# Räkneregler för partiella derivator > **Kapitel:** 13.3–13.5 · **Kurs:** M0068M > **Förkunskaper:** [[Partiella derivator och tangentplan]], [[Kedjeregeln och differentierbarhet]] --- ## Ordlista svenska ↔ engelska | Svenska | Engelska | |---|---| | Produktregel | Product rule | | Kvotregel | Quotient rule | | Kedjeregel | Chain rule | | Sammansatt funktion | Composite function | | Partiell derivata | Partial derivative | | Konstant faktor | Constant factor | | Summaregel | Sum rule | | Implicit derivering | Implicit differentiation | --- ## 1. Grundläggande regler > [!note] Principen: en variabel i taget > > Alla vanliga derivationsregler från envariabelanalys gäller för partiella derivator — man deriverar med avseende på **en variabel** och behandlar alla **övriga variabler som konstanter**. ### 1.1 Linjäritet Om $f$ och $g$ är deriverbara och $\alpha$, $\beta$ är konstanter: $ \boxed{\frac{\partial}{\partial x}[\alpha f + \beta g] = \alpha \frac{\partial f}{\partial x} + \beta \frac{\partial g}{\partial x}} $ ### 1.2 Konstant faktor $ \frac{\partial}{\partial x}[c \cdot f(x,y)] = c \cdot \frac{\partial f}{\partial x}, \quad c \in \mathbb{R} $ > [!tip] Obs — $y$ är en konstant! > > När du deriverar m.a.p. $x$ är $y$ konstant. Det innebär att t.ex. $y^3$, $e^y$ och $\sin(y)$ alla är konstanta faktorer och deriveras som noll om de saknar $x$. --- ## 2. Produktregeln ### Sats Om $u = u(x, y)$ och $v = v(x, y)$ är partiellt deriverbara gäller: $ \boxed{\frac{\partial}{\partial x}[u \cdot v] = \frac{\partial u}{\partial x} \cdot v + u \cdot \frac{\partial v}{\partial x}} $ och analogt för derivering m.a.p. $y$. ### Schema — kom ihåg $ (uv)' = u'v + uv' $ Exakt samma form som i envariabelanalys — håll bara koll på vilken variabel du deriverar m.a.p. > [!example]- Exempel a) Enkel produkt > > Låt $f(x, y) = x^3 \sin(y)$. > > Derivera m.a.p. $x$ (sin(y) är konstant): > $\frac{\partial f}{\partial x} = 3x^2 \sin(y)$ > > Derivera m.a.p. $y$ ($x^3$ är konstant): > $\frac{\partial f}{\partial y} = x^3 \cos(y)$ > [!example]- Exempel b) Produkt av funktioner i båda variablerna > > Låt $f(x, y) = e^{2x}\cos(xy)$. > > Derivera m.a.p. $x$ — produktregel med $u = e^{2x}$ och $v = \cos(xy)$: > $\frac{\partial f}{\partial x} = 2e^{2x}\cos(xy) + e^{2x}\cdot(-\sin(xy))\cdot y = e^{2x}(2\cos(xy) - y\sin(xy))$ > > Derivera m.a.p. $y$ — $e^{2x}$ är konstant: > $\frac{\partial f}{\partial y} = e^{2x}\cdot(-\sin(xy))\cdot x = -xe^{2x}\sin(xy)$ > [!example]- Exempel c) Tre faktorer > > Låt $f(x, y) = x^2 y e^{xy}$. > > Derivera m.a.p. $x$ — skriv $u = x^2$ och $v = ye^{xy}$ (behandla $y$ som konstant): > $\frac{\partial f}{\partial x} = 2x \cdot ye^{xy} + x^2 \cdot ye^{xy}\cdot y = xye^{xy}(2 + xy)$ --- ## 3. Kvotregeln ### Sats Om $u = u(x, y)$ och $v = v(x, y)$ är partiellt deriverbara och $v \neq 0$: $ \boxed{\frac{\partial}{\partial x}\!\left[\frac{u}{v}\right] = \frac{\dfrac{\partial u}{\partial x} \cdot v - u \cdot \dfrac{\partial v}{\partial x}}{v^2}} $ ### Minnesbild $ \left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} $ > [!tip] Alternativ — skriv om som produkt > > Ofta enklare att skriva $\dfrac{u}{v} = u \cdot v^{-1}$ och använda produktregeln tillsammans med kedjeregeln: > $\frac{\partial}{\partial x}\!