# Funktioner av flera variabler > **Kapitel:** 13.1 · **Kurs:** M0068M > **Förkunskaper:** [[Nivåkurvor och ytor]] --- ## Ordlista svenska ↔ engelska | Svenska | Engelska | |---|---| | Funktion av flera variabler | Function of several variables | | Definitionsmängd | Domain | | Värdemängd | Range | | Funktionsyta / Graf | Surface / Graph | | Nivåkurva | Level curve / Contour | | Nivåyta | Level surface | | Rotationsyta | Surface of revolution | | Ellipsoid | Ellipsoid | | Paraboloid | Paraboloid | --- ## 1. Funktioner av flera variabler — Översikt En funktion av flera variabler tar ett **par (eller tupel) av tal** och returnerar ett enda tal. Det är en naturlig generalisering av envariabelfunktioner $f(x)$. ### Motiverande exempel **Rektangelns area** beror på två mått: $ A = f(x, y) = xy $ **Volymen av en kon** beror på radien $r$ och höjden $h$: $ V = f(r, h) = \frac{\pi r^2 h}{3} $ **Temperaturen på en plåt** i punkten $(x, y)$: $ T = f(x, y), \quad (x,y) \in D_f \subseteq \mathbb{R}^2 $ **Temperaturen i en kropp** vid tid $t$: $ T = f(x, y, z, t), \quad (x,y,z) \in \Omega,\ t \geq 0 \quad \text{(fyra variabler)} $ --- ## 2. Definition ### 2.1 Funktion av två variabler En **funktion av två variabler** är en regel $f$ som till varje punkt $(x, y)$ i definitionsmängden $D_f \subseteq \mathbb{R}^2$ tillordnar ett entydigt reellt tal $z$: $ \boxed{f : D_f \subseteq \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}, \quad (x, y) \mapsto z = f(x,y)} $ ### 2.2 Funktion av tre (eller fler) variabler $ f : D_f \subseteq \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}, \quad (x, y, z) \mapsto w = f(x,y,z) $ Eller mer generellt med $n$ variabler: $f(x_1, x_2, \ldots, x_n)$. ### 2.3 Definitionsmängd Definitionsmängden $D_f$ är mängden av alla punkter där $f$ är definierad. Om inget annat anges antas den **maximala naturliga definitionsmängden**. > [!example]- Exempel: Bestäm definitionsmängden > > **a)** $f(x,y) = \ln(2 - x^2 - y^2)$ > > Logaritmen kräver positivt argument: > $ > 2 - x^2 - y^2 > 0 \iff x^2 + y^2 < 2 > $ > $D_f$ är den öppna skivan med centrum i origo och radien $\sqrt{2}$. > > --- > > **b)** $f(x,y) = \sqrt{xy}$ > > Roten kräver $xy \geq 0$, dvs. $x$ och $y$ har samma tecken (eller minst en är noll): > $ > D_f : xy \geq 0 > $ --- ## 3. Funktionens graf (Funktionsyta) ### Definition **Grafen** (funktionsytan) till $f(x,y)$ är mängden av alla punkter $(x, y, z)$ i $\mathbb{R}^3$ som uppfyller $z = f(x,y)$: $ \boxed{\text{Graf}(f) = \{(x, y, z) \in \mathbb{R}^3 \mid z = f(x,y),\ (x,y) \in D_f\}} $ Grafen är en **yta i det tredimensionella rummet** med $D_f$ som "skugga" i $xy$-planet. > [!example]- Exempel: Identifiera grafen > > **a)** $f(x,y) = \sqrt{9 - x^2 - y^2}$ > > Sätt $z = f(x,y)$. Eftersom $z \geq 0$ gäller: > $ > z^2 = 9 - x^2 - y^2 \iff x^2 + y^2 + z^2 = 9 = 3^2 > $ > Grafen är den **övre halvsfären** med radien 3. > > --- > > **b)** $f(x,y) = x^2$ > > Oberoende av $y$: för $y = 0$ ger $z = x^2$ en parabel. Extruderas längs $y$-axeln — en **parabolisk rännform**. > > --- > > **c)** $f(x,y) = 6 - 2x - 3y$ (för $2x + 3y \leq 6$) > > Skriv om: $2x + 3y + z = 6$ — ett **plan** i $\mathbb{R}^3$. > Skärningar med koordinataxlarna: $(3, 0, 0)$, $(0, 2, 0)$, $(0, 0, 6)$. ### Rotationsytor En **rotationsyta** fås när en kurva $z = g(r)$ roteras kring $z$-axeln. Eftersom $r = \sqrt{x^2 + y^2}$ gäller: $ \boxed{z = g\!