Gränsvärden och kontinuitet

# Gränsvärden och kontinuitet > **Kapitel:** 13.2 · **Kurs:** M0068M > **Förkunskaper:** [[Nivåkurvor och ytor]], [[Partiella derivator]] --- ## Ordlista svenska ↔ engelska | Svenska | Engelska | |---|---| | Gränsvärde | Limit | | Kontinuitet | Continuity | | Avstånd | Distance | | Närmande längs en kurva | Approach along a path | | Gränsvärdet existerar inte | The limit does not exist | | Klämlemmat | Squeeze theorem | | Omgivning | Neighbourhood | | Inre punkt | Interior point | --- ## 1. Avstånd i $\mathbb{R}^2$ Avståndet mellan punkterna $(x, y)$ och $(a, b)$ i planet definieras som: $ \boxed{|(x,y) - (a,b)| = \sqrt{(x-a)^2 + (y-b)^2}} $ Detta är den euklidiska normen och generaliserar den vanliga absolutbeloppet från envariabelanalys. Att $(x,y) \to (a,b)$ betyder att detta avstånd går mot noll. --- ## 2. Gränsvärde ### 2.1 Definition Låt $f(x,y)$ vara definierad i en omgivning kring $(a,b)$ (men inte nödvändigtvis i $(a,b)$ självt). Vi säger att $ \lim_{(x,y) \to (a,b)} f(x,y) = L $ om $f(x,y)$ kan göras godtyckligt nära $L$ för alla $(x,y)$ tillräckligt nära $(a,b)$. Formellt: för varje $\varepsilon > 0$ finns $\delta > 0$ sådant att $ 0 < \sqrt{(x-a)^2 + (y-b)^2} < \delta \implies |f(x,y) - L| < \varepsilon. $ ### 2.2 Skillnaden från envariabelfallet I envariabelanalys räcker det att kontrollera närmande från vänster och höger — två riktningar. I $\mathbb{R}^2$ måste gränsvärdet vara **detsamma längs alla möjliga kurvor** som leder till $(a,b)$. Det finns oändligt många sådana vägar. > [!note]- Varför oändligt många vägar? > > I $\mathbb{R}^1$ kan man bara nalkas $a$ från vänster ($x \to a^-$) eller höger ($x \to a^+$). I $\mathbb{R}^2$ kan man nalkas $(a,b)$ längs en rät linje, längs en parabel, längs en spiral, osv. Alla dessa måste ge samma värde för att gränsvärdet ska existera. --- ## 3. Visa att ett gränsvärde inte existerar ### 3.1 Metod: Olika vägar ger olika värden Om man kan hitta **två vägar** till $(a,b)$ längs vilka $f(x,y)$ närmar sig **olika värden**, existerar gränsvärdet inte. **Standardvägar att prova:** | Väg | Substitution | |-----|-------------| | Längs $x$-axeln | Sätt $y = 0$, låt $x \to a$ | | Längs $y$-axeln | Sätt $x = 0$, låt $y \to b$ | | Längs linjen $y = x$ | Sätt $y = x$, låt $x \to a$ | | Längs parabeln $y = x^2$ | Sätt $y = x^2$, låt $x \to 0$ | | Längs linjen $y = mx$ | Sätt $y = mx$, låt $x \to 0$ | > [!warning] Vanlig fallgrop — samma svar längs två vägar räcker inte > > Att $f$ ger **samma värde** längs *två* valda vägar bevisar **inte** att gränsvärdet existerar. > Gränsvärdet måste vara detsamma längs *alla* möjliga vägar — oändligt många. > > Slutsats du INTE kan dra: "Längs $y=0$ och $y=x$ fick jag 0 — alltså är gränsvärdet 0." > Två vägar kan bara *motbevisa* existens (om de ger olika svar), aldrig *bevisa* den. > [!example]- Gränsvärde som inte existerar: $\lim_{(x,y)\to(0,0)} \dfrac{x^2 - y^2}{x^2 + y^2}$ > > **Väg 1:** Längs $y = 0$ (x-axeln): > $ > \lim_{x \to 0} \frac{x^2 - 0}{x^2 + 0} = \lim_{x \to 0} 1 = 1 > $ > > **Väg 2:** Längs $x = 0$ (y-axeln): > $ > \lim_{y \to 0} \frac{0 - y^2}{0 + y^2} = \lim_{y \to 0} (-1) = -1 > $ > > De två vägarna ger $1 \neq -1$, alltså existerar **gränsvärdet inte**. > [!example]- Gränsvärde som inte existerar: $\lim_{(x,y)\to(0,0)} \dfrac{xy}{x^2 + y^2}$ > > **Väg 1:** Längs $y = 0$: > $ > \lim_{x \to 0} \frac{x \cdot 0}{x^2 + 0} = 0 > $ > > **Väg 2:** Längs $y = x$: > $ > \lim_{x \to 0} \frac{x \cdot x}{x^2 + x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{x^2}{2x^2} = \frac{1}{2} > $ > > $0 \neq \tfrac{1}{2}$, alltså existerar **gränsvärdet inte**. > [!example]- Gränsvärde längs $y = mx$ ger en familj av svar > > För $\displaystyle f(x,y) = \frac{xy}{x^2+y^2}$, prova $y = mx$: > $ > \lim_{x \to 0} \frac{x \cdot mx}{x^2 + m^2x^2} = \frac{m}{1+m^2} > $ > > Svaret beror på $m$, alltså ger olika riktningar olika gränsvärden. Gränsvärdet existerar inte. --- ## 4. Visa att ett gränsvärde existerar ### 4.1 Direktinsättning Om $f$ är kontinuerlig i $(a,b)$ (se avsnitt 5) kan man sätta