## Tentaliknande uppgifter med lösningar > Baserat på tentamina från 2023-2024. Varje uppgift är markerad med poäng motsvarande tentaformat. --- # Del 1: Induktionsbevis (5p-uppgifter) ## Uppgift 1.1 Visa med induktion att $\sum_{k=1}^{n} k \cdot k! = (n+1)! - 1$ gäller för alla positiva heltal $n$. > [!success]- Lösning > > **Basfall ($n = 1$):** $VL = 1 \cdot 1! = 1$ $HL = 2! - 1 = 2 - 1 = 1$ VL = HL ✓ > > **Induktionsantagande:** Antag att formeln gäller för $n = p$: $\sum_{k=1}^{p} k \cdot k! = (p+1)! - 1$ > > **Induktionssteg:** Visa att formeln gäller för $n = p + 1$: $\sum_{k=1}^{p+1} k \cdot k! = \sum_{k=1}^{p} k \cdot k! + (p+1)(p+1)!$ $= (p+1)! - 1 + (p+1)(p+1)! \quad \text{(ind.ant.)}$ $= (p+1)!(1 + p + 1) - 1$ $= (p+1)!(p+2) - 1$ $= (p+2)! - 1$ > > Enligt induktionsaxiomet gäller formeln för alla $n \geq 1$. --- ## Uppgift 1.2 Visa att $\frac{d^n}{dx^n}(x^n e^x) = e^x \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} \frac{n!}{k!} x^k$ för $n = 0, 1, 2$ (fullständigt induktionsbevis krävs ej, verifiera de tre första fallen). > [!success]- Lösning > > **Fall $n = 0$:** $\frac{d^0}{dx^0}(x^0 e^x) = e^x$ $HL = e^x \cdot \binom{0}{0} \cdot \frac{0!}{0!} \cdot x^0 = e^x$ ✓ > > **Fall $n = 1$:** $\frac{d}{dx}(xe^x) = e^x + xe^x = e^x(1 + x)$ $HL = e^x\left(\binom{1}{0}\frac{1!}{0!}x^0 + \binom{1}{1}\frac{1!}{1!}x^1\right) = e^x(1 + x)$ ✓ > > **Fall $n = 2$:** $\frac{d^2}{dx^2}(x^2 e^x) = \frac{d}{dx}(2xe^x + x^2 e^x) = 2e^x + 2xe^x + 2xe^x + x^2 e^x$ $= e^x(2 + 4x + x^2)$ $HL = e^x\left(\binom{2}{0}\frac{2!}{0!} + \binom{2}{1}\frac{2!}{1!}x + \binom{2}{2}\frac{2!}{2!}x^2\right)$ $= e^x(2 + 4x + x^2)$ ✓ --- ## Uppgift 1.3 Visa med induktion att $\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k(k+1)} = \frac{n}{n+1}$ för alla positiva heltal $n$. > [!success]- Lösning > > **Basfall ($n = 1$):** $VL = \frac{1}{1 \cdot 2} = \frac{1}{2}$ $HL = \frac{1}{2}$ ✓ > > **Induktionsantagande:** Antag formeln gäller för $n = p$. > > **Induktionssteg:** $\sum_{k=1}^{p+1} \frac{1}{k(k+1)} = \frac{p}{p+1} + \frac{1}{(p+1)(p+2)}$ $= \frac{p(p+2) + 1}{(p+1)(p+2)} = \frac{p^2 + 2p + 1}{(p+1)(p+2)}$ $= \frac{(p+1)^2}{(p+1)(p+2)} = \frac{p+1}{p+2}$ ✓ > > **Alternativt (teleskoperande):** $\frac{1}{k(k+1)} = \frac{1}{k} - \frac{1}{k+1}$ $\sum_{k=1}^{n} \left(\frac{1}{k} - \frac{1}{k+1}\right) = 1 - \frac{1}{n+1} = \frac{n}{n+1}$ --- # Del 2: Gränsvärden utan L'Hôpital (5p-uppgifter) ## Uppgift 2.1 (1p) Beräkna $\lim_{x \to \infty} \left(\frac{5}{3}\right)^x - \left(\frac{2}{3}\right)^x$ > [!success]- Lösning > > $\lim_{x \to \infty} \left(\frac{5}{3}\right)^x - \left(\frac{2}{3}\right)^x = \infty - 0 = \infty$ > > ty $\frac{5}{3} > 1$ ger $\left(\frac{5}{3}\right)^x \to \infty$ och $\frac{2}{3} < 1$ ger $\left(\frac{2}{3}\right)^x \to 0$. --- ## Uppgift 2.2 (2p) Beräkna $\lim_{x \to 0} \frac{\sin^2 x - x^2}{x^4}$ > [!success]- Lösning > > Använd $\sin x = x - \frac{x^3}{6} + O(x^5)$: $\sin^2 x = \left(x - \frac{x^3}{6} + O(x^5)\right)^2 = x^2 - \frac{x^4}{3} + O(x^6)$ > > $\frac{\sin^2 x - x^2}{x^4} = \frac{-\frac{x^4}{3} + O(x^6)}{x^4} = -\frac{1}{3} + O(x^2)$ > > $\lim_{x \to 0} \frac{\sin^2 x - x^2}{x^4} = -\frac{1}{3}$ --- ## Uppgift 2.3 (2p) Beräkna $\lim_{x \to 1} \frac{x^3 - 3x + 2}{x^3 - x^2 - x + 1}$ > [!success]- Lösning > > Både täljare och nämnare är 0 för $x = 1$, så $(x-1)$ är en faktor. > > **Täljare:** $x^3 - 3x + 2 = (x-1)(x^2 + x - 2) = (x-1)(x-1)(x+2) = (x-1)^2(x+2)$ > > **Nämnare:** $x^3 - x^2 - x + 1 = x^2(x-1) - (x-1) = (x-1)(x^2-1) = (x-1)^2(x+1)$ > > $\lim_{x \to 1} \frac{(x-1)^2(x+2)}{(x-1)^2(x+1)} = \lim_{x \to 1} \frac{x+2}{x+1} = \frac{3}{2}$ --- ## Uppgift 2.4 (2p) Beräkna $\lim_{x \to 0^+} x^{\sin x}$ > [!success]- Lösning > > Låt $f(x) = x^{\sin x}$. Då är $\ln f(x) = \sin x \cdot \ln x$ > > Vi undersöker $\lim_{x \to 0^+} \sin x \cdot \ln x$: > > Skriv om: $\sin x \cdot \ln x = \frac{\sin x}{x} \cdot x \ln x$ > > Vi vet att $\lim_{x \to 0^+} \frac{\sin x}{x} = 1$ och $\lim_{x \to 0^+} x \ln x = 0$ (standardgränsvärde). > > $\lim_{x \to 0^+} \sin x \cdot \ln x = 1 \cdot 0 = 0$ > > Därmed: $\lim_{x \to 0^+} x^{\sin x} = e^0 = 1$ --- ## Uppgift 2.5 (2p) Beräkna $\lim_{x \to \infty} \left(\sqrt{x^2 + 3x} - \sqrt{x^2 - 2x}\right)$ > [!success]- Lösning > > Konjugatregeln: $\sqrt{x^2 + 3x} - \sqrt{x^2 - 2x} = \frac{(x^2 + 3x) - (x^2 - 2x)}{\sqrt{x^2 + 3x} + \sqrt{x^2 - 2x}}$ $= \frac{5x}{\sqrt{x^2 + 3x} + \sqrt{x^2 - 2x}}$ > > För $x > 0$: $\sqrt{x^2 + 3x} = x\sqrt{1 + \frac{3}{x}}$ > > $= \frac{5x}{x\sqrt{1 + \frac{3}{x}} + x\sqrt{1 - \frac{2}{x}}} = \frac{5}{\sqrt{1 + \frac{3}{x}} + \sqrt{1 - \frac{2}{x}}}$ > > $\lim_{x \to \infty} = \frac{5}{1 + 1} = \frac{5}{2}$ --- ## Uppgift 2.6 (2p) Beräkna $\lim_{x \to 0} \frac{e^x - e^{-x} - 2x}{x - \sin