### Högre ordningens derivator > Syfte/tillämpning: Modelera i 3D rum med tre rumsdimensioner eller introducera tidsvariabeln $t$. --- **Exempel a)** Trevariable: Låt $f(x,y,z)=\cos(xz)+xy²z²=w$ > Derivera med avseende på $x$, "hur snabbt förändras $w$ när $x$ varierar", behandla $z,y$ som konstanter $\frac{\partial w}{\partial x}=f_{1}(x,y,z)=-\sin(xz)z+y²z²$ > Derivera med avseende på $y$ $\frac{\partial w}{\partial y}=0+2xyz^2$ > Derivera med avseende på $z$ $\frac{\partial w}{\partial z}=-\sin(xz)x+2xy^2z$ --- #### Nivåyta $g(x,y,z)=C$ Om $g(x,y,z)=2x^2+3y^2+z$ > Med tre variabler så går det inte att rita en graf på ett begripligt sätt, detta är p.g.a vi skulle behöva 3 rumsdimensioner vilket vi ej har. Vi beskriver därför med nivåytor. $z=C-2x^2-3y^2$ ![[Pasted image 20260327131438.png|300]] *bilden är på paraboloid ritat av stefan* > Om man tänker sig att grafen ger temperaturen i en kropp. då beskriver ytan överallt där temperaturen är $10\text{ } C \degree$ --- $\frac{\partial}{\partial x }$ är en differentialoperator som tyder på partiell derivata m.a.p. $x$ --- ![[Pasted image 20260327132656.png]] ### Notation Vi deriverar $z=f(x,y)$ Leibniz notation: ![[Pasted image 20260327132656.png|500]] *Bild beskriver andraderivatans notation i form av träd*. **Exempel b)** $z=f(x,y)=2y^2+x^3\ln(xy)$ > Första derivatan $\frac{\partial z}{\partial x}=f_{1}(x,y)=0+3x^2\ln(xy)+x^2\times \frac{y}{xy}=3x^2\ln(xy)+x^2$ $\frac{\partial z}{\partial y}=f_{2}(x,y)=4y+x^3\times \frac{1}{xy}x=4y+\frac{x^3}{y}$ > Andra derivatan **1** $\frac{\partial²z}{\partial x^2}=f_{11}(x,y)=6x\times\ln(xy)+3x^2\times\frac{1}{xy}\times y+2x=6x\ln(xy)+5x$ **2** $\frac{\partial²z}{\partial y\partial x}=f_{12}=3x^2\times \frac{1}{xy}x+0=\frac{3x^2}{y}$ **3** $\frac{\partial²z}{\partial x\partial y}=f_{21}(x,y)=0+\frac{3x^2}{y}$ >Lägg märke till att de två blandade derivatorna är lika. De två operatorerna kommuterar Läs mer -> [[Algebraiska egenskaper]] **4** $\frac{\partial²z}{\partial y^2}=4-\frac{1}{y²}x³=4-\frac{x³}{y²}$ --- **Sats** > Blandade derivatorna kommuterar $f_{12}=f_{21}$ (på engelska kallas de mixed derivatives) För en trevariabelfunktion $g(x,y,z)$ gäller: $g_{13}=g_{31}$ $g_{123}=g_{321}=g_{213}=g_{132}$ $g_{112}=g_{211}=g_{121}$ "Man kan permutera de fritt, ordning är ej viktig." --- ### Fysikaliska modeller Stationär Temperaturfördelning > **DEF:** Innebär att temperaturen i ett material eller system är konstant över tid, trots att värmeenergi kan flöda genom det $T=f(x,y,z,t)$ Stationär (tidsoberoende) temperaturfördelning. $T=(x,y,z)$ Denna sorts system kan beskrivas med följande **PDE** (partiell differentialekvation): $\frac{\partial²T}{\partial x^2}+\frac{\partial²T}{\partial y^2}+\frac{\partial²T}{\partial z^2}=0$ dvs bilda: $f_{11}+f_{22}+f_{33}=0\implies\text{I }\Omega$ Denna **PDE** kallas för Laplaces ekvation **Exempel i 2D** $\frac{\partial²T}{\partial x^2}+\frac{\partial²T}{\partial y^2}=0\quad(\star)$ $T=f(x,y)=e^{3x}\sin(3y)$ uppfyller $(\star)$ Lösning: $\frac{\partial T}{\partial x}=3e^{3x}\sin(3y)$ $\frac{\partial²T}{\partial x^2}=9e^{3x}\sin(3y)$ $\frac{\partial T}{\partial y}=3e^{3x}\cos(3y)$ $\frac{\partial²T}{\partial y^2}=-9e^{3x}\sin(3y)$ $\frac{\partial²T}{\partial x^2}+\frac{\partial²T}{\partial y^2}=9e^{3x}\sin(3y)-9e^{3x}\sin(3y)=0=\checkmark$ ### Kontinuitet För en envariablesfunktion: - Gränsvärdet ska finnas: $\lim_{ x \to a }g(x)=\text{finns}=g(a)$ - Följd av att grafen är "mjuk", brist på skumma hopp För tvåvariablesfunktion - $\lim_{ (x,y) \to (a,b) }f(x,y)=f(a,b)$