# Högre ordningens derivator
> **Kapitel:** 13.4 · **Kurs:** M0068M
> **Förkunskaper:** [[Partiella derivator och tangentplan]]
---
## Ordlista svenska ↔ engelska
| Svenska | Engelska |
|---|---|
| Högre ordningens derivata | Higher order derivative |
| Andraderivata | Second derivative |
| Blandad partiell derivata | Mixed partial derivative |
| Blandade derivatorna kommuterar | Mixed partials commute |
| Symmetrisatsen | Symmetry theorem / Clairaut's theorem |
| Harmonisk funktion | Harmonic function |
| Laplaces ekvation | Laplace's equation |
| Stationär temperaturfördelning | Stationary (steady-state) temperature distribution |
| Partiell differentialekvation | Partial differential equation (PDE) |
---
## 1. Notation för andraderivator
För en funktion $z = f(x, y)$ erhålls **fyra** andraderivator genom att derivera de partiella derivatorna $f_1$ och $f_2$ en gång till.
### Indexnotation och Leibniz-notation
$
f_{11} = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}, \qquad
f_{12} = \frac{\partial^2 f}{\partial y \, \partial x}, \qquad
f_{21} = \frac{\partial^2 f}{\partial x \, \partial y}, \qquad
f_{22} = \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}
$
> [!note]- Hur man läser Leibniz-notationen
>
> Derivering sker **inifrån och ut**: $\dfrac{\partial^2 f}{\partial y \,\partial x}$ betyder "derivera först m.a.p. $x$, sedan m.a.p. $y
quot;, vilket motsvarar $f_{12}$ i indexnotation.
### Notation som träd
Utgå från $f$, derivera m.a.p. $x$ eller $y$ i varje steg:
$
f
\begin{cases}
\xrightarrow{\partial_x} f_1
\begin{cases}
\xrightarrow{\partial_x} f_{11} = \dfrac{\partial^2 f}{\partial x^2} \\[6pt]
\xrightarrow{\partial_y} f_{12} = \dfrac{\partial^2 f}{\partial y\,\partial x}
\end{cases} \\[12pt]
\xrightarrow{\partial_y} f_2
\begin{cases}
\xrightarrow{\partial_x} f_{21} = \dfrac{\partial^2 f}{\partial x\,\partial y} \\[6pt]
\xrightarrow{\partial_y} f_{22} = \dfrac{\partial^2 f}{\partial y^2}
\end{cases}
\end{cases}
$
> [!example]- Beräkna alla andraderivator för $f(x,y) = 2y^2 + x^3\ln(xy)$
>
> **Förstaordningens derivator:**
>
> $f_1 = 3x^2\ln(xy) + x^2, \qquad f_2 = 4y + \frac{x^3}{y}$
>
> **Andraordningens derivator:**
>
> $f_{11} = 6x\ln(xy) + 5x$
>
> $f_{12} = \frac{\partial}{\partial y}\!\left(3x^2\ln(xy)+x^2\right) = \frac{3x^2}{y}$
>
> $f_{21} = \frac{\partial}{\partial x}\!\left(4y+\frac{x^3}{y}\right) = \frac{3x^2}{y}$
>
> $f_{22} = 4 - \frac{x^3}{y^2}$
>
> Lägg märke till att $f_{12} = f_{21}$. De blandade derivatorna är lika — se symmetrisatsen nedan.
---
## 2. Symmetrisatsen (blandade derivatorna kommuterar)
> [!important] Clairauts sats — blandade derivatorna kommuterar
>
> <font color="#76923c">Kom ihåg:</font> Om $f_{12}$ och $f_{21}$ är **kontinuerliga** i en omgivning av $(a,b)$ gäller:
> $\boxed{f_{12} = f_{21}}$
> Ordningen spelar ingen roll. Används som **kontroll**: om $f_{12} \neq f_{21}$ i din beräkning har du räknat fel.
> [!warning] Satsen gäller inte alltid
>
> Det finns funktioner där $f_{12}$ och $f_{21}$ **existerar** men inte är lika.
> Tillräckligt villkor: de blandade derivatorna är **kontinuerliga** i omgivningen av punkten.
