> 3:e föreläsningen $\leftrightarrow$ 4:e föreläsningen i kursplanen ## Partiella derivator Derivering en idé om hur snabb förändringen är i en viss punkt för en funktion ![[Pasted image 20260325130223.png|400]] Repetition. Kurvans projektion på $x,y$ planet är $D_{ef}$ $f_{1}(x_{0},y_{0})=\lim_{ h \to 0 } \frac{f(x_{0}+h,y_{0})-f(x_{0},y_{0})}{h}$ Denna partiella derivata med avseende på första variabeln $x$ $f_{2}(x_{0},y_{0})=\lim_{ k \to 0 }\frac{f(x_{0},y_{0}+k)-f(x_{0},y_{0})}{k} $ och denna med m.a.p. $y$ #### Alternativ beteckning Om $z=f(x,y)$ $\frac{\partial z}{\partial x}=f_{1}(x,y)$ vi använde $\partial$ istället för vanliga d pga $\begin{vmatrix}\quad \frac{\partial z}{\partial x}=f_{1}(x,y)\\ \quad\frac{\partial z}{\partial y}=f_{2}(x,y)\end{vmatrix}$ --- **Exempel a)** $a)\quad f(x,y)=x²+5x³\times y²$ > tänk på y som ett icketing. > Ignorera och derivera med avseende på $x$ $\frac{\partial z}{\partial x}=f_{1}(x,y)=2x+15x²\times y²$ > Tänk nu på x som ett icketing $\frac{\partial z}{\partial y}=f_{2}(x,y)=10x^3y$ --- **Exempel b)** om $z=f(x,y)=\frac{x}{x²+e^xy}$ $\frac{\partial z}{\partial x}=f_{1}(x,y)=\frac{1\times(x²+e^{xy})-x\times(2x+e^{yx}\times y)}{(x²+e^{xy})^2}=\text{förenkla}=\frac{-x²+e^{yx}-xye^{xy}}{(x^2+e^{xy})^2}$ > Andra partiella derivatan > (vi tänker på originalfunktionen omskriven som $f(x,y)=x(x²+e^{xy})^{-1}$) $\frac{\partial z}{\partial y}=f_{2}(x,y)=x(-1)(x^2+e^{xy})^{-2}(0+e^{xy}\times x)=-\frac{x^2e^{xy}}{(x^2+e^{xy})^2}$ --- **Exempel x)** Derivering och insättning Låt $z=f(x,y)=e^{2x}\cos(xy)$ $\frac{\partial z}{\partial x}=f_{1}(x,y)=e^{2x}\times 2 \times \cos(xy)+e^{2x} \times - \sin(xy)\times y=\text{bryt ut }e^{2x}=e^{2x}(2\cos(xy)-y\sin(xy))$ > Med avseende på $y$ $\frac{\partial z}{\partial y}=f_{2}(x,y)=e^{2x}(-\sin(xy))\times x=-e^{2x}\times x\times \sin(xy)$ > Vi gör insättningen: låt $(x,y)=(1,0)$ $\frac{\partial z}{\partial x}\big|_{(1,0)}=f_{1}(1,0)=e^{2\times1}(2\cos(1)-0\times \sin(1))=2e^2$ > Vi gör insättningen: låt $(x,y)=(1,0)$ $\frac{\partial z}{\partial y}=f_{2}(x,y)=0$ $\text{beteckningen} \quad \big{|}_{(1,0)}\text{ betyder insättning x=1 och y=0}$ $f_{1}$ är för när endast $x$ är rörligt och $f_{2}$ är för när endast $y$ är rörligt --- Bilda tangentvektorer $\vec{T_{1}}=\begin{bmatrix}1\\0\\f_{1}(a,b)\end{bmatrix}=\text{En tangentvektor för }x$ $\vec{T}_{2}=\begin{bmatrix}0\\1\\f_{2}(a,b)\end{bmatrix}=\text{En tangentvektor för }y$ > När man tar tangenten i $y$ och i $x$ led så kan man bilda ett tangentplan uppspänt av $\vec{T}_{1}$ och $\vec{T}_{2}$ ![[Tangentplan.png]] Vi tar kryssprodukt för att få normalvektor till planet $\vec{T}_{1}\times \vec{T}_{2}=\begin{bmatrix}-f_{1}(a,b)\\-f_{2}(a,b)\\1\end{bmatrix}$ **Tangentplanets ekvation:** $z-f(a,b)=f_{1}(a,b)(x-a)+f_{2}(a,b)(y-b)$ --- **Exempel** Låt $f(x,y)=2x²+y²$ vi söker efter tangentplanet till grafen $z=f(x,y)$ i den punkt på grafen där $(x,y)=(1,0)$ ![[Pasted image 20260325141931.png|200]]![[Pasted image 20260325141953.png|312]] ![[Pasted image 20260325142029.png|310]] uttryck tangentplanet $(x,y)=(1,2)$ $\text{punktens koordinat=}(1,2,2\cdot1^2+2^2)=(1,2,6)$ $\frac{\partial z}{\partial x}=f_{1}(x,y)=4x$ > skippar detaljräkningar $\frac{\partial z}{\partial y}=2y$ Tangentplanets ekvation: $z-6=4(x-1)+4(y-2)$