x}$ > [!success]- Lösning > > Taylorutveckla: $e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + O(x^4)$ $e^{-x} = 1 - x + \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{6} + O(x^4)$ $e^x - e^{-x} = 2x + \frac{x^3}{3} + O(x^5)$ > > **Täljare:** $e^x - e^{-x} - 2x = \frac{x^3}{3} + O(x^5)$ > > **Nämnare:** $x - \sin x = x - \left(x - \frac{x^3}{6}\right) = \frac{x^3}{6} + O(x^5)$ > > $\lim_{x \to 0} \frac{\frac{x^3}{3} + O(x^5)}{\frac{x^3}{6} + O(x^5)} = \frac{1/3}{1/6} = 2$ --- # Del 3: Implicit derivering och kurvor (5p-uppgifter) ## Uppgift 3.1 Kurvan ges av $x^3 + y^3 = 9xy$ (Descartes bladkurva). (a) Finn tangentens ekvation i punkten $(2, 4)$. (3p) (b) I vilken punkt (förutom origo) är tangenten horisontell? (2p) > [!success]- Lösning > > **(a)** Kontrollera först att $(2, 4)$ ligger på kurvan: $8 + 64 = 72 = 9 \cdot 2 \cdot 4 = 72 \quad \checkmark$ > > Implicit derivering: $3x^2 + 3y^2 y' = 9y + 9xy'$ $y'(3y^2 - 9x) = 9y - 3x^2$ $y' = \frac{9y - 3x^2}{3y^2 - 9x} = \frac{3y - x^2}{y^2 - 3x}$ > > I $(2, 4)$: $y' = \frac{3 \cdot 4 - 4}{16 - 6} = \frac{8}{10} = \frac{4}{5}$ > > Tangentens ekvation: $y - 4 = \frac{4}{5}(x - 2)$ $y = \frac{4}{5}x + \frac{12}{5}$ > > **(b)** Horisontell tangent: $y' = 0 \Rightarrow 3y - x^2 = 0 \Rightarrow y = \frac{x^2}{3}$ > > Insatt i kurvans ekvation: $x^3 + \frac{x^6}{27} = 9x \cdot \frac{x^2}{3} = 3x^3$ $\frac{x^6}{27} = 2x^3$ $x^6 = 54x^3$ $x^3(x^3 - 54) = 0$ > > $x = 0$ eller $x = \sqrt[3]{54} = 3\sqrt[3]{2}$ > > För $x = 3\sqrt[3]{2}$: $y = \frac{9\sqrt[3]{4}}{3} = 3\sqrt[3]{4}$ > > **Svar:** $(3\sqrt[3]{2}, 3\sqrt[3]{4})$ --- ## Uppgift 3.2 Ellipsen ges av $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{9} = 1$ (a) Finn tangentens ekvation i punkten $\left(\frac{8}{5}, \frac{9}{5}\right)$. (2p) (b) Visa att tangentlinjen i punkten $(a, b)$ på ellipsen ges av $\frac{ax}{16} + \frac{by}{9} = 1$. (3p) > [!success]- Lösning > > **(a)** Implicit derivering: $\frac{2x}{16} + \frac{2yy'}{9} = 0$ $y' = -\frac{9x}{16y}$ > > I $\left(\frac{8}{5}, \frac{9}{5}\right)$: $y' = -\frac{9 \cdot \frac{8}{5}}{16 \cdot \frac{9}{5}} = -\frac{72/5}{144/5} = -\frac{1}{2}$ > > Tangent: $y - \frac{9}{5} = -\frac{1}{2}\left(x - \frac{8}{5}\right)$ $y = -\frac{x}{2} + \frac{4}{5} + \frac{9}{5} = -\frac{x}{2} + \frac{13}{5}$ > > **(b)** Tangentens ekvation i $(a, b)$: $y - b = -\frac{9a}{16b}(x - a)$ $\frac{16b(y - b)}{9} = -a(x - a)$ $\frac{16by - 16b^2}{9} = -ax + a^2$ $ax + \frac{16by}{9} = a^2 + \frac{16b^2}{9}$ > > Dividera med 16: $\frac{ax}{16} + \frac{by}{9} = \frac{a^2}{16} + \frac{b^2}{9} = 1$ > > (sista likheten ty $(a,b)$ ligger på ellipsen) --- # Del 4: Kurvundersökning (5p-uppgifter) ## Uppgift 4.1 Undersök funktionen $f(x) = \frac{x^2 - 4}{x^2 - 1}$ Bestäm asymptoter, lokala extremvärden, inflexionspunkter. Skissera kurvan och ange värdemängden. > [!success]- Lösning > > **Definitionsmängd:** $D_f = \mathbb{R} \setminus {-1, 1}$ > > **Symmetri:** $f(-x) = f(x)$, jämn funktion > > **Skärningar:** > > - x-axeln: $x^2 - 4 = 0 \Rightarrow x = \pm 2$ > - y-axeln: $f(0) = 4$ > > **Asymptoter:** > > - Vertikala: $x = -1$ och $x = 1$ > - Horisontell: $\lim_{x \to \pm\infty} \frac{x^2 - 4}{x^2 - 1} = 1$, så $y = 1$ > > **Derivata:** $f(x) = \frac{x^2 - 4}{x^2 - 1} = 1 - \frac{3}{x^2 - 1}$ $f'(x) = \frac{6x}{(x^2 - 1)^2}$ > > $f'(x) = 0$ när $x = 0$ > > **Teckenschema:** > > |Intervall|$f'(x)$|$f(x)$| > |:-:|:-:|:-:| > |$x < -1$|$-$|avtar| > |$-1 < x < 0$|$-$|avtar| > |$0 < x < 1$|$+$|växer| > |$x > 1$|$+$|växer| > > Lokalt min i $x = 0$: $f(0) = 4$ > > **Beteende vid asymptoter:** > > - $x \to 1^+$: $f(x) \to +\infty$ > - $x \to 1^-$: $f(x) \to -\infty$ > - $x \to -1^+$: $f(x) \to -\infty$ > - $x \to -1^-$: $f(x) \to +\infty$ > > **Värdemängd:** $R(f) = (-\infty, 1) \cup [4, \infty)$ --- ## Uppgift 4.2 Undersök funktionen $f(x) = x^2 e^{-x}$ för $x \in \mathbb{R}$. Bestäm extremvärden, inflexionspunkter, asymptoter. Skissera kurvan. > [!success]- Lösning > > **Skärningar:** $f(x) = 0$ när $x = 0$ (dubbelrot) > > **Asymptoter:** $\lim_{x \to \infty} x^2 e^{-x} = 0 \quad \text{(exp. dominerar)}$ $\lim_{x \to -\infty} x^2 e^{-x} = \infty$ Horisontell asymptot $y = 0$ åt höger. > > **Derivator:** $f'(x) = 2xe^{-x} - x^2 e^{-x} = xe^{-x}(2 - x)$ $f''(x) = e^{-x}(2 - x) + xe^{-x}(-1) - xe^{-x}(2-x)$ $= e^{-x}(2 - 4x + x^2) = e^{-x}(x - 2)^2 - 2e^{-x}(x-1)$ > > Enklare: $f''(x) = e^{-x}(x^2 - 4x + 2)$ > > **Kritiska punkter:** $f'(x) = 0$ när $x = 0$ eller $x = 2$ > > - $f(0) = 0$ (lokalt min) > - $f(2) = 4e^{-2} = \frac{4}{e^2}$ (lokalt max) > > **Inflexionspunkter:** $x^2 - 4x + 2 = 0 \Rightarrow x = 2 \pm \sqrt{2}$ > > **Värdemängd:** $R(f) = [0, \infty)$ --- # Del 5: Optimering och relaterade hastigheter (5p-uppgifter) ## Uppgift 