# Föreläsning 2 — Speciell Relativitetsteori (forts.) > [!quote] Hermann Minkowski, 1908 > *"Hädanefter ska rum för sig och tid för sig sjunka ner i blotta skuggor, och enbart en förening av de två ska bevara en självständig verklighet."* **Referenser:** - [[02 - Areas/01 - Kurser/University Physics with Modern Physics in SI Units.pdf#page=1267&annotation=35126R|University Physics with Modern Physics in SI Units, p.1265]] - [[02 - Areas/01 - Kurser/Fysika_upplaga-5 (Copy).pdf#page=8&selection=16,0,16,17&color=green|Fysika_upplaga-5 (Copy), p.6]] --- ## Längdkontraktion > [!important] Rum krymper i rörelseriktningen > Ett objekt som rör sig med hög fart relativt en observatör *förkortas* längs rörelseriktningen. Dimensioner vinkelräta mot rörelsen är oförändrade. ### Härledning Betrakta en person **A** på ett fordon i snabb rörelse och en person **B** som står still: - Höjden $h$ (vinkelrätt mot rörelsen) mäts **lika** av båda. - Längder parallellt med rörelsen ($\parallel$) mäts **olika**. **A:s system** (vilosystemet): ljuset färdas sträckan $2l_0$ med fart $c$: $t_0 = \frac{2l_0}{c} \quad (1)$ **B:s system** (observatörens): ljuset jagar ifatt fordonet: $t_1 = \frac{l}{c - u}, \qquad t_2 = \frac{l}{c + u}$ Total tid för B: $t = t_1 + t_2 = \frac{2l\gamma^2}{c}$ Kombinerat med tidsdilatation ($t = \gamma \cdot t_0$): $\boxed{l = \frac{l_0}{\gamma}}$ > [!note] Tolkning > Eftersom $\gamma \geq 1$ gäller alltid $l \leq l_0$. Egenlängden $l_0$ (mätt i vilosystemet) är alltid den **längsta**. --- ### Exempel: Myoner i atmosfären (Ex 37.6) > [!example] Kosmiska myoner > Myoner skapas ~15 km upp i atmosfären av kosmisk strålning. De har halveringstid $\tau_{1/2} \approx 2 \;\mu\text{s}$ och rör sig med $v \approx 0.998c$. > > **Klassiskt:** på $2 \;\mu\text{s}$ hinner de bara $\sim 600$ m. De borde aldrig nå marken. > > **Relativistiskt — myonens perspektiv:** atmosfären är längdkontraherad: $l = \frac{15\,\text{km}}{\gamma} \approx 950\;\text{m}$. Sträckan är kort nog! > > **Relativistiskt — vårt perspektiv:** myonens klocka går långsammare: $t = \gamma \cdot \tau_{1/2} \approx 32\;\mu\text{s}$. De hinner! > > Båda perspektiven ger samma resultat — och vi *ser* myoner vid markytan. Naturen bekräftar teorin. --- ## Dopplereffekten ### Klassisk (ljud) $f = \frac{v}{v + u} \cdot f_0$ där $f_0$ är frekvensen från källan som rör sig med fart $u$ *ifrån* oss, och $v$ är ljudets fart. ### Relativistisk (ljus) $\boxed{f = \sqrt{\frac{c - u}{c + u}} \cdot f_0}$ > [!warning] Teckenkonvention > Här är $u$ definierat som farten **ifrån** observatören (samma som i *Fysika*, men **motsatt** mot Young & Freedman). > [!info] Rödförskjutning och blåförskjutning > - **Rödförskjutning** ($u > 0$, objektet rör sig bort): $f < f_0$ — lägre frekvens, längre våglängd. > - **Blåförskjutning** ($u < 0$, objektet närmar sig): $f > f_0$ — högre frekvens, kortare våglängd. > > Edwin Hubble upptäckte 1929 att avlägsna galaxer är *rödförskjutna* — universum expanderar! Ju längre bort, desto snabbare. Detta är grunden för Big Bang-teorin. > [!tip] Approximation vid låga hastigheter > Då $u \ll c$ kan man taylorutveckla och återfå den klassiska formeln. Relativistisk mekanik *innehåller* alltid klassisk mekanik som gränsfall. --- ## Relativistisk mekanik ### Rörelsemängd Klassiskt: $\vec{p} = m\vec{v}$. Men vid höga hastigheter förändras både tid och sträcka. Vi definierar rörelsemängden i termer av **egentiden** $t_0$ så att alla observatörer kan enas: $\vec{p} = m \cdot \frac{d\vec{x}}{dt_0} = m \cdot \frac{d\vec{x}}{dt} \cdot \frac{dt}{dt_0} = \left[t = \gamma \cdot t_0 \implies \frac{dt}{dt_0} = \gamma\right]$ $\boxed{\vec{p} = \gamma m \vec{v}}$ > [!note] Varför inte bara $m\vec{v}$? > Med den klassiska definitionen bevaras inte rörelsemängden vid relativistiska kollisioner. Den relativistiska definitionen ser till att bevarandelagarna håller i alla inertialsystem. --- ### Kraft — Newtons andra lag, generaliserad Den fundamentala formen av $N_{II}$ är: $\vec{F} = \frac{d\vec{p}}{dt}$ > [!warning] Klassisk form har begränsningar > $\vec{F} = m\vec{a}$ gäller **bara** då massan är konstant och hastigheten är låg. Den allmänna formen $\vec{F} = \frac{d\vec{p}}{dt}$ gäller alltid. Med $p = \gamma m v$ och derivering (kvotregeln) fås: | Riktning | Kraftlag | |---|---| | **Parallellt** med rörelsen | $F_{\parallel} = m \cdot a \cdot \gamma^3$ | | **Vinkelrätt** mot rörelsen | $F_{\perp} = m \cdot a \cdot \gamma$ | > [!abstract] Fysikalisk insikt > Det är *svårare* att accelerera ett objekt i dess rörelseriktning ($\gamma^3$) än vinkelrätt ($\gamma$). Ju snabbare det rör sig, desto mer "motstånd" mot ytterligare acceleration — som om massan ökar. Vid $v \to c$ krävs oändlig kraft. --- ### Arbete och kinetisk energi $W = \int F \, dx = m \int a \gamma^3 \, dx = \left[a\,dx = v\,dv\right] = m \int \frac{v\,dv}{\left(1 - \frac{v^2}{c^2}\right)^{3/2}}$ $\boxed{K = (\gamma - 1)mc^2}$ Då $v \to c$: $\gamma \to \infty \implies K \to \infty$. Det krävs **oändlig energi** för att nå ljushastigheten. > [!tip] Kontroll mot klassisk fysik > Taylorutveckla $\gamma$ för $v \ll c$: $\gamma \approx 1 + \frac{v^2}{2c^2}$, vilket ger $K \approx \frac{1}{2}mv^2$ — den klassiska kinetiska energin! --- ### Viloenergi och $E = mc^2$ $K = \gamma mc^2 - mc^2 = E_{\text{tot}} - E_0$ $\boxed{E_0 = mc^2}$ $\boxed{E_{\text{tot}} = \gamma mc^2 = K + mc^2}$ > [!info] Energi-impuls-relationen > Det finns en elegant relation som binder ihop allt: > $E^2 = (pc)^2 + (mc^2)^2$ > För fotoner ($m = 0$): $E = pc$. För vilande objekt ($p = 0$): $E = mc^2$.