\left[u \cdot v^{-1}\right] = \frac{\partial u}{\partial x} \cdot v^{-1} + u \cdot (-1) v^{-2} \frac{\partial v}{\partial x}$ > [!example]- Exempel a) Grundfall > > Låt $f(x, y) = \dfrac{x^2}{y^3}$. > > Derivera m.a.p. $x$ ($y^3$ är konstant): > $\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{2x}{y^3}$ > > Derivera m.a.p. $y$ ($x^2$ är konstant) — enklast med $f = x^2 y^{-3}$: > $\frac{\partial f}{\partial y} = x^2 \cdot (-3) y^{-4} = -\frac{3x^2}{y^4}$ > [!example]- Exempel b) Blandad kvot > > Låt $z = \dfrac{x}{x^2 + e^{xy}}$. > > Derivera m.a.p. $x$ med kvotregeln ($u = x$, $v = x^2 + e^{xy}$): > $f_x = \frac{1 \cdot (x^2 + e^{xy}) - x(2x + ye^{xy})}{(x^2 + e^{xy})^2} = \frac{-x^2 + e^{xy}(1 - xy)}{(x^2 + e^{xy})^2}$ > > Derivera m.a.p. $y$ ($u = x$ ger $u_y = 0$, $v_y = xe^{xy}$): > $f_y = \frac{0 \cdot v - x \cdot xe^{xy}}{(x^2 + e^{xy})^2} = -\frac{x^2 e^{xy}}{(x^2 + e^{xy})^2}$ --- ## 4. Kedjeregeln — snabbreferens > [!note] Fullständig genomgång > > Se [[Kedjeregeln och differentierbarhet]] för detaljer, variabelträd och variabelbyten. ### Fall 1 — ett oberoende variabel $z = f(x,y)$, $x = x(t)$, $y = y(t)$: $ \boxed{\frac{dz}{dt} = \frac{\partial z}{\partial x}\frac{dx}{dt} + \frac{\partial z}{\partial y}\frac{dy}{dt}} $ ### Fall 2 — två oberoende variabler $z = f(x,y)$, $x = x(s,t)$, $y = y(s,t)$: $ \boxed{\frac{\partial z}{\partial s} = \frac{\partial z}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial s} + \frac{\partial z}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial s}} $ ### Kedjeregeln för sammansatt funktion Om $h(x,y) = f(g(x,y))$ — alltså $f$ av en skalär: $ \boxed{\frac{\partial h}{\partial x} = f'(g(x,y)) \cdot \frac{\partial g}{\partial x}} $ > [!example]- Exempel — kedjeregel på skalär funktion > > Låt $h(x,y) = \sin(x^2 + y^2)$. Sätt $u = x^2 + y^2$. > > $\frac{\partial h}{\partial x} = \cos(u) \cdot 2x = 2x\cos(x^2 + y^2)$ > > $\frac{\partial h}{\partial y} = \cos(u) \cdot 2y = 2y\cos(x^2 + y^2)$ --- ## 5. Implicit derivering Om $F(x, y, z) = 0$ definierar $z$ implicit som funktion av $x$ och $y$: $ \boxed{\frac{\partial z}{\partial x} = -\frac{F_x}{F_z}, \qquad \frac{\partial z}{\partial y} = -\frac{F_y}{F_z}} $ > [!warning] Förutsättning > > Formeln kräver att $F_z \neq 0$ i punkten. Om $F_z = 0$ kan man inte lösa ut $z$ lokalt. > [!example]- Exempel — implicit derivering > > Låt $F(x, y, z) = x^2 + y^2 + z^2 - 1 = 0$ (enhetssphären). > > $F_x = 2x, \quad F_y = 2y, \quad F_z = 2z$ > > $\frac{\partial z}{\partial x} = -\frac{2x}{2z} = -\frac{x}{z}, \qquad \frac{\partial z}{\partial y} = -\frac{y}{z}$ > > Geometriskt beskriver detta lutningen på sfären i resp. riktning. --- ## 6. Snabbtabell — räkneregler | Regel | Formel | |---|---| | Summa | $\partial_x(f + g) = f_x + g_x$ | | Konstant | $\partial_x(c) = 0$ | | Konstant faktor | $\partial_x(cf) = c f_x$ | | Produkt | $\partial_x(fg) = f_x g + f g_x$ | | Kvot | $\partial_x(f/g) = (f_x g - f g_x)/g^2$ | | Kedja (skalär) | $\partial_x f(g) = f'(g)\, g_x$ | | Kedja (vektor) | $\partial_{t} f(x(t),y(t)) = f_x \dot x + f_y \dot y$ | | Implicit | $\partial_x z = -F_x/F_z$ | | Potens | $\partial_x(x^n) = nx^{n-1}$ | --- ## 7. Tips och vanliga misstag > [!tip] Tips 1 — se alltid vilken variabel du deriverar m.a.p. > > Skriv ut $\dfrac{\partial}{\partial x}$ eller $\dfrac{\partial}{\partial y}$ tydligt i varje steg. Det är lätt att missa att byta derivatavariabel mitt i en beräkning. > [!tip] Tips 2 — faktorisera gärna ut konstanter > > Om $f(x,y) = e^y \cdot g(x)$, så är $\dfrac{\partial f}{\partial x} = e^y \cdot g'(x)$ direkt — ingen produktregel behövs. > [!tip] Tips 3 — skriv om kvoten som produkt vid komplexa uttryck > > $\dfrac{u}{v} = u \cdot v^{-1}$ och tillämpa produktregel + kedjeregel. Minskar risken för teckenmissar. > [!tip] Tips 4 — kontrollera med mixed partials > > För tillräckligt snälla funktioner gäller **Clairauts sats**: $f_{xy} = f_{yx}$. Stämmer inte det, har du räknat fel. > [!warning] Vanligt misstag 1 — glömmer kedjeregeln > > $\dfrac{\partial}{\partial x}\sin(xy) = \cos(xy)$ är **fel**. > > Korrekt: $\dfrac{\partial}{\partial x}\sin(xy) = y\cos(xy)$ — inre derivatan $y$ måste multipliceras in. > [!warning] Vanligt misstag 2 — deriverar $y$ m.a.p. $x$ > > $\dfrac{\partial}{\partial x}(y^3) = 3y^2$ är **fel** ($y$ är konstant!). > > Korrekt: $\dfrac{\partial}{\partial x}(y^3) = 0$. > [!warning] Vanligt misstag 3 — blandar $d$ och $\partial$ > > Använd $\partial$ för partiella derivator (flera variabler) och $d$ för vanliga derivator (en variabel eller total derivata). Fel symbol signalerar fel tänk. > [!example]- Träningsuppgift — identifiera räknereglerna > > Bestäm alla partiella derivator av $f(x, y) = \dfrac{x\ln(y)}{e^{x^2 + y}}$. > > **Ledning:** Skriv om som $x\ln(y) \cdot e^{-(x^2+y)}$ och använd produktregeln. Kedjeregeln behövs för $e^{-(x^2+y)}$. > > $\frac{\partial f}{\partial x} = \ln(y)\,e^{-(x^2+y)} + x\ln(y)\,e^{-(x^2+y)}\cdot(-2x) = \ln(y)\,e^{-(x^2+y)}(1 - 2x^2)$ > > $\frac{\partial f}{\partial y} = x\cdot\frac{1}{y}\cdot e^{-(x^2+y)} + x\ln(y)\cdot e^{-(x^2+y)}\cdot(-1) = \frac{xe^{-(x^2+y)}}{y}\left(1 - y\ln(y)\right)$ --- ## Se även - [[Partiella derivator och tangentplan]] - [[Kedjeregeln och differentierbarhet]] - [[Högre ordningens derivator]] - [[Gradient och riktningsderivata]] --- ## Resurser ### Videor - [Khan Academy: Partial derivative rules](https://www.khanacademy.org/math/multivariable-calculus/multivariable-derivatives) — regler och exempel - [Professor Leonard: Partial Derivatives](https://youtu.be/f9BTcMnKRGo) — produkt- och kvotregel i flervariabelfall - [3Blue1Brown: Implicit differentiation](https://youtu.be/qb40J4N1fa4) — intuition för implicit derivering ### Interaktiva verktyg - [Wolfram Alpha](https://www.wolframalpha.com) — `partial derivative of f(x,y) with respect to x` för symbolisk beräkning - [Desmos 3D](https://www.desmos.com/3d) — visualisera funktioner och deras derivator ### Wikipedia - [Partial derivative — Wikipedia](https://en.wikipedia.org/wiki/Partial_derivative) - [Product rule — Wikipedia](https://en.wikipedia.org/wiki/Product_rule) - [Implicit function theorem — Wikipedia](https://en.wikipedia.org/wiki/Implicit_function_theorem) ### Fördjupning - Adams & Essex, *Calculus: A Complete Course*, avsnitt 13.3–13.5