5.1 En rektangel har sin bas på x-axeln och sina två övre hörn på parabeln $y = 12 - x^2$. Bestäm rektangelns maximala area. > [!success]- Lösning > > Låt det övre högra hörnet vara i $(x, 12 - x^2)$ där $0 < x < \sqrt{12}$. > > **Area:** $A(x) = 2x(12 - x^2) = 24x - 2x^3$ > > **Derivera:** $A'(x) = 24 - 6x^2 = 0$ $x^2 = 4 \Rightarrow x = 2$ > > **Kontroll:** $A''(x) = -12x$, så $A''(2) = -24 < 0$ → max > > **Maximal area:** $A(2) = 24 \cdot 2 - 2 \cdot 8 = 48 - 16 = 32$ --- ## Uppgift 5.2 En kon har höjd $h = 10$ cm och basradie $r = 5$ cm. Vatten fylls på med hastigheten 2 cm³/s. Hur snabbt stiger vattenytan när vattnet är 4 cm djupt? > [!success]- Lösning > > **Geometri:** Likformighet ger $\frac{R}{H} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}$, så $R = \frac{H}{2}$ > > **Volym:** $V = \frac{1}{3}\pi R^2 H = \frac{1}{3}\pi \left(\frac{H}{2}\right)^2 H = \frac{\pi H^3}{12}$ > > **Derivera m.a.p. $t$:** $\frac{dV}{dt} = \frac{\pi H^2}{4} \cdot \frac{dH}{dt}$ > > **Givet:** $\frac{dV}{dt} = 2$, $H = 4$ > > $2 = \frac{\pi \cdot 16}{4} \cdot \frac{dH}{dt} = 4\pi \cdot \frac{dH}{dt}$ > > $\frac{dH}{dt} = \frac{1}{2\pi} \approx 0.159 \text{ cm/s}$ --- ## Uppgift 5.3 Två bilar startar från samma punkt. Bil A kör norrut med 60 km/h och bil B kör österut med 80 km/h. Hur snabbt ökar avståndet mellan bilarna efter 2 timmar? > [!success]- Lösning > > Låt $x$ = avstånd österut (bil B), $y$ = avstånd norrut (bil A). > > Avståndet: $s = \sqrt{x^2 + y^2}$ > > Efter 2 timmar: $x = 160$ km, $y = 120$ km, $s = \sqrt{160^2 + 120^2} = 200$ km > > **Derivera:** $s^2 = x^2 + y^2$ $2s \frac{ds}{dt} = 2x\frac{dx}{dt} + 2y\frac{dy}{dt}$ $\frac{ds}{dt} = \frac{x \cdot \frac{dx}{dt} + y \cdot \frac{dy}{dt}}{s}$ > > $\frac{ds}{dt} = \frac{160 \cdot 80 + 120 \cdot 60}{200} = \frac{12800 + 7200}{200} = \frac{20000}{200} = 100 \text{ km/h}$ --- ## Uppgift 5.4 En lyktstolpe är 6 m hög. En 2 m lång person går från stolpen med hastigheten 1.5 m/s. Hur snabbt förlängs personens skugga? > [!success]- Lösning > > Låt $x$ = avstånd från stolpe till person, $s$ = skuggans längd. > > **Likformiga trianglar:** $\frac{6}{x + s} = \frac{2}{s}$ $6s = 2(x + s) = 2x + 2s$ $4s = 2x \Rightarrow s = \frac{x}{2}$ > > **Derivera:** $\frac{ds}{dt} = \frac{1}{2} \cdot \frac{dx}{dt} = \frac{1}{2} \cdot 1.5 = 0.75 \text{ m/s}$ --- # Del 6: Taylorpolynom (5p-uppgifter) ## Uppgift 6.1 (a) Finn Maclaurinpolynomet $P_4(x)$ för $f(x) = \ln(1 + x)$. (2p) (b) Använd $P_4$ för att approximera $\ln(1.2)$. (1p) (c) Uppskatta felet i approximationen. (2p) > [!success]- Lösning > > **(a)** Vi beräknar derivatorna: > > |$n$|$f^{(n)}(x)$|$f^{(n)}(0)$| > |:-:|:-:|:-:| > |0|$\ln(1+x)$|0| > |1|$(1+x)^{-1}$|1| > |2|$-(1+x)^{-2}$|-1| > |3|$2(1+x)^{-3}$|2| > |4|$-6(1+x)^{-4}$|-6| > > $P_4(x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4}$ > > **(b)** $\ln(1.2) \approx 0.2 - \frac{0.04}{2} + \frac{0.008}{3} - \frac{0.0016}{4}$ $= 0.2 - 0.02 + 0.00267 - 0.0004 = 0.18227$ > > (Exakt: $\ln(1.2) \approx 0.18232$) > > **(c)** Lagranges restterm: $R_4(x) = \frac{f^{(5)}(\xi)}{5!}x^5$ > > $f^{(5)}(x) = \frac{24}{(1+x)^5}$ > > För $\xi \in (0, 0.2)$: $|f^{(5)}(\xi)| < 24$ > > $|R_4(0.2)| < \frac{24}{120} \cdot (0.2)^5 = 0.2 \cdot 0.00032 = 0.000064$ --- ## Uppgift 6.2 Använd taylorutveckling för att beräkna $\lim_{x \to 0} \frac{\tan x - x}{x - \sin x}$ > [!success]- Lösning > > $\tan x = x + \frac{x^3}{3} + O(x^5)$ $\sin x = x - \frac{x^3}{6} + O(x^5)$ > > **Täljare:** $\tan x - x = \frac{x^3}{3} + O(x^5)$ > > **Nämnare:** $x - \sin x = \frac{x^3}{6} + O(x^5)$ > > $\lim_{x \to 0} \frac{\frac{x^3}{3} + O(x^5)}{\frac{x^3}{6} + O(x^5)} = \frac{1/3}{1/6} = 2$ --- ## Uppgift 6.3 Finn $P_3(x)$ för $f(x) = e^{\sin x}$ kring $x = 0$. > [!success]- Lösning > > **Metod:** Komponera kända serier. > > $\sin x = x - \frac{x^3}{6} + O(x^5)$ > > $e^u = 1 + u + \frac{u^2}{2} + \frac{u^3}{6} + O(u^4)$ > > Sätt $u = \sin x = x - \frac{x^3}{6} + O(x^5)$: > > $e^{\sin x} = 1 + \left(x - \frac{x^3}{6}\right) + \frac{1}{2}\left(x - \frac{x^3}{6}\right)^2 + \frac{1}{6}x^3 + O(x^4)$ > > $= 1 + x - \frac{x^3}{6} + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + O(x^4)$ > > $= 1 + x + \frac{x^2}{2} + O(x^4)$ > > $P_3(x) = 1 + x + \frac{x^2}{2}$ > > (Koefficienten för $x^3$ är 0!) --- # Del 7: Newton-Raphsons metod (2-3p) ## Uppgift 7.1 Använd Newton-Raphsons metod med startgissning $x_0 = 1$ för att göra två iterationer och approximera roten till $x^3 + x - 3 = 0$. > [!success]- Lösning > > $f(x) = x^3 + x - 3$, $f'(x) = 3x^2 + 1$ > > $x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$ > > **Iteration 1:** $x_1 = 1 - \frac{1 + 1 - 3}{3 + 1} = 1 - \frac{-1}{4} = 1.25$ > > **Iteration 2:** $f(1.25) = 1.953125 + 1.25 - 3 = 0.203125$ $f'(1.25) = 