Steg:**
1. **Faktorisera** uttrycket fullständigt: $P(x) = a(x - r_1)(x - r_2) \cdots (x - r_n)$
2. **Markera nollställena** $r_1, r_2, \dots, r_n$ på en tallinje
3. **Bestäm tecknet** av varje faktor i varje delintervall
4. **Multiplicera** tecknen (jämnt antal minustecken ger plus)
5. **Läs av** lösningen utifrån vilken olikhet som gäller
> [!example]- Exempel: Lös $(x-1)(x+2)(x-4) > 0$
> **Nollställen:** $x = -2, \; 1, \; 4$
>
> **Teckenschema:**
>
> | Intervall | $(x+2)$ | $(x-1)$ | $(x-4)$ | Produkt |
> |---|---|---|---|---|
> | $x < -2$ | $-$ | $-$ | $-$ | $-$ |
> | $-2 < x < 1$ | $+$ | $-$ | $-$ | $+$ |
> | $1 < x < 4$ | $+$ | $+$ | $-$ | $-$ |
> | $x > 4$ | $+$ | $+$ | $+$ | $+$ |
>
> **Svar:** $(x-1)(x+2)(x-4) > 0$ för $x \in (-2, 1) \cup (4, \infty)$
> [!example]- Exempel: Lös $\dfrac{x+3}{x-1} \leq 0$
> **Kritiska punkter:** $x = -3$ (täljare noll) och $x = 1$ (nämnare noll, ej definierad)
>
> **Teckenschema:**
>
> | Intervall | $(x+3)$ | $(x-1)$ | Kvot |
> |---|---|---|---|
> | $x < -3$ | $-$ | $-$ | $+$ |
> | $-3 < x < 1$ | $+$ | $-$ | $-$ |
> | $x > 1$ | $+$ | $+$ | $+$ |
>
> Vi söker $\leq 0$, dvs. kvoten ska vara negativ eller noll. Kvoten är noll vid $x = -3$ och negativ på $(-3, 1)$.
>
> **Svar:** $x \in [-3, 1)$
>
> (Notera: $x = 1$ exkluderas eftersom uttrycket inte är definierat där.)
### 5.3 Olikheter med absolutbelopp
De centrala reglerna:
$\boxed{|x| < a \iff -a < x < a \quad (a > 0)}$
$\boxed{|x| > a \iff x < -a \;\text{ eller }\; x > a \quad (a > 0)}$
Mer generellt, med en förskjutning:
$|x - c| < a \iff c - a < x < c + a$
> [!example]- Exempel: Lös $|2x - 3| \leq 5$
> Enligt regeln $|u| \leq a \iff -a \leq u \leq a$:
>
> $-5 \leq 2x - 3 \leq 5$
>
> Addera $3$ överallt:
>
> $-2 \leq 2x \leq 8$
>
> Dividera med $2$:
>
> $-1 \leq x \leq 4$
>
> **Svar:** $x \in [-1, 4]$
> [!example]- Exempel: Lös $|x + 1| > 3$
> Enligt regeln $|u| > a \iff u < -a$ eller $u > a$:
>
> $x + 1 < -3 \quad \text{eller} \quad x + 1 > 3$
>
> $x < -4 \quad \text{eller} \quad x > 2$
>
> **Svar:** $x \in (-\infty, -4) \cup (2, \infty)$
> [!tip]- Strategi: olikheter med absolutbelopp
> 1. Isolera absolutbeloppet på ena sidan
> 2. Använd regeln $|u| < a \iff -a < u < a$ (eller motsvarande för gt;$)
> 3. Lös den resulterande olikheten/olikheterna
> 4. Om uttrycket innehåller flera absolutbelopp — dela in i **fall** baserat på var varje uttryck byter tecken
---
## Resurser
### Videor
- [3Blue1Brown: Who cares about topology? (Essence of Topology)](https://youtu.be/SXHHvoaSctc) — visuell introduktion till mängder och topologiska begrepp
- [Eddie Woo: Proof by Contradiction](https://youtu.be/E5KMkVN0oFE) — tydlig genomgång av motsägelsebevis
- [Eddie Woo: Proof by Contrapositive](https://youtu.be/X-hJ0krEQFk) — kontrapositivt bevis steg för steg
- [Trefor Bazett: Intro to Sets and Set Notation](https://youtu.be/tyDKR4FG3Yw) — grundlig genomgång av mängdnotation
- [The Organic Chemistry Tutor: Solving Polynomial Inequalities](https://youtu.be/wYFEBDMxDnM) — teckenschema-metoden
- [The Organic Chemistry Tutor: Absolute Value Inequalities](https://youtu.be/9TW3c7KFtRE) — olikheter med absolutbelopp
### Wikipedia
- [Proposition (matematik)](https://sv.wikipedia.org/wiki/Proposition_(matematik))
- [Mathematical proof](https://en.wikipedia.org/wiki/Mathematical_proof)
- [De Morgan's laws](https://en.wikipedia.org/wiki/De_Morgan%27s_laws)
- [Set (mathematics)](https://en.wikipedia.org/wiki/Set_(mathematics))
- [Absolute value](https://en.wikipedia.org/wiki/Absolute_value)
- [Triangle inequality](https://en.wikipedia.org/wiki/Triangle_inequality)
- [Polynomial](https://en.wikipedia.org/wiki/Polynomial)
- [Factor theorem](https://en.wikipedia.org/wiki/Factor_theorem)
- [Inequality (mathematics)](https://en.wikipedia.org/wiki/Inequality_(mathematics))