# Parametriserade kurvor och vektorvärda funktioner > **Kapitel:** AE 8.2, 12.1, 12.3 · **Ämne:** Flervariabelanalys (F2) > **Förkunskaper:** [[Funktioner av flera variabler]] --- ## Ordlista svenska ↔ engelska | Svenska | Engelska | |---|---| | Parametriserad kurva | Parametric curve | | Vektorvärd funktion | Vector-valued function | | Parameterrepresentation | Parametric representation | | Hastighetvektor | Velocity vector | | Accelerationsvektor | Acceleration vector | | Fart | Speed | | Båglängd | Arc length | | Tangentvektor | Tangent vector | | Helix | Helix | | Nivåkurva | Level curve | --- ## 1. Parametriserade kurvor — Översikt En **parametriserad kurva** beskriver en kurva i planet eller rummet genom att uttrycka koordinaterna som funktioner av en gemensam **parameter** $t$. > [!note] Två sätt att beskriva kurvor > - **Nivåkurva:** $f(x, y) = c$ — implicit ekvation (t.ex. $x^2 + y^2 = 1$) > - **Parameterkurva:** $\mathbf{r}(t) = (x(t), y(t))$ — explicit beskrivning av rörelse längs kurvan > > Dessa är **två olika sätt** att beskriva samma geometriska objekt. ### Definition En parametriserad kurva i $\mathbb{R}^2$ eller $\mathbb{R}^3$ ges av en **vektorvärd funktion**: $ \mathbf{r}(t) = (x(t),\, y(t)) \quad \text{(i planet)} $ $ \mathbf{r}(t) = (x(t),\, y(t),\, z(t)) \quad \text{(i rummet)} $ där $t$ är parametern (ofta tolkas som tid) och $x(t), y(t), z(t)$ är reellvärda funktioner. ![[Pasted image 20260409101122.png|300]] --- ## 2. Vanliga exempel ### 2.1 Cirkel i $\mathbb{R}^2$ $ \mathbf{r}(t) = (\cos t,\, \sin t), \quad t \in [0, 2\pi] $ Cirkeln $x^2 + y^2 = 1$ ritas upp medurs med start i $(1, 0)$. ### 2.2 Ellips i $\mathbb{R}^2$ $ \mathbf{r}(t) = (a\cos t,\, b\sin t), \quad t \in [0, 2\pi] $ ### 2.3 Helix i $\mathbb{R}^3$ $ \mathbf{r}(t) = (\cos t,\, \sin t,\, t), \quad t \in \mathbb{R} $ En skruvlinje som rör sig uppåt längs $z$-axeln medan den cirkulerar i $xy$-planet. > [!example]- Rita helix > > För $t \in [0, 2\pi]$ startar kurvan i $(1, 0, 0)$ och slutar i $(1, 0, 2\pi)$. > $x$- och $y$-koordinaterna ritar en cirkel; $z$-koordinaten ökar linjärt. ### 2.4 Rät linje $ \mathbf{r}(t) = \mathbf{p} + t\,\mathbf{v} = (p_1 + tv_1,\; p_2 + tv_2,\; p_3 + tv_3) $ --- ## 3. Vektorvärd funktion — Derivata Derivatan av en vektorvärd funktion definieras komponentvis: $ \mathbf{r}'(t) = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\mathbf{r}(t + \Delta t) - \mathbf{r}(t)}{\Delta t} = (x'(t),\, y'(t),\, z'(t)) $ ### Hastighetvektor Om $t$ tolkas som tid är $\mathbf{r}'(t)$ **hastighetsvektorn** — en tangentvektor till kurvan i punkten $\mathbf{r}(t)$: $ \boxed{\mathbf{v}(t) = \mathbf{r}'(t) = (x'(t),\, y'(t),\, z'(t))} $ ### Fart Farten (skalär) är hastighetsvektorns längd: $ \boxed{v(t) = |\mathbf{r}'(t)| = \sqrt{x'(t)^2 + y'(t)^2 + z'(t)^2}} $ ### Accelerationsvektor Accelerationen är andraderivatans av lägesvektorn: $ \boxed{\mathbf{a}(t) = \mathbf{r}''(t) = (x''(t),\, y''(t),\, z''(t))} $ > [!example]- Hastighet och acceleration för cirkelrörelse > > Låt $\mathbf{r}(t) = (\cos t, \sin t)$. > > **Hastighetvektor:** > $\mathbf{r}'(t) = (-\sin t,\; \cos t)$ > > **Fart:** > $|\mathbf{r}'(t)| = \sqrt{\sin^2 t + \cos^2 t} = 1$ > > **Acceleration:** > $\mathbf{r}''(t) = (-\cos t,\; -\sin t) = -\mathbf{r}(t)$ > > Accelerationen pekar alltid mot centrum — centripetalkraft. --- ## 4. Båglängd Båglängden längs kurvan $\mathbf{r}(t)$ för $t \in [a, b]$ ges av: $ \boxed{L = \int_a^b |\mathbf{r}'(t)|\, dt = \int_a^b \sqrt{x'(t)^2 + y'(t)^2 + z'(t)^2}\; dt} $ > [!note] Intuition för båglängdsformeln > > $|\mathbf{r}'(t)|\,dt$ = fart × tid = längden av ett infinitesimalt kurvstycke