\left(\sqrt{x^2 + y^2}\right)} $ > [!example]- Exempel: Rotationsytor > > **Kon** med höjd 6 och radien 2: profilkurvan $z = 6 - 3r$ ger > $ > z = 6 - 3\sqrt{x^2 + y^2}, \quad x^2 + y^2 \leq 4 > $ > > **Rotationsparaboloid**: profilkurvan $z = 1 + r^2$ ger > $ > z = 1 + \left(\sqrt{x^2 + y^2}\right)^2 = 1 + x^2 + y^2 > $ ### Ellipsoiden En viktig yta som **inte** är en funktionsyta (den klarar inte vertikaltestet globalt): $ \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2} = 1 $ med halvaxlar $a$, $b$, $c$ längs respektive koordinataxel. --- ## 4. Nivåkurvor ### Definition En **nivåkurva** (eng. *level curve* eller *contour*) till $f(x,y)$ för värdet $c$ är kurvan i $xy$-planet som ges av: $ \boxed{f(x, y) = c} $ Geometriskt: skär funktionsytan $z = f(x,y)$ med det horisontella planet $z = c$, och projicera snittet ned på $xy$-planet. Nivåkurvor visualiseras som **höjdkurvor** på en topografisk karta — varje kurva representerar en konstant höjd. > [!note]- Tänk topografi > Precis som en höjdkarta visar bergslandskap via höjdkurvor visar nivåkurvorna "topografin" hos $f$. Tätt liggande kurvor = brant lutning; glest liggande kurvor = flack yta. > [!example]- Exempel: Rita nivåkurvor > > Låt $f(x,y) = x^2 + y^2$. Nivåkurvorna $f(x,y) = c$ ger: > $ > x^2 + y^2 = c \quad (c \geq 0) > $ > Dessa är **koncentriska cirklar** med centrum i origo och radien $\sqrt{c}$. > För $c = 1, 4, 9$ fås cirklar med radierna $1, 2, 3$. > > --- > > Låt $f(x,y) = 6 - 2x - 3y$. Nivåkurvorna ger: > $ > 6 - 2x - 3y = c \iff 2x + 3y = 6 - c > $ > Dessa är **parallella räta linjer** med lutningen $-\tfrac{2}{3}$. --- ## 5. Nivåytor ### Definition För en funktion av **tre variabler** $f(x,y,z)$ definieras en **nivåyta** (eng. *level surface*) för värdet $c$ som: $ \boxed{f(x, y, z) = c} $ Nivåytan är en **yta i $\mathbb{R}^3$** — analogt med hur en nivåkurva är en kurva i $\mathbb{R}^2$. > [!example]- Exempel: Nivåytor > > **a)** $f(x,y,z) = x^2 + y^2 + z^2$ > > Nivåytorna $f = c$ (för $c > 0$) ger: > $ > x^2 + y^2 + z^2 = c > $ > Dessa är **sfärer** med centrum i origo och radien $\sqrt{c}$. > > --- > > **b)** $f(x,y,z) = x^2 + y^2 + z^2$, temperatur i ett rum — nivåytorna visar punkter med samma temperatur (isotermytor). ### Sammanfattning: Dimension | Funktion | Nivåmängd | Geometri | |---|---|---| | $f(x,y)$ | $f(x,y) = c$ | Kurva i $\mathbb{R}^2$ | | $f(x,y,z)$ | $f(x,y,z) = c$ | Yta i $\mathbb{R}^3$ | --- ## 6. Det tredimensionella koordinatsystemet För att beskriva funktionsytor arbetar vi i $\mathbb{R}^3$ med: - **Origo** $O$ - Tre ortogonala enhetsbasvektorer $\mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2, \mathbf{e}_3$ (längs $x$-, $y$-, $z$-axeln) - En punkt $P$ beskrivs av sin **lägesvektor** $\vec{r} = x\mathbf{e}_1 + y\mathbf{e}_2 + z\mathbf{e}_3$ **Avstånd** från origo till punkten $(x, y, z)$: $ |\vec{r}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} $ --- ## Se även - [[Nivåkurvor och ytor]] - [[Parameterkurvor]] - [[Elipsen]] --- ## Resurser ### Videor - [3Blue1Brown: Visualizing multivariable functions](https://www.youtube.com/watch?v=TrcCbdWwCBc) — visuell introduktion till flervariabelfunktioner - [Khan Academy: Multivariable functions](https://www.khanacademy.org/math/multivariable-calculus/thinking-about-multivariable-function/ways-to-represent-multivariable-functions/v/multivariable-functions) — introduktion med exempel - [MIT OCW 18.02: Functions of several variables](https://ocw.mit.edu/courses/18-02sc-multivariable-calculus-fall-2010/) — föreläsningar från MIT ### Interaktiva verktyg - [GeoGebra 3D Calculator](https://www.geogebra.org/3d) — rita grafer $z = f(x,y)$ och nivåkurvor interaktivt - [Desmos 3D](https://www.desmos.com/3d) — utforska ytor och nivåkurvor - [CalcPlot3D](https://c3d.libretexts.org/CalcPlot3D/index.html) — visualisera nivåkurvor och -ytor ### Wikipedia - [Function of several real variables](https://en.wikipedia.org/wiki/Function_of_several_real_variables) - [Level set](https://en.wikipedia.org/wiki/Level_set) - [Contour line](https://en.wikipedia.org/wiki/Contour_line) ### Fördjupning - [Immersive Math: Functions of Several Variables](https://immersivemath.com) — interaktiv lärobok - [Paul's Online Math Notes: Functions of Several Variables](https://tutorial.math.lamar.edu/Classes/CalcIII/MultiVrbleFcns.aspx) — tydliga anteckningar med exempel