### Tre variabler
För $g(x, y, z)$ gäller på motsvarande sätt:
$
g_{13} = g_{31}
$
$
g_{123} = g_{321} = g_{213} = g_{132} = g_{312} = g_{231}
$
$
g_{112} = g_{121} = g_{211}
$
Indexen kan alltså **permuteras fritt** — ordningen är ej viktig (givet kontinuitet).
---
## 3. Laplaces ekvation
Många fysikaliska system beskrivs av den partiella differentialekvationen (**PDE**):
$
\boxed{f_{11} + f_{22} + f_{33} = 0}
$
I Leibniz-notation:
$
\frac{\partial^2 T}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 T}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 T}{\partial z^2} = 0
$
Denna PDE kallas **Laplaces ekvation** och betecknas ibland $\Delta f = 0$ (där $\Delta$ är Laplace-operatorn).
### Fysikalisk tolkning — stationär temperaturfördelning
En **stationär (tidsoberoende) temperaturfördelning** $T = T(x,y,z)$ i ett material utan inre värmekällor uppfyller Laplaces ekvation. "Stationär" innebär att temperaturen är konstant i tid — värmeflöde sker, men ingen punkt värms upp eller kyls ned netto.
I allmänhet beror temperaturen på både position och tid: $T = f(x,y,z,t)$. I det stationära fallet faller tidberoendet bort.
---
## 4. Harmoniska funktioner
> **Definition:** En funktion $f$ som uppfyller Laplaces ekvation i ett område $\Omega$ kallas **harmonisk** i $\Omega$:
>
> $f_{11} + f_{22} + f_{33} = 0 \quad \text{i } \Omega$
> [!note] Var dyker harmoniska funktioner upp?
>
> - **Värmeledning** — stationär temperaturfördelning utan värmekällor
> - **Elektrostatik** — elektrisk potential $V$ i vakuum uppfyller $\Delta V = 0$
> - **Strömningslära** — strömningspotential för inkompressibel, rotationsfri strömning
### 2D-fallet
I två dimensioner lyder villkoret:
$
f_{11} + f_{22} = 0 \qquad \Longleftrightarrow \qquad \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = 0
$
> [!example]- Visa att $T(x,y) = e^{3x}\sin(3y)$ är harmonisk
>
> Beräkna andraderivatorerna:
>
> $\frac{\partial T}{\partial x} = 3e^{3x}\sin(3y) \implies \frac{\partial^2 T}{\partial x^2} = 9e^{3x}\sin(3y)$
>
> $\frac{\partial T}{\partial y} = 3e^{3x}\cos(3y) \implies \frac{\partial^2 T}{\partial y^2} = -9e^{3x}\sin(3y)$
>
> Summera:
>
> $\frac{\partial^2 T}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 T}{\partial y^2} = 9e^{3x}\sin(3y) - 9e^{3x}\sin(3y) = 0 \checkmark$
>
> Funktionen uppfyller 2D-Laplaces ekvation och är alltså harmonisk. Den kan tolkas som en stationär temperaturfördelning i ett plant område.
---
## Se även
- [[Partiella derivator och tangentplan]]
- [[Algebraiska egenskaper]]
- [[Kedjeregeln för flera variabler]]
---
## Resurser
### Videor
- [Khan Academy: Second partial derivatives](https://www.khanacademy.org/math/multivariable-calculus/multivariable-derivatives/second-partial-derivatives-topic/a/second-partial-derivatives) — genomgång av andraderivator steg för steg
- [Khan Academy: Symmetry of second partial derivatives](https://www.khanacademy.org/math/multivariable-calculus/multivariable-derivatives/second-partial-derivatives-topic/a/symmetry-of-second-partial-derivatives) — Clairauts sats
- [3Blue1Brown: Laplace equations](https://youtu.be/ly4S0oi3Yz8) — geometrisk intuition för Laplaces ekvation
### Wikipedia
- [Partial derivative](https://en.wikipedia.org/wiki/Partial_derivative)
- [Symmetry of second derivatives (Clairaut's theorem)](https://en.wikipedia.org/wiki/Symmetry_of_second_derivatives)
- [Laplace's equation](https://en.wikipedia.org/wiki/Laplace%27s_equation)
- [Harmonic function](https://en.wikipedia.org/wiki/Harmonic_function)
### Fördjupning
- [Paul's Online Math Notes — Higher Order Partial Derivatives](https://tutorial.math.lamar.edu/Classes/CalcIII/HighOrderPartialDerivs.aspx)