in direkt: $ \lim_{(x,y)\to(a,b)} f(x,y) = f(a,b) $ ### 4.2 Klämlemmat i 2D Om $|f(x,y) - L| \leq g(x,y)$ och $g(x,y) \to 0$ när $(x,y) \to (a,b)$, så är $\lim f(x,y) = L$. **Vanlig strategi:** Uppskatta $|f(x,y)|$ med hjälp av $r = \sqrt{x^2+y^2}$ (polära koordinater nära origo) och visa att uttrycket går mot noll. > [!example]- Gränsvärde med klämlemmat: $\lim_{(x,y)\to(0,0)} \dfrac{x^2 y}{x^2 + y^2}$ > > Notera att $\dfrac{y^2}{x^2+y^2} \leq 1$ för alla $(x,y)\neq(0,0)$. > > Därför: > $ > \left|\frac{x^2 y}{x^2+y^2}\right| = |x| \cdot \frac{x^2}{x^2+y^2} \cdot \frac{|y|}{|x|} \leq |x| \cdot 1 = |x| > $ > > Enklare: använd $x^2 \leq x^2 + y^2$, alltså $\dfrac{x^2}{x^2+y^2} \leq 1$: > > $ > \left|\frac{x^2 y}{x^2+y^2}\right| \leq |y| \to 0 > $ > > Klämlemmat ger $\displaystyle\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x^2 y}{x^2+y^2} = 0$. > [!example]- Polära koordinater: $\lim_{(x,y)\to(0,0)} \dfrac{x^3}{x^2+y^2}$ > > Sätt $x = r\cos\theta$, $y = r\sin\theta$, $r \to 0^+$: > > $ > \frac{r^3\cos^3\theta}{r^2} = r\cos^3\theta > $ > > Eftersom $|\cos^3\theta| \leq 1$: > $ > |r\cos^3\theta| \leq r \to 0 > $ > > Gränsvärdet är $0$ oberoende av $\theta$. --- ## 5. Kontinuitet ### 5.1 Definition Funktionen $f(x,y)$ är **kontinuerlig i punkten** $(a,b)$ om: 1. $f(a,b)$ är definierat, 2. $\displaystyle\lim_{(x,y)\to(a,b)} f(x,y)$ existerar, 3. $\displaystyle\lim_{(x,y)\to(a,b)} f(x,y) = f(a,b)$. $ \boxed{f \text{ kontinuerlig i } (a,b) \iff \lim_{(x,y)\to(a,b)} f(x,y) = f(a,b)} $ ### 5.2 Kontinuerliga funktioner Alla elementära funktioner (polynom, rationella funktioner, trigonometriska, exponentialfunktioner, logaritmer) är kontinuerliga i sina definitionsmängder. Sammansättningar av kontinuerliga funktioner är kontinuerliga. > [!example]- Avgör om $f$ är kontinuerlig i $(0,0)$ > > Låt > $ > f(x,y) = > \begin{cases} > \dfrac{x^2 y}{x^2+y^2} & (x,y) \neq (0,0) \\ > 0 & (x,y) = (0,0) > \end{cases} > $ > > Från klämlemmat (avsnitt 4.2) vet vi att $\displaystyle\lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y) = 0 = f(0,0)$. > > Alltså är $f$ **kontinuerlig i $(0,0)$**. > [!example]- Avgör om $g$ är kontinuerlig i $(0,0)$ > > Låt > $ > g(x,y) = > \begin{cases} > \dfrac{xy}{x^2+y^2} & (x,y) \neq (0,0) \\ > 0 & (x,y) = (0,0) > \end{cases} > $ > > Från avsnitt 3 vet vi att $\displaystyle\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{xy}{x^2+y^2}$ inte existerar. > > Alltså är $g$ **inte kontinuerlig i $(0,0)$**. --- ## 6. Sammanfattning — Tillvägagångssätt > [!abstract] Tillvägagångssätt — steg för steg > > Steg 1 — Direktinsättning: Är $f$ kontinuerlig i $(a,b)$? Sätt in direkt. > > Steg 2 — Misstänker du att gränsvärdet INTE existerar? > Prova längs $y=0$, $x=0$, $y=x$, $y=x^2$, $y=mx$. > Två vägar med **olika** svar $\Rightarrow$ gränsvärdet existerar **inte**. > > Steg 3 — Tror du att gränsvärdet existerar? > Uppskatta $|f(x,y) - L|$ uppifrån med ett uttryck som $\to 0$. > Använd **klämlemmat**. Polära koordinater $x = r\cos\theta$, $y = r\sin\theta$ underlättar ofta nära origo. --- ## Se även - [[Nivåkurvor och ytor]] - [[Partiella derivator]] - [[Differentiabilitet]] --- ## Resurser ### Videor - [Professor Leonard: Limits of Multivariable Functions](https://www.youtube.com/watch?v=Y0dEcuFP4HY) — grundlig genomgång med flervägsteknik - [Khan Academy: Multivariable limits](https://www.khanacademy.org/math/multivariable-calculus/multivariable-derivatives/partial-derivatives/v/partial-derivatives-introduction) — introduktion med visualiseringar - [MIT OpenCourseWare 18.02: Limits](https://ocw.mit.edu/courses/18-02sc-multivariable-calculus-fall-2010/) — föreläsningsanteckningar ### Interaktiva verktyg - [Desmos 3D](https://www.desmos.com/3d) — visualisera ytor och närmanden längs kurvor - [GeoGebra 3D Calculator](https://www.geogebra.org/3d) — utforska gränsvärden grafiskt ### Wikipedia - [Limit of a function (multivariable)](https://en.wikipedia.org/wiki/Limit_of_a_function#Functions_of_more_than_one_variable) - [Continuous function](https://en.wikipedia.org/wiki/Continuous_function)