vid tidpunkten $t$. > Integralen summerar upp alla dessa bitar längs hela kurvan. > [!example]- Båglängd för en helix > > Låt $\mathbf{r}(t) = (\cos t, \sin t, t)$ för $t \in [0, 2\pi]$. > > $\mathbf{r}'(t) = (-\sin t,\; \cos t,\; 1)$ > > $|\mathbf{r}'(t)| = \sqrt{\sin^2 t + \cos^2 t + 1} = \sqrt{2}$ > > $L = \int_0^{2\pi} \sqrt{2}\; dt = 2\pi\sqrt{2}$ > [!example]- Båglängd för en cirkel > > Låt $\mathbf{r}(t) = (r\cos t, r\sin t)$ för $t \in [0, 2\pi]$. > > $|\mathbf{r}'(t)| = \sqrt{r^2\sin^2 t + r^2\cos^2 t} = r$ > > $L = \int_0^{2\pi} r\; dt = 2\pi r \quad \checkmark$ --- ## 5. Derivataregler för vektorvärda funktioner Låt $\mathbf{u}(t)$ och $\mathbf{v}(t)$ vara vektorvärda funktioner och $f(t)$ en skalärvärd funktion. | Regel | Formel | |-------|--------| | Summa | $(\mathbf{u} + \mathbf{v})' = \mathbf{u}' + \mathbf{v}'$ | | Skalärprodukt | $(f \mathbf{u})' = f'\mathbf{u} + f\mathbf{u}'$ | | Punktprodukt | $(\mathbf{u} \cdot \mathbf{v})' = \mathbf{u}' \cdot \mathbf{v} + \mathbf{u} \cdot \mathbf{v}'$ | | Kryssprodukten | $(\mathbf{u} \times \mathbf{v})' = \mathbf{u}' \times \mathbf{v} + \mathbf{u} \times \mathbf{v}'$ | | Kedjeregeln | $(\mathbf{u}(f(t)))' = f'(t)\,\mathbf{u}'(f(t))$ | > [!warning] Ordningen spelar roll för kryssprodukten > > Produktregeln gäller: $(\mathbf{u} \times \mathbf{v})' = \mathbf{u}' \times \mathbf{v} + \mathbf{u} \times \mathbf{v}'$ > men $\mathbf{u} \times \mathbf{v} \neq \mathbf{v} \times \mathbf{u}$ — kryssprodukten är **antikommutativ**. > Byter du ordning vänds tecknet: $\mathbf{v} \times \mathbf{u} = -(\mathbf{u} \times \mathbf{v})$. > [!note] Konstant längd > Om $|\mathbf{r}(t)| = c$ (konstant) för alla $t$, då är $\mathbf{r}(t) \perp \mathbf{r}'(t)$. > > **Bevis:** $\mathbf{r} \cdot \mathbf{r} = c^2 \Rightarrow (\mathbf{r} \cdot \mathbf{r})' = 2\mathbf{r} \cdot \mathbf{r}' = 0$ --- ## 6. Projektilrörelse Ett klassiskt tillämpningsexempel: en projektil kastas med initial hastighet $\mathbf{v}_0 = (v_{0x}, v_{0y})$ från position $\mathbf{r}_0$. Med enbart tyngdkraft ($g \approx 9{,}82\ \text{m/s}^2$): $ \mathbf{a}(t) = (0,\, -g) $ Integrering ger: $ \mathbf{v}(t) = \mathbf{r}'(t) = (v_{0x},\; v_{0y} - gt) $ $ \mathbf{r}(t) = (x_0 + v_{0x}\,t,\; y_0 + v_{0y}\,t - \tfrac{1}{2}gt^2) $ > [!example]- Projektil: räckvidd > > Låt $\mathbf{r}_0 = (0, 0)$ och $\mathbf{v}_0 = (v_0 \cos\theta,\; v_0 \sin\theta)$. > > Projektilen träffar marken när $y(t) = 0$: > $v_0 \sin\theta \cdot t - \tfrac{1}{2}g t^2 = 0 \implies t = \frac{2 v_0 \sin\theta}{g}$ > > Räckvidden blir: > $x = v_0 \cos\theta \cdot \frac{2 v_0 \sin\theta}{g} = \frac{v_0^2 \sin 2\theta}{g}$ --- ## Se även - [[Nivåkurvor och ytor]] - [[Funktioner av flera variabler]] - [[Parameterkurvor]] --- ## Resurser ### Videor - [3Blue1Brown: Essence of Calculus — Integration and arc length](https://youtu.be/FnJqaIESC2s) — intuition för båglängd - [Khan Academy: Parametric curves](https://www.khanacademy.org/math/multivariable-calculus) — introduktion till parameterkurvor <iframe src="https://www.geogebra.org/m/XDhJxNKt" width="100%" height="500"></iframe> - [GeoGebra 3D Calculator](https://www.geogebra.org/3d) — visualisera heli och 3D-kurvor ### Wikipedia - [Parametric equation](https://en.wikipedia.org/wiki/Parametric_equation) - [Arc length](https://en.wikipedia.org/wiki/Arc_length) - [Helix](https://en.wikipedia.org/wiki/Helix) ### Fördjupning - [Paul's Online Math Notes: Calculus III — Vector Functions](https://tutorial.math.lamar.edu/Classes/CalcIII/VectorFunctions.aspx) - [MIT OpenCourseWare 18.02: Multivariable Calculus](https://ocw.mit.edu/courses/18-02sc-multivariable-calculus-fall-2010/)