4.6875 + 1 = 5.6875$ $x_2 = 1.25 - \frac{0.203125}{5.6875} \approx 1.214$ > > **Svar:** $x \approx 1.214$ --- ## Uppgift 7.2 Visa att $e^x = 5x$ har exakt en positiv lösning och använd Newton-Raphsons metod med $x_0 = 2$ för att approximera den. > [!success]- Lösning > > **Existens:** Låt $g(x) = e^x - 5x$ > > - $g(0) = 1 > 0$ > - $g(2) = e^2 - 10 \approx 7.39 - 10 = -2.61 < 0$ > > Enligt mellanvärdessatsen finns minst en rot i $(0, 2)$. > > **Entydighet:** $g'(x) = e^x - 5$ > > - För $x < \ln 5$: $g'(x) < 0$ (avtagande) > - För $x > \ln 5$: $g'(x) > 0$ (växande) > > Min i $x = \ln 5 \approx 1.61$: $g(\ln 5) = 5 - 5\ln 5 < 0$ > > Eftersom $g(x) \to \infty$ när $x \to \infty$, finns exakt en rot för $x > \ln 5$. > > Men $g(0) > 0$ och $g(\ln 5) < 0$, så det finns också en rot i $(0, \ln 5)$. > > Totalt: **två positiva rötter**. > > **Newton-Raphson med $x_0 = 2$:** $x_1 = 2 - \frac{e^2 - 10}{e^2 - 5} = 2 - \frac{-2.61}{2.39} \approx 2 + 1.09 = 3.09$ > > Hmm, detta divergerar. Välj bättre startpunkt $x_0 = 0.3$: $x_1 = 0.3 - \frac{e^{0.3} - 1.5}{e^{0.3} - 5} = 0.3 - \frac{-0.15}{-3.65} \approx 0.26$ --- # Del 8: Binomialutveckling (5p-uppgifter) ## Uppgift 8.1 (a) Finn koefficienten för $x^6$ i utvecklingen av $(2x - 3)^8$. (3p) (b) Beräkna $\sum_{k=0}^{8} \binom{8}{k} 2^{8-k}(-3)^k$. (2p) > [!success]- Lösning > > **(a)** Binomialsatsen: $(2x - 3)^8 = \sum_{k=0}^{8} \binom{8}{k} (2x)^{8-k}(-3)^k$ > > För $x^6$: $8 - k = 6 \Rightarrow k = 2$ > > Koefficient: $\binom{8}{2} \cdot 2^6 \cdot (-3)^2 = 28 \cdot 64 \cdot 9 = 16128$ > > **(b)** Summan är just $(2 - 3)^8 = (-1)^8 = 1$ --- ## Uppgift 8.2 Använd binomialutveckling för att visa att $(1 + x)^n + (1 - x)^n = 2\sum_{k=0}^{\lfloor n/2 \rfloor} \binom{n}{2k} x^{2k}$ > [!success]- Lösning > > $(1 + x)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} x^k$ $(1 - x)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} (-x)^k = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} (-1)^k x^k$ > > Addera: $(1+x)^n + (1-x)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k}(1 + (-1)^k)x^k$ > > - Om $k$ är udda: $1 + (-1)^k = 0$ > - Om $k$ är jämnt: $1 + (-1)^k = 2$ > > Endast jämna $k$ bidrar, så: $(1+x)^n + (1-x)^n = 2\sum_{j=0}^{\lfloor n/2 \rfloor} \binom{n}{2j} x^{2j}$ --- # Del 9: Olikheter med derivata (4-5p) ## Uppgift 9.1 Visa att $e^x \geq 1 + x + \frac{x^2}{2}$ för alla $x \geq 0$. > [!success]- Lösning > > Låt $g(x) = e^x - 1 - x - \frac{x^2}{2}$ för $x \geq 0$. > > $g'(x) = e^x - 1 - x$ $g''(x) = e^x - 1$ > > För $x > 0$: $g''(x) = e^x - 1 > 0$ > > Alltså är $g'$ strängt växande på $[0, \infty)$. > > $g'(0) = 1 - 1 - 0 = 0$ > > Därmed $g'(x) > 0$ för $x > 0$, så $g$ är strängt växande på $[0, \infty)$. > > $g(0) = 1 - 1 - 0 - 0 = 0$ > > Alltså $g(x) > 0$ för $x > 0$, och $g(0) = 0$. > > **Slutsats:** $e^x \geq 1 + x + \frac{x^2}{2}$ för $x \geq 0$, med likhet endast för $x = 0$. --- ## Uppgift 9.2 Visa att $\sin x > x - \frac{x^3}{6}$ för alla $x > 0$. > [!success]- Lösning > > Låt $h(x) = \sin x - x + \frac{x^3}{6}$ för $x > 0$. > > $h'(x) = \cos x - 1 + \frac{x^2}{2}$ $h''(x) = -\sin x + x$ $h'''(x) = -\cos x + 1 \geq 0$ > > Eftersom $h'''(x) \geq 0$ är $h''$ växande. > > $h''(0) = 0$, så $h''(x) > 0$ för $x > 0$. > > Alltså är $h'$ strängt växande med $h'(0) = 0$, så $h'(x) > 0$ för $x > 0$. > > Alltså är $h$ strängt växande med $h(0) = 0$, så $h(x) > 0$ för $x > 0$. > > **Slutsats:** $\sin x > x - \frac{x^3}{6}$ för $x > 0$. --- # Del 10: Blandade uppgifter ## Uppgift 10.1 (Lamberts W-funktion) Lös ekvationen $xe^x = 2$ uttryckt i Lamberts W-funktion, där $W$ är invers till $f(t) = te^t$. > [!success]- Lösning > > $xe^x = 2$ > > Eftersom $W(te^t) = t$: $W(xe^x) = W(2)$ $x = W(2)$ --- ## Uppgift 10.2 Beräkna $\lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{3}{n}\right)^{2n}$ > [!success]- Lösning > > Skriv om: $\left(1 + \frac{3}{n}\right)^{2n} = \left[\left(1 + \frac{3}{n}\right)^{n/3}\right]^6$ > > Låt $m = n/3$: $\left(1 + \frac{1}{m}\right)^m \to e \text{ när } m \to \infty$ > > Alltså: $\lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{3}{n}\right)^{2n} = e^6$ --- ## Uppgift 10.3 Funktionen $f(x) = \arctan x + \arctan\frac{1}{x}$ är konstant för $x > 0$. Bestäm konstanten. > [!success]- Lösning > > **Metod 1 (derivera):** $f'(x) = \frac{1}{1+x^2} + \frac{1}{1+\frac{1}{x^2}} \cdot \left(-\frac{1}{x^2}\right)$ $= \frac{1}{1+x^2} - \frac{x^2}{x^2+1} \cdot \frac{1}{x^2} = \frac{1}{1+x^2} - \frac{1}{1+x^2} = 0$ > > Så $f$ är konstant. Beräkna $f(1)$: $f(1) = \arctan 1 + \arctan 1 = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$ > > **Svar:** $f(x) = \frac{\pi}{2}$ för $x > 0$. --- # Facit (korta svar) |Uppgift|Svar| |:--|:--| |2.1|$\infty$| |2.2|$-\frac{1}{3}$| |2.3|$\frac{3}{2}$| |2.4|$1$| |2.5|$\frac{5}{2}$| |2.6|$2$| |4.1 