# Partiella derivator och tangentplan > **Kapitel:** 13.3 · **Kurs:** M0068M > **Förkunskaper:** [[Funktioner av flera variabler]], [[Gränsvärden och kontinuitet]] --- ## Ordlista svenska ↔ engelska | Svenska | Engelska | |---|---| | Partiell derivata | Partial derivative | | Tangentplan | Tangent plane | | Tangentvektor | Tangent vector | | Normalvektor | Normal vector | | Nivåyta | Level surface | | Gradient | Gradient | | Partiell derivering | Partial differentiation | | Derivata m.a.p. $x$ | Derivative with respect to $x$ | --- ## 1. Partiell derivata En partiell derivata beskriver hur snabbt en funktion av flera variabler förändras när **en variabel i taget** varieras, medan de övriga hålls konstanta. ### 1.1 Definition För en funktion $f(x, y)$ definieras de partiella derivatorna i punkten $(x_0, y_0)$ som: $ f_1(x_0, y_0) = \frac{\partial f}{\partial x}(x_0, y_0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + h,\, y_0) - f(x_0, y_0)}{h} $ $ f_2(x_0, y_0) = \frac{\partial f}{\partial y}(x_0, y_0) = \lim_{k \to 0} \frac{f(x_0,\, y_0 + k) - f(x_0, y_0)}{k} $ ### 1.2 Alternativ beteckning Om $z = f(x, y)$ skrivs de partiella derivatorna ofta som: $ \frac{\partial z}{\partial x} = f_1(x, y) \qquad \frac{\partial z}{\partial y} = f_2(x, y) $ Symbolen $\partial$ (rund d) används för att skilja partiell derivering från vanlig derivering. ### 1.3 Beräkningsregel > [!tip] <font color="#76923c">Kom ihåg — hur man räknar</font> > > - **$f_x$**: derivera m.a.p. $x$, behandla **$y$ som en konstant** (frys den). > - **$f_y$**: derivera m.a.p. $y$, behandla **$x$ som en konstant** (frys den). > > Det är exakt envariabelderivering — fast med de övriga variablerna "frysta". > [!example]- Exempel a) Polynom > > Låt $f(x, y) = x^2 + 5x^3 y^2$. > > Derivera m.a.p. $x$ (behandla $y$ som konstant): > $\frac{\partial z}{\partial x} = f_1(x, y) = 2x + 15x^2 y^2$ > > Derivera m.a.p. $y$ (behandla $x$ som konstant): > $\frac{\partial z}{\partial y} = f_2(x, y) = 10x^3 y$ > [!example]- Exempel b) Kvotregeln > > Låt $z = f(x, y) = \dfrac{x}{x^2 + e^{xy}}$. > > Derivera m.a.p. $x$ med kvotregeln: > $f_1(x, y) = \frac{1 \cdot (x^2 + e^{xy}) - x \cdot (2x + y e^{xy})}{(x^2 + e^{xy})^2} = \frac{-x^2 + e^{xy} - xye^{xy}}{(x^2 + e^{xy})^2}$ > > Derivera m.a.p. $y$ (skriv om som $x(x^2 + e^{xy})^{-1}$): > $f_2(x, y) = x \cdot (-1)(x^2 + e^{xy})^{-2} \cdot xe^{xy} = -\frac{x^2 e^{xy}}{(x^2 + e^{xy})^2}$ > [!example]- Exempel c) Derivering och insättning > > Låt $z = f(x, y) = e^{2x}\cos(xy)$. > > Derivera m.a.p. $x$ (produktregeln): > $f_1(x, y) = 2e^{2x}\cos(xy) - ye^{2x}\sin(xy) = e^{2x}(2\cos(xy) - y\sin(xy))$ > > Derivera m.a.p. $y$: > $f_2(x, y) = e^{2x}(-\sin(xy)) \cdot x = -xe^{2x}\sin(xy)$ > > Sätt in $(x, y) = (1, 0)$: > $f_1(1, 0) = e^{2}(2\cos(0) - 0) = 2e^2$ > $f_2(1, 0) = -1 \cdot e^{2} \cdot \sin(0) = 0$ > > Beteckningen $\big|_{(1,0)}$ betyder insättning $x = 1$, $y = 0$. --- ## 2. Tangentvektorer I en punkt $(a, b)$ på ytan $z = f(x, y)$ kan man bilda två tangentvektorer — en längs $x$-riktningen och en längs $y$-riktningen. $ \vec{T}_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ f_1(a,b) \end{bmatrix}, \qquad \vec{T}_2 = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ f_2(a,b) \end{bmatrix} $ - $\vec{T}_1$ är tangent till kurvan som uppstår när $y = b$ hålls fast och $x$ varierar. - $\vec{T}_2$ är tangent till kurvan som uppstår när $x = a$ hålls fast och $y$ varierar. Dessa två vektorer spänner upp tangentplanet i punkten $(a, b, f(a,b))$. --- ## 3. Normalvektor Normalvektorn till ytan i punkten $(a, b, f(a,b))$ fås via **kryssprodukten** av tangentvektorerna: $ \vec{n} = \vec{T}_1 \times \vec{T}_2 = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ f_1(a,b) \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ f_2(a,b) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -f_1(a,b) \\ -f_2(a,b) \\ 1 \end{bmatrix} $ ### 3.1 Normalvektor till en nivåyta För en yta definierad implicit som $g(x, y, z) = C$ ges normalvektorn av **gradienten**: $ \vec{n} = \nabla g = \begin{bmatrix} g_1 \\ g_2 \\ g_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \dfrac{\partial g}{\partial x} \\[6pt] \dfrac{\partial g}{\partial y} \\[6pt] \dfrac{\partial g}{\partial z} \end{bmatrix} $ --- ## 4. Tangentplan ### 4.1 Tangentplanets ekvation Tangentplanet till ytan $z = f(x, y)$ i punkten $(a, b, f(a,b))$ ges av: $ \boxed{z - f(a,b) = f_1(a,b)(x - a) + f_2(a,b)(y - b)} $ Ekvationen följer direkt av att planet ska innehålla punkten $(a, b, f(a,b))$ och ha normalvektorn $\vec{n} = [-f_1(a,b),\; -f_2(a,b),\; 1]^\top$. > [!example]- Exempel — Tangentplan till en paraboloid > > Låt $f(x, y) = 2x^2 + y^2$. Bestäm tangentplanet i punkten $(x, y) = (1, 2)$. > > **Steg 1:** Beräkna $z$-koordinaten för punkten på ytan: > $f(1, 2) = 2 \cdot 1^2 + 2^2 = 6 \quad \Rightarrow \quad \text{punkten är } (1, 2, 6)$ > > **Steg 2:** Beräkna de partiella derivatorna: > $f_1(x, y) = 4x \quad \Rightarrow \quad f_1(1, 2) = 4$ > $f_2(x, y) = 2y \quad \Rightarrow \quad f_2(1, 2) = 4$ > > **Steg 3:** Sätt in i tangentplansekvationen: > $z - 6 = 4(x - 1) + 4(y - 2)$ --- ## Se även - [[Funktioner av flera variabler]] - [[Gränsvärden och kontinuitet]] - [[Nivåkurvor och ytor]] - [[Gradient och riktningsderivata]] --- ## Resurser ### Videor - [3Blue1Brown: Partial derivatives, visually](https://youtu.be/AXqhWeUEtQU) — geometrisk tolkning av partiella derivator - [Khan Academy: Partial derivatives](https://www.khanacademy.org/math/multivariable-calculus/multivariable-derivatives/partial-derivative-and-gradient-articles/a/introduction-to-partial-derivatives) — introduktion med exempel ### Interaktiva verktyg - [GeoGebra: Tangent Plane](https://www.geogebra.org/m/nqGDxKJQ) — visualisera tangentplan i 3D - [Wolfram Alpha](https://www.wolframalpha.com/) — beräkna partiella derivator med `partial derivative of f(x,y) with respect to x` ### Wikipedia - [Partial derivative](https://en.wikipedia.org/wiki/Partial_derivative) - [Tangent plane](https://en.wikipedia.org/wiki/Tangent_space) - [Normal vector](https://en.wikipedia.org/wiki/Normal_(geometry))