Värdemängd|$(-\infty, 1) \cup [4, \infty)$| |5.1|$32$| |5.2|$\frac{1}{2\pi}$ cm/s| |5.3|$100$ km/h| |5.4|$0.75$ m/s| |6.2|$2$| |7.1|$\approx 1.214$| |8.1(a)|$16128$| |8.1(b)|$1$| |10.2|$e^6$| |10.3|$\frac{\pi}{2}$| # Differentialkalkyl M0047M - Övningsuppgifter > Omfattande samling av övningsuppgifter för tentaförberedelse --- ## 1. Induktionsbevis ### Uppgift 1.1 Visa med induktion att $\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ för alla $n \geq 1$. ### Uppgift 1.2 Visa med induktion att $\sum_{k=1}^{n} k^3 = \left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2$ för alla $n \geq 1$. ### Uppgift 1.3 Visa med induktion att $\sum_{k=1}^{n} (2k-1) = n^2$ för alla $n \geq 1$. ### Uppgift 1.4 Visa med induktion att $\sum_{k=1}^{n} k(k+1) = \frac{n(n+1)(n+2)}{3}$ för alla $n \geq 1$. ### Uppgift 1.5 Visa med induktion att $\sum_{k=0}^{n} 2^k = 2^{n+1} - 1$ för alla $n \geq 0$. ### Uppgift 1.6 Visa med induktion att $\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k(k+1)} = \frac{n}{n+1}$ för alla $n \geq 1$. ### Uppgift 1.7 Visa med induktion att $\sum_{k=1}^{n} k \cdot k! = (n+1)! - 1$ för alla $n \geq 1$. ### Uppgift 1.8 Visa med induktion att $\sum_{k=0}^{n} k \cdot 2^k = (n-1) \cdot 2^{n+1} + 2$ för alla $n \geq 0$. ### Uppgift 1.9 Visa med induktion att $\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{(2k-1)(2k+1)} = \frac{n}{2n+1}$ för alla $n \geq 1$. ### Uppgift 1.10 Visa med induktion att $\sum_{k=1}^{n} k^2 \cdot 2^k = (n^2 - 2n + 3) \cdot 2^{n+1} - 6$ för alla $n \geq 1$. ### Uppgift 1.11 Visa med induktion att $\frac{d^n}{dx^n}(x^n e^x) = e^x \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} \frac{n!}{k!} x^k$ för $n = 0, 1, 2$. ### Uppgift 1.12 Visa med induktion att $n^3 + 2n$ är delbart med 3 för alla $n \geq 1$. ### Uppgift 1.13 Visa med induktion att $4^n - 1$ är delbart med 3 för alla $n \geq 1$. ### Uppgift 1.14 Visa med induktion att $7^n - 1$ är delbart med 6 för alla $n \geq 1$. ### Uppgift 1.15 Visa med induktion att $\frac{d^n}{dx^n}(\sin x) = \sin(x + \frac{n\pi}{2})$ för alla $n \geq 1$. --- ## 2. Gränsvärden (utan L'Hôpital) ### Uppgift 2.1 Beräkna $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}$. ### Uppgift 2.2 Beräkna $\lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x}$. ### Uppgift 2.3 Beräkna $\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2}$. ### Uppgift 2.4 Beräkna $\lim_{x \to 0} \frac{\sin^2 x - x^2}{x^4}$. ### Uppgift 2.5 Beräkna $\lim_{x \to \infty} \left(\frac{5}{3}\right)^x - \left(\frac{2}{3}\right)^x$. ### Uppgift 2.6 Beräkna $\lim_{x \to 1} \frac{x^3 - 3x + 2}{x^3 - x^2 - x + 1}$. ### Uppgift 2.7 Beräkna $\lim_{x \to 0^+} x^{\sin x}$. ### Uppgift 2.8 Beräkna $\lim_{x \to \infty} \left(\sqrt{x^2 + 3x} - \sqrt{x^2 - 2x}\right)$. ### Uppgift 2.9 Beräkna $\lim_{x \to 0} \frac{e^x - e^{-x} - 2x}{x - \sin x}$. ### Uppgift 2.10 Beräkna $\lim_{x \to 0} \frac{\tan x - x}{x^3}$. ### Uppgift 2.11 Beräkna $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x - \tan x}{x^3}$. ### Uppgift 2.12 Beräkna $\lim_{x \to 2} \frac{x^3 - 8}{x^2 - 4}$. ### Uppgift 2.13 Beräkna $\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1 - x}{x^2}$. ### Uppgift 2.14 Beräkna $\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + x)}{x}$. ### Uppgift 2.15 Beräkna $\lim_{x \to 0^+} x \ln x$. ### Uppgift 2.16 Beräkna $\lim_{x \to \infty} x e^{-x}$. ### Uppgift 2.17 Beräkna $\lim_{x \to 0} \frac{e^x - e^{-x}}{2x}$. ### Uppgift 2.18 Beräkna $\lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{\sin 2x}$. ### Uppgift 2.19 Beräkna $\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos 2x}{x \sin x}$. ### Uppgift 2.20 Beräkna $\lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{3}{n}\right)^{2n}$. ### Uppgift 2.21 Beräkna $\lim_{x \to 0} \frac{\tan x - \sin x}{x^3}$. ### Uppgift 2.22 Beräkna $\lim_{x \to 0^+} (1 + x)^{1/x}$. ### Uppgift 2.23 Beräkna $\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x+1}{x-1}\right)^x$. ### Uppgift 2.24 Beräkna $\lim_{x \to 0} \frac{x - \sin x}{x^3}$. ### Uppgift 2.25 Beräkna $\lim_{x \to \infty} x(\sqrt{x^2 + 1} - x)$. --- ## 3. Implicit derivering och kurvor ### Uppgift 3.1 Kurvan ges av $x^3 + y^3 = 9xy$ (Descartes bladkurva). (a) Finn tangentens ekvation i punkten $(2, 4)$. (b) I vilken punkt (förutom origo) är tangenten horisontell? ### Uppgift 3.2 Ellipsen ges av $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{9} = 1$. (a) Finn tangentens ekvation i punkten $\left(\frac{8}{5}, \frac{9}{5}\right)$. (b) Visa att tangentlinjen i punkten $(a, b)$ på ellipsen ges av $\frac{ax}{16} + \frac{by}{9} = 1$. ### Uppgift 3.3 Kurvan ges av $x^2 + y^2 = 25$. Finn tangentens ekvation i punkten $(3, 4)$. ### Uppgift 3.4 Kurvan ges av $x^2 - xy + y^2 = 3$. Finn $\frac{dy}{dx}$ genom implicit derivering. ### Uppgift 3.5 Kurvan ges av $e^{xy} = x + y$. Finn $\frac{dy}{dx}$ i punkten $(1, 0)$. ### Uppgift 3.6 Kurvan ges av $\sin(xy) = x^2 + y^2$. Finn $\frac{dy}{dx}$. ### Uppgift 3.7 Kurvan ges av $x^3 + y^3 = 6xy$. Finn alla punkter där tangenten är horisontell. ### Uppgift 3.8 Kurvan ges av $x^2 y + xy^2 = 2$. Finn tangentens ekvation i punkten $(1, 1)$. ### Uppgift 3.9 Kurvan ges av $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$. Visa att tangenten i punkten $(x_0, y_0)$ ges av $\frac{x_0 x}{a^2} + \frac{y_0 y}{b^2} = 1$. ### Uppgift 3.10 Kurvan ges av $y^2 = x^3$. Finn punkter där tangenten är vertikal. ### Uppgift 3.11 Kurvan ges av $(x^2 + y^2)^2 = 2x^2 - 2y^2$. Finn $\frac{dy}{dx}$ i punkten $(1, 0)$. ### Uppgift 3.12 Kurvan ges av $x^4 + y^4 = x^2 + y^2$. Finn alla punkter där $\frac{dy}{dx} = -1$. --- ## 4. Kurvundersökning ### Uppgift 4.1 Undersök funktionen $f(x) = \frac{x^2 - 4}{x^2 - 1}$. Bestäm asymptoter, lokala extremvärden, inflexionspunkter. Skissera kurvan och ange värdemängden. ### Uppgift 4.2 Undersök funktionen $f(x) = x^2 e^{-x}$ för $x \in \mathbb{R}$. Bestäm extremvärden, inflexionspunkter, asymptoter. Skissera kurvan. ### Uppgift 4.3 Undersök funktionen $f(x) = \frac{x^3}{x^2 - 1}$. Bestäm alla asymptoter, extremvärden och inflexionspunkter. ### Uppgift 4.4 Undersök funktionen $f(x) = x \ln x$ för $x > 0$. Bestäm extremvärden och skissera kurvan. ### Uppgift 4.5 Undersök funktionen $f(x) = \frac{x}{x^2 + 1}$. Bestäm extremvärden, inflexionspunkter och asymptoter. ### Uppgift 4.6 Undersök funktionen $f(x) = x e^{-x^2}$. Bestäm extremvärden och inflexionspunkter. ### Uppgift 4.7 Undersök funktionen $f(x) = \frac{x^2 + x - 2}{x - 2}$. Bestäm asymptoter och extremvärden. ### Uppgift 4.8 Undersök funktionen $f(x) = x(2 - \ln x)^2$ för $x > 0$. Bestäm extremvärden och inflexionspunkter. ### Uppgift 4.9 Undersök funktionen $f(x) = \frac{1}{1 + x^2}$. Bestäm extremvärden, inflexionspunkter och asymptoter. ### Uppgift 4.10 Undersök funktionen $f(x) = x^3 e^{-x}$. Bestäm extremvärden och inflexionspunkter. ### Uppgift 4.11 Undersök funktionen $f(x) = \frac{x^2}{x^2 + 1}$. Bestäm asymptoter och extremvärden. ### Uppgift 4.12 Undersök funktionen $f(x) = x + \sin x$ för $x \in [0, 2\pi]$. Bestäm extremvärden och inflexionspunkter. --- ## 5. Optimering och relaterade hastigheter ### Uppgift 5.1 En rektangel har sin bas på x-axeln och sina två övre hörn på parabeln $y = 12 - x^2$. Bestäm rektangelns maximala area. ### Uppgift 5.2 En kon har höjd $h = 10$ cm och basradie $r = 5$ cm. Vatten fylls på med hastigheten 2 cm³/s. Hur snabbt stiger vattenytan när vattnet är 4 cm djupt? ### Uppgift 5.3 Två bilar startar från samma punkt. Bil A kör norrut med 60 km/h och bil B kör österut med 80 km/h. Hur snabbt ökar avståndet mellan bilarna efter 2 timmar? ### Uppgift 5.4 En lyktstolpe är 6 m hög. En 2 m lång person går från stolpen med hastigheten 1.5 m/s. Hur snabbt förlängs personens skugga? ### Uppgift 5.5 Ett rektangulärt fält ska inhägnas med 200 m stängsel. En sida av fältet är en rak älvstrand som inte behöver stängslas. Vad är den maximala arean? ### Uppgift 5.6 En cylindrisk burk ska ha volymen 1000 cm³. Materialkostnaden för botten och toppen är dubbelt så hög som för sidorna. Bestäm radien och höjden som minimerar materialkostnaden. ### Uppgift 5.7 En stege på 5 m lutar mot en vägg. Den nedre änden glider utåt med hastigheten 2 m/s. Hur snabbt sjunker den övre änden när den nedre änden är 3 m från väggen? ### Uppgift 5.8 En rektangulär låda utan lock ska ha volymen 32 dm³. Botten ska vara dubbelt så lång som bred. Bestäm dimensionerna som minimerar materialåtgången. ### Uppgift 5.9 En väg går rakt norrut och en annan väg går rakt österut. De möts i en korsning. En bil på den norra vägen är 300 m från korsningen och kör mot den med 90 km/h. En bil på den östra vägen är 400 m från korsningen och kör mot den med 120 km/h. Hur snabbt minskar avståndet mellan bilarna? ### Uppgift 5.10 En konisk tratt har toppvinkeln 60°. Vatten rinner ut i botten med hastigheten 5 cm³/s. Hur snabbt sjunker vattenytan när vattnet är 10 cm djupt? ### Uppgift 5.11 Finn den punkt på parabeln $y = x^2$ som har minsta avstånd till punkten $(0, 1)$. ### Uppgift 5.12 En cylinder ska inskrivas i en kon med höjden 12 cm och basradien 4 cm så att symmetriaxlarna sammanfaller. Bestäm cylinderns maximala volym. --- ## 6. Taylorpolynom ### Uppgift 6.1 (a) Finn Maclaurinpolynomet $P_4(x)$ för $f(x) = \ln(1 + x)$. (b) Använd $P_4$ för att approximera $\ln(1.2)$. (c) Uppskatta felet i approximationen. ### Uppgift 6.2 Använd taylorutveckling för att beräkna $\lim_{x \to 0} \frac{\tan x - x}{x - \sin x}$. ### Uppgift 6.3 Finn $P_3(x)$ för $f(x) = e^{\sin x}$ kring $x = 0$. ### Uppgift 6.4 Finn Maclaurinpolynomet $P_3(x)$ för $f(x) = \cos x$. ### Uppgift 6.5 Finn Taylorpolynomet $P_2(x)$ för $f(x) = \sqrt{x}$ kring $x = 4$. ### Uppgift 6.6 Använd taylorutveckling för att beräkna $\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1 - x - \frac{x^2}{2}}{x^3}$. ### Uppgift 6.7 Finn Maclaurinpolynomet $P_4(x)$ för $f(x) = e^x$. ### Uppgift 6.8 Finn Taylorpolynomet $P_2(x)$ för $f(x) = \ln x$ kring $x = 1$. ### Uppgift 6.9 Använd taylorutveckling för att approximera $\sqrt{10}$ med hjälp av $f(x) = \sqrt{x}$ kring $x = 9$. ### Uppgift 6.10 Finn Maclaurinpolynomet $P_5(x)$ för $f(x) = \sin x$. ### Uppgift 6.11 Använd taylorutveckling för att beräkna $\lim_{x \to 0} \frac{\cos x - 1 + \frac{x^2}{2}}{x^4}$. ### Uppgift 6.12 Finn Taylorpolynomet $P_3(x)$ för $f(x) = e^{-x^2}$ kring $x = 0$. --- ## 7. Newton-Raphsons metod ### Uppgift 7.1 Använd Newton-Raphsons metod med startgissning $x_0 = 1$ för att göra två iterationer och approximera roten till $x^3 + x - 3 = 0$. ### Uppgift 7.2 Visa att $e^x = 5x$ har exakt en positiv lösning och använd Newton-Raphsons metod med $x_0 = 2$ för att approximera den. ### Uppgift 7.3 Använd Newton-Raphsons metod för att approximera $\sqrt{2}$ med startgissning $x_0 = 1$. Gör tre iterationer. ### Uppgift 7.4 Approximera roten till $\cos x = x$ med Newton-Raphsons metod. Använd $x_0 = 1$ och gör två iterationer. ### Uppgift 7.5 Använd Newton-Raphsons metod för att approximera $\sqrt[3]{7}$ med startgissning $x_0 = 2$. Gör två iterationer. ### Uppgift 7.6 Approximera lösningen till $x^4 - 2x^2 - 5 = 0$ med Newton-Raphsons metod. Använd $x_0 = 2$ och gör två iterationer. ### Uppgift 7.7 Använd Newton-Raphsons metod för att approximera $\pi$ genom att lösa $\sin x = 0$ med startgissning $x_0 = 3$. Gör tre iterationer. ### Uppgift 7.8 Approximera lösningen till $\ln x = 2 - x$ med Newton-Raphsons metod. Använd $x_0 = 1$ och gör två iterationer. --- ## 8. Binomialutveckling ### Uppgift 8.1 (a) Finn koefficienten för $x^6$ i utvecklingen av $(2x - 3)^8$. (b) Beräkna $\sum_{k=0}^{8} \binom{8}{k} 2^{8-k}(-3)^k$. ### Uppgift 8.2 Använd binomialutveckling för att visa att $(1 + x)^n + (1 - x)^n = 2\sum_{k=0}^{\lfloor n/2 \rfloor} \binom{n}{2k} x^{2k}$. ### Uppgift 8.3 Finn koefficienten för $x^5$ i utvecklingen av $(x + 2)^{10}$. ### Uppgift 8.4 Beräkna $\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k}$ med hjälp av binomialsatsen. ### Uppgift 8.5 Finn koefficienten för $x^4$ i utvecklingen av $(3x - 1)^7$. ### Uppgift 8.6 Visa att $\sum_{k=0}^{n} (-1)^k \binom{n}{k} = 0$ för $n \geq 1$. ### Uppgift 8.7 Finn koefficienten för $x^3y^4$ i utvecklingen av $(2x + 3y)^7$. ### Uppgift 8.8 Beräkna $(1.01)^{10}$ approximativt med binomialsatsen. --- ## 9. Olikheter med derivata ### Uppgift 9.1 Visa att $e^x \geq 1 + x + \frac{x^2}{2}$ för alla $x \geq 0$. ### Uppgift 9.2 Visa att $\sin x > x - \frac{x^3}{6}$ för alla $x > 0$. ### Uppgift 9.3 Visa att $\ln(1 + x) < x$ för alla $x > 0$. ### Uppgift 9.4 Visa att $e^x > 1 + x$ för alla $x > 0$. ### Uppgift 9.5 Visa att $\sin x < x$ för alla $x > 0$. ### Uppgift 9.6 Visa att $\cos x > 1 - \frac{x^2}{2}$ för alla $x > 0$. ### Uppgift 9.7 Visa att $\arctan x < x$ för alla $x > 0$. ### Uppgift 9.8 Visa att $\ln x < x - 1$ för alla $x > 1$. --- ## 10. Invers funktioner ### Uppgift 10.1 Funktionen $f(x) = \arctan x + \arctan\frac{1}{x}$ är konstant för $x > 0$. Bestäm konstanten. ### Uppgift 10.2 Betrakta funktionen $f(x) = x\sqrt{4 - x^2}$ för $-2 < x < 2$. (a) Visa att $f$ är 1-1 på $(0, 2)$. (b) Finn inversen $f^{-1}$. (c) Bestäm inversens definitions- och värdemängd. ### Uppgift 10.3 Funktionen $f(x) = \frac{x^3}{1 + x^2}$ för $x \in \mathbb{R}$. (a) Visa att $f$ är inverterbar. (b) Finn $f^{-1}(1/2)$. (c) Beräkna $(f^{-1})'(1/2)$. ### Uppgift 10.4 Betrakta $f(x) = x + e^x$. (a) Visa att $f$ är inverterbar. (b) Finn $(f^{-1})'(1)$. ### Uppgift 10.5 Om $f(x) = x^5 + 2x^3 + x$, beräkna $(f^{-1})'(4)$. --- ## 11. Blandade uppgifter ### Uppgift 11.1 Lös ekvationen $xe^x = 2$ uttryckt i Lamberts W-funktion, där $W$ är invers till $f(t) = te^t$. ### Uppgift 11.2 Beräkna $\lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{3}{n}\right)^{2n}$. ### Uppgift 11.3 Bestäm $a$ och $b$ så att funktionen $f(x) = \begin{cases} e^{3x} & \text{om } x \leq 0 \ ae^x + be^{-x} & \text{om } x > 0 \end{cases}$ blir deriverbar i $x = 0$. ### Uppgift 11.4 Beräkna $\lim_{x \to 0} \frac{\ln(\cos x)}{x^2}$ utan L'Hôpital. Ledning: $-\frac{\tan^2 x}{2} \leq \ln(\cos x) \leq -\frac{\sin^2 x}{2}$. ### Uppgift 11.5 Visa att $\frac{d^n}{dx^n}(x^n e^{-x}) = (-1)^n n! e^{-x} L_n(x)$ där $L_n(x)$ är Laguerre-polynom. ### Uppgift 11.6 En kulstötare kastar en kula från höjden $h = 2$ m med utgångsfarten $v = 13$ m/s. Kastparabeln ges av $y = h + x\tan\theta - \frac{gx^2}{2v^2}(1 + \tan^2\theta)$ där $g = 10$ m/s². (a) Bestäm kastvidden $R$ som implicit funktion av $z = \tan\theta$. (b) Hur långt kan han maximalt stöta? (c) Hur ska $\theta$ väljas? ### Uppgift 11.7 Visa att $\arctan(e^x) + \arctan(e^{-x}) = \frac{\pi}{2}$ för alla $x \in \mathbb{R}$. ### Uppgift 11.8 Beräkna $\arctan(\sqrt{2}) + \arctan(\frac{1}{\sqrt{2}})$. ### Uppgift 11.9 En polisbil kör 50 km/h norrut. Vid tillfället då polisbilen är 180 m från en korsning mäter polismannen att avståndet till en annan bil är 300 m och minskar med 90 km/h. Den andra bilen kommer från öster. Beräkna den andra bilens hastighet. ### Uppgift 11.10 Använd taylorutveckling för att bevisa att $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x - x + \frac{x^3}{6}}{x^5} = -\frac{1}{120}$. --- ## 12. Extra utmaningsuppgifter ### Uppgift 12.1 Visa att om $f''(x) > 0$ för alla $x \in (a, b)$, så är $f(x) > L(x)$ för alla $x \in (a, b) \setminus {c}$ där $L(x)$ är tangentlinjen i punkten $(c, f(c))$. ### Uppgift 12.2 Finn alla funktioner $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ sådana att $f'(x) = f(x)$ för alla $x$. ### Uppgift 12.3 Visa att $e^\pi > \pi^e$ utan att beräkna värdena. ### Uppgift 12.4 Bestäm $\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{n!}$. ### Uppgift 12.5 Visa att ekvationen $x^5 + x - 1 = 0$ har exakt en reell rot. ### Uppgift 12.6 Om $f(x) = x^3 - 3x + 1$, hur många reella rötter har ekvationen $f(x) = 0$? ### Uppgift 12.7 Bestäm största och minsta värde av $f(x) = x^3 - 3x^2 + 1$ på intervallet $[-1, 3]$. ### Uppgift 12.8 En rektangulär plåt är 8 dm bred och 15 dm lång. Lika stora kvadrater klipps bort i varje hörn och plåten viks upp till en öppen låda. Hur stora ska kvadraterna vara för att lådan ska få maximal volym? ### Uppgift 12.9 Beräkna $\lim_{x \to 0^+} (\sin x)^x$. ### Uppgift 12.10 Finn den största rektangeln som kan inskrivas i en halvcirkel med radie $r$. --- ## 13. Komplexa uppgifter (tentanivå) ### Uppgift 13.1 Betrakta funktionen $f(x) = x^{x \ln x}$ för $x > 0$. (a) Bestäm $f'(x)$. (b) Finn lokala extremvärden. (c) Skissera kurvan. ### Uppgift 13.2 En teknolog ska transportera en racerbil 200 km. Hastigheten är $v$ km/h där $40 \leq v \leq 100$. Teknologen kostar 320 kr/timme och bränsle kostar 10 kr/liter. Vid hastigheten $v$ förbrukas $\frac{1}{5} + \frac{v}{200}$ liter/km. Bestäm den mest ekonomiska hastigheten och minsta kostnaden. ### Uppgift 13.3 Bestäm konstanterna $a, b, c$ så att funktionen $f(x) = \begin{cases} x^2 + 1 & \text{om } x \leq 1 \ ax^2 + bx + c & \text{om } x > 1 \end{cases}$ blir två gånger deriverbar i $x = 1$. ### Uppgift 13.4 En parabolisk reflektor ges av $y = x^2$. En ljusstråle parallell med y-axeln träffar reflektorn i punkten $(a, a^2)$ och reflekteras. Visa att alla reflekterade strålar passerar genom punkten $(0, 1/4)$ (fokus). ### Uppgift 13.5 Luften expanderar adiabatiskt enligt $pV^\gamma = C$ där $\gamma = 7/5$. Vid en viss tidpunkt är trycket 5 bar, volymen 28 dm³ och volymen ökar med 2 dm³/s. Hur snabbt ändras trycket? --- ## 14. Ytterligare träningsuppgifter ### Uppgift 14.1 Beräkna $\lim_{x \to 1} \frac{x^{1000} - 1}{x - 1}$. ### Uppgift 14.2 Finn alla asymptotiskt $f(x) = \frac{x^3 + 2x^2 - x + 1}{x^2 - 4}$. ### Uppgift 14.3 Visa med induktion att $\sum_{k=1}^{n} k(k+1)(k+2) = \frac{n(n+1)(n+2)(n+3)}{4}$. ### Uppgift 14.4 Beräkna $\lim_{x \to 0} \frac{x - \arctan x}{x^3}$ utan L'Hôpital. ### Uppgift 14.5 En sfärisk ballong blåses upp så att radien ökar med 2 cm/s. Hur snabbt ökar volymen när radien är 10 cm? ### Uppgift 14.6 Kurvan ges av $x^2/3 + y^2/3 = a^{2/3}$ (astroide). Finn tangentens ekvation i punkten $(a\cos^3 t, a\sin^3 t)$. ### Uppgift 14.7 Använd Newton-Raphson för att approximera lösningen till $x = \cos x$. ### Uppgift 14.8 Bestäm alla $x$ för vilka $\sum_{k=0}^{\infty} x^k$ konvergerar. ### Uppgift 14.9 En triangel har basen 10 cm och höjden 8 cm. Basen ökar med 2 cm/s och höjden minskar med 1 cm/s. Hur snabbt ändras arean? ### Uppgift 14.10 Finn Taylorpolynomet $P_4(x)$ för $f(x) = \frac{1}{1-x}$ kring $x = 0$. ### Uppgift 14.11 Undersök konvergensen av $\lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n$. ### Uppgift 14.12 Visa att $|\sin x - \sin y| \leq |x - y|$ för alla $x, y \in \mathbb{R}$. ### Uppgift 14.13 Bestäm extremvärden för $f(x, y) = x^2 + y^2$ under bivillkoret $x + y = 1$. ### Uppgift 14.14 En cylinder inskrives i en sfär med radie $R$. Bestäm cylinderns maximala volym. ### Uppgift 14.15 Beräkna $\int_0^{\pi/2} \sin^2 x , dx$ med hjälp av partiell integration. --- **Total: 200+ uppgifter fördelade